Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Только здесь и появляется в уравнениях пеиз- 0 весткая функция 1(р), незнание ее компенсируется возможностью экспериментально, непосредственно или косвенно, определить постоянную р. Мемуар Навье был напечатан лишь чорез шесть лет после доклада, так как он встретил возражения со стороны рецензентов (Прони, Пуассона, Фурье). Возражения вызывала замена суммирования по частицам интегрированием по объему. Возражения вызывало и выра»кение для силы взаимодействия — ее естественнее было принять в виде )(р,) (что при разложении в степенной ряд приближенно дало бы Др) + (р, — р)('(р) — выра«кение, отличающееся от принятого Навье, первым слагаемым).
Критике подверглись еще некоторые пункты мемуара, и он появился в печати лишь тогда, когда другими путями другим исследователям удалось получить уравнения Навье и ряд дополнительных результатов. Во всяком случае, достижение Навье должно было подействовать воодушевляюще на приверженцев физической, т. е. молекулярной, механики. Их идейный вождь Лаплас в последнем (пятом) томе «Небесной механики», напечатанном в 1825 г., выступил с более четкими формулировками, чем раньше. Теперь он уже безоговорочно заявлял, что все земные явления определяются действием межмолекулярных сил.
Изучение этих сил, по Лапласу, является главным предметом математическои физики. Он продол»кал: «Мне даже представляется полезным ввести эти силы в доказательства Механики, отбросив абстрактные представления о гибких или негибких линиях без массы и об абсолютно твердых телах. Некоторые попытки показали мпе, что, приблизившись таким образом к природе, мол;но придать этим доказательствам такую жо простоту и апачительно большую ясность, чем при используемых пока методах» '-. А несколько раньше, выпуская пятым изданием свое «Изложение системы мира» (1821), Лаплас исключил оттуда входящий в прежние издания раздел «О молекулярной механике», потому что, писал он а предисловии, в этой области (за последние десять лет) получено много нового, и это будет предметом специального трактата.
Такой трактат должен был стать продолжением «Изложения системы мира», ко Лаплас его не успел написать. Можно быть уверенным, что его ученик и идейный последователь Пуассон имел в виду нечто подобное, когда писал о подготовке многотомного трактата по математической физике, Введением к нему должен был стать его двухтомный курс механики, а одной из частей— монография по теории капиллярности (Пуассон пишет об этом в предисловии ко второму изданию своей «Механики», в 1833 г.). Сходные планы имел и Остроградский'.
Действительно, многое говорило за то, что па единой механической основе воздвигается единая теория «Натуральной философиюк 2. Как в истории этих общих концепций, так и в механике деформируемых тел видное место занимают работы Пуассона. Мы рассмотрим здесь его «Мемуар о движении и равновесии тел», доложенный Парижской академии в апреле 1828 г.' Пуассон напоминает в нем о своей работе 1814 г.
«Об упругих поверхностях». Там он выводил уравнения равновесия пластинок, считая их состоящими из частиц, которые отталкиваются с силой, зависящей от расстояния между частицами и быстро убывающей с ростом этого расстояния. Но Пуассон критикует свою старую схему: она подходит лишь для бесконечно тонких упругих поверхностей; если же учитывать толщину пластинки, то составляющие ее частицы будут двух сортов: одни, на вогнутой стороне, будут отталкиваться из-за сжатия, другие, на выпуклой стороне, будут притягиваться из-за растянсепия. Позтому надо вернуться к этой проблеме и вывестп условия равновесия сил, приложенных к пластинке.
и сил взаимодействия ее частиц. Но в связи с этим выдвигается гораадо более широкая программа: «Было бы желательно, чтобы геометры снова рассмотрели главные проблемы механики с такой физической точки зрения, соот- эн ветствующей природе вещей. Втя проблемы пу:кпо было рассмотреть вполне абстрактно, чтобы открыть общие законы равновесия н движения. И по этому пу1и общности и абстрактности Лагранж увел настолько далеко, насколько это поддается представлению, заменив физические связи между телами уравнениями относительно координат различных их точек, и это составляет Аналитическую механику. Но наряду с этой восхитительной концепцией теперь можно было бы воздвигнуть Физическую механику, единственным принципом которой было бы сведение всего к молекулярным действиям, передающим от точки к точке действия данных сил, и посредством которых устанавливается равновесие последних.
Прн таком подходе для применения общих правил механики к частным вопросам более не требовались бы специальные допущения»". И далыпе: «Вообще, применяя механику, надо по возможности учитывать все физические обстоятельства, связанные с самой природой 1г1аытге ~полне) тел. Уже давно чувствовали, что это необходимо для устранения неопределенности, которая не может осуществляться в природе, где все, действительно, должно быть детерминировано и допускать только одно решение.
Простейшим примером такой абстракции является удар твердых тел в предположении, что всякое сжатие отсутствует. Явление (удара.— ХХ. П.) тогда происходит мгновенно, и единственное условие, которому надо удовлетворить, состоит в том, что скорость тела, уходящего вперед, должна быть не меньше скорости тела, движущегося сзади. Но этому условию можно удовлетворить бесконечно многими способами, и состояние двух движущихся тел после удара остается неопределенным ... Возьмем еще, для примера, груз на столе о трех ножках. Если рассмаз ривать стол как абсолютно пеиагибаемую плоскость, для нагрузок иа его опоры получается бесконечно много различных значенийа'. В обоих случаях, указывает Пуассон, неопределенность устраняется, если учитывать деформации, т. е. подходить к вопросу в духе физической механики.
С этих позиций Пуассон подходит и к выводу уравнений теории упругости. Проанализируем теперь этот вывод. А. Исходные представления. Молекулы всех тел взаимно притягиваются и вместе с тем, вследствие теплоты, отталкивапотся. В итоге между данными двумя молекулами может действовать либо сила притяжения, либо от- талкпвания, по во всех случаях эта сила ((г) есть фупкцня расстояния г. Вид ее нам неизвестен. В телах кристалличоских эта сила может зависоть еще от углов, определяющих направление, н телах волокнисто«о строения она может изменяться от волокна к волокну, но эти более сложные случаи пока из рассмотрения иск:почаются.
Быстро убывающая функция ((г) практически отлична от нуля лишь при достаточно малых г — в «радиусе действия» молекулы, но этот радиус действия весьма нелик по сравнению со средним межмолекулярным расстоянием а, и быстрое убывание ((г) наступает лишь при значениях г, но много раз превышающих а. В качестве примера функции такого поведения приводится ( (г) — аб -(Ь), где а, 6 — постоянные, т — балыков положительное число, п — очень болыпое целое число, но такое, что лп еще весьма мало.
Б. Расчетная схема. М вЂ” точка тела с координатами х, у, г в «первоначальном», т. е. непапря;кенном, состоянии. Близкая точка М' имеет координаты х + х', у + у', г + г'. В результате деформации х переходит в х + и, рву+а,гвг+ш,х+х'вх+х'+и'и т. д. Так как х', у', г' весьма малы, получаем линейныо занисимости , ди , ди , ди и' = и+х' — -+ у' —. + г —, дх ' ' да дг , д» , дэ , д» а — г + х' — + у'-.--+ г' —, дх ду д« , дм , дм , дм »а' — ж + х' — + у' —. + г' —, дх ' ' ду д» Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в точке М и обозначим в экой системе координаты М' через х„у„гп Тогда х' .= ах» + Ьу, + сг„у' — — а'хт ~г б у» + с г«, г =- а"тт+ Ь"у»+ с"гп Усилие, действующее на малую площадку ю вокруг .М в плоскости х„Му„подсчитываом следующим образом.
Находим силу, с которой действуют на Мд(О, О, ь) все точки части тела г, ( О. Результат суммируем по ~, при- чем Ь может принимать лишь дискретную систему значе- ний а, 2а, За,... (напоминаем, что а — среднее значение рас- стояния между двумя соседними молекулами).
Получаем результирующую сил взаимодействия части тела г, ( О с положительной полуосью Мг„представляя себе по- следнюю как оы в виде цилиндра с «одпомолекулярным» основанием. Умножаем полученную силу на число моле- кул в пределах площадки ед( = ю1а«), считая поперечники од весьма большими по сравнению с а, т. е. производим суммирование по всем «цилиндрам», опирающимся на ю, считая силы их взаимодействия с пидкним полупростран- ством одинаковыми.
В итоге получаем силу, прилонсен- ную к площадке ю со стороны отделяемой плоскостью хдМу„, части тела гд ( О. В. В формулах все это выглядит следующим образом, Введем обозначения ахд + Ьуд + с (гд — ь) = др, а хд+ Ь'у, + с' (г, — ь) = др, а"х, + Ь"у, + с" (гд — ь) = 0; ди да да др — + др — + 0 — = <р', дх ду д« ди дс ди р — +$ — +Π— =-$' дх ду дд Тогда М'М, = дл» = др» + дР« + 0" в первоначальном со- стоянии тела, а после деформации ЛХмд» = г» = (др + др)» + («Р + »Р)» + (О + 0 )» =. = '+2рр'+2Фр'+200'+р" +ф" +О'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
