Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Для изотропного тела пятнадцать коэффициентов сводятся к одному — мы воавращаемся к уравнениям Навье. Добавим, что Коши в этой работе блюдет чистоту принципов молекулярной механики: все результаты получены без перехода от сумм к интегралам. Работа, напечатанная вместе с предыдущей ««,— «О давлении или натяжении в системе материальных точек»вЂ” содержит одно существенное обобщение, а именно, основные уравнения выводятся без предположения, что взаимодействие двух материальных частиц расщепляется на два: дающее первоначальное напряженное состояние и дающее накладывающуюся на него систему вторичных напряжений. Теперь шесть постоянных, характеризующих начальное состояние, входят и в коэффициенты при производных от составляющих вектора смещения.

Впрочем, окончательную редакцию этих более сложных зависимостей мы находим в статье «О дифференциальных уравнениях равновесия или движения системы материальных точек...» (1829) ". Здесь же Коши дает явное определение давления, действующего на элементарную площадку. Если сличить его с той расчетной схемой, которую пам приходится самим извлекать из мемуара 11уассона 1828 г. (см. выше), сразу видна тождественность представлений (в этом пункте!) обоих исследователей. А именно это давление равно «полному действию на малый материальный цилиндр, имеющий основанием рассматриваемую площадку, со стороны всей материи, находящейся по другую сторону плоскости площадки».

Возже, как указывает СенВенан, Коши предпочитал более короткое определение, приводящее к тем же формулам: давление на элементарную площадку есть результирующая всех воздействий, передающихся через нее ". Работа, проделанная Коши в героические для теории упругости 20-е годы Х1Х в., поражает. К тому, что упомянуто выше, надо добавить пять статей, вошедших в третий том его «Математических опытов> (1828 г., примерно 237 — 368 страниц) и восемь статей, вошедших в четвертый том того же издания (1829). Некоторые из них посвящены уточненито и развитию общей теории, преиму- щественно же в них рассматриваются на основе общей теории более конкретные задачи: о равновесии и движении стержней, пластинок и т.

д. Здесь многое совпадает с тем, что получил Пуассон, если вернуться к одноконстантным (для однородных тел) уравнениям, но Коши преимущественно использует уравнения с двумя постоянными или же, как в задаче о кручении призмы, даже переходит к случаю неизотропного материала. Подробности мы опускаем. Но, подводя итоги работы Коши по основам теории упругости, получаем следующий внушительный список: 1) первое общее определение напряжения («косого давления»), приложенного в данной точке к данной элементарной площадке; 2) полное исследование распределения этих напряжений в точке упругой среды; 3) описание деформации упругой среды и распределения усилий в ней (тензоры напряжений и деформаций, их симметричность, главные оси и т.

д.); 4) вывод уравнений в напряжениях и 5) в проекциях вектора смещения; последнее как исходя из гипотез, соответствующих «обобщенному закону Гука — Мариотта», так и исходя из молекулярной схемы, как с одной, так и с двумя постоянными для изотропного тела, с 15 и 21 постоянными в общем случае. Часть этого списка входит и в список достижений Пуассона, импульс и первые уравнения равновесия и движения принадлежат Навье.

Однако не будь работ Коши, пришлось бы многое еще доделывать сверх полученного Навье и Пуассоном, а не будь работ Навье и Пуассона, мы бы не заметили их отсутствия, имея работы Коши. Если учесть еще весь объем популяризованных Коши наглядных геометрических представлений, надо признать его работы по теории упругости одним из наиболее мощных по интенсивности н плодотворности достижений научной мысли. Это достижение тем более поразительно, что на те же семь-восемь лет приходятся десятки других работ Коши по математическому анализу, механике, теории чисел, геометрии, среди которых есть много первоклассных и несколько фундаментальных.

4. К основополагающим работам 20-х годов по теории упругости принадлежит и обширный мемуар Г. Ламе и Э. Клапейрона «О внутреннем равновесии однородных твердых тел». Представленный авторами в Парижскую академию в 1828 г., он был напечатан в ее трудах только в 1833 г.", но еще раньше, в 1831 г., появился в седьмом томе журнала Крелля вместе с отзывом Навье и Пуассона об этом мемуаре. В первой части мемуара выведены уравнения равновесия однородных упругих тел методом, весьма сходным с методом Навье, причем авторы исходят из такого же, как у Навье, выражения для силы межмолекулярного взаимодействия.

Как и Навье, они получают уравнения с одной упругой постоянной. Во второй части мемуара Ламе и Клапейрон получают ряд результатов о распределении усилий (напряжений), в том числе некоторые результаты Коши; тут же вводится эллипсоид напряжений. Последние две части мемуара посвящены приложениям общих уравнений. В них решен ряд задач, вошедших впоследствии в учебную литературу. В целом мемуар представляет собой, по справедливой оценке историка теории упругости Тодхантера, элементарный курс теории упругости с многочисленными важными приложениями: инженерный профиль авторов в нем явно сказался. Никаких ссылок на какие-либо предшествующие работы у авторов нет. Навье и Пуассон, похвально отозвавшиеся о мемуаре, указали, в чем он повторяет и чем отличается от того, что было получено Навье и Коши.

Для основ молекулярной механики существенным было то обнаруженное Коши обстоятельство,%что явно несообразные результаты, получающиеся, по Пуассону, при замене сумм интегралами, могут быть обусловлены, собственно, не этой заменой, а другим допущением. По Коши, дажехв молекулярной схеме мы приходим к противоречащим опыту выводам, если (вместе с Пуассоном!) будем пренебрегать воздействием на данную молекулу молекул, наиболее к ней близких, по сравнению с воздействием гораздо большего числа молекул, находящихся на большем удалении. Пуассон при замене суммирования по угловым координатам интегрированием как раз опирался на это. Однако в общей стройной схеме математической теории упругости, созданной Коши, молекулярные представления давали только один из вариантов обоснования и, как мы уже указывали, только в одном пункте — при установлении связи между составляющими тензора деформации и тензора напряжения.

Анализ основ и методов молекулярной механики в области теории упругости, произведенный ее же приверженцами, дал очень мало отличного от того, что имелось в континуальной механике. Например, 108 последователь Коши Сен-Венан вполне объективно пришел к таким выводам: 1. Вычисления, основанные на законе молекулярного взаимодействия, зависящего лишь от расстояния между частицами, требуют только допущения, что отдельные частицы (Сен-Венан их называет атомами) не соприкасаются. Не обязательно считать эти атомы лишенными протяженности, как в схеме Бошковича, где они только «центры сил»; не существенно, считаем ли мы их число конечным или бесконечным, не имеет аначения соотношение между размерами атомов и межатомными расстояниями.

В противоречие с опытом мы можем вступить только из-за того, что при интегрировании или суммировании по расстоянию нижний предел берется равным нулю. На основании анализа работ Коши такой вывод был сделан Клаузиусом и поддержан Сен-Венаном. 2. Этот вывод означает, что, беря нижний предел отличным от нуля, мы можем пользоваться интегралами вместо сумм, поскольку интеграл не может заменить сумму воздействий на какую-то одну определенную молекулу, но дает отличное приближение среднего аначения большого числа таких сумм, а только с такими средними мы имеем дело (это соображение тоже принадлежит Клаузиусу).

Отсюда и совпадение результатов Навье, беззаботно переходившего к интегралам, с реаультатами Пуассона и Коши. Отсюда и возмоя ность продолжать пользоваться методами аналитической механики Лагранжа («как поступают английские и немецкие геометры»,— писал Сен-Венан) и вообще аппаратом анализа бесконечно малых, хотя «хорошо известно, что и твердые и жидкие тела состоят из конечного, пусть очень большого числа изолированных молекул»»4. Однако не все обстояло гладко в процессе приживления методов аналитической механики к системе молекулярной механики. Сен-Венап, говоря об английских и немецких геометрах, в первую очередь должен был иметь в виду Грина, который затронул интересующий нас круг вопросов в своих работах по теории света после приведенных Френелем доказательств, что свет представляет собою поперечные колебания.

Эти колебания надо было приписать какой-то упругой среде. Поэтому работа Грина " «О законах отрав<ения и преломления света на общей поверхности двух некристаллических сред» вместе с хов «Дополнением» к ней занимает видное место и в истории механики. Без преувеличения можно сказать, что она проникнута глубоким пониманием духа и методов аналитической механики — пониманием, которого мы не видим у многих предшественников Грина.

Она начинается с удивительно ясного изложения руководящей мысли: «Г-н Коши, по-видимому, первый увидел, насколько полезно применить в теории света формулы, описывающие движение молекул, между которыми действуют силы взаимного притяжения и отталкивания; при этом всегда предполагается, что две взаимодействующие частицы можно рассматривать как точки, к которым приложены силы, направленные по соединяющей их прямой. Последнее предположение кажется весьма ограничительным, во всяком случае в применении к тем сложным частицам, которые поддаются механическому делению. Ведь многие явления, например кристаллизация, указывают, видимо, на известные полярности этих частиц.

Характеристики

Список файлов учебной работы