Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Однако добиться «чистой» постановки опыта, для чего надо гарантировать достаточную иэотропность материала и учесть начальные напряжения, оказалось делом крайне трудным. Эксперименты разных авторов давали противоречивые результаты, и во многих случаях было выяснено, что использованные образцы не удовлетворяли требованиям изотропности.
Положение в достаточной мере характеризуется тем, что да»ке сторонники молекулярной схемы и малоконстантной теории не «гнушались» пользоваться уравнениями с двумя упругими постоянными. Так поступал несколько раз последователь Коши и Пуассона Сон-Венан.
Этот «оппортунизм» не удивителен, потому что ввиду сложности уравнений решать их приходится в известном приближении, и ббльшая свобода действий, которую дает большее число упругих постоянных, тут существенна. Опытные же данные настолько неопределенны, что после нескольких десятилетий дискуссий и исследований Г. Лав в его известном и распространенном трактате, который мы уже цитировали, писал, что соотношения Коши «не будем считать... бесспорно установленными», т. е. оставлял вопрос открытым. Сейчас, в свете новых физических представлений, становится все менее вероятным, что старая схема молекулярной механики мов«ет дать хорошее.
приближение, а современная теория твердого тела еще не в состоянии вычислить постоянные, характеризующие тот или иной материал. Развитие же атомистики за последнее столетие вполне оправдывало и оправдало позицию, занятую Грином. Сен-Венан подверг критике допущение Грина, что разложение упругого потенциала начинается со слагаемых первой и второй степени.
«Такой геометр, как он (Гр»пь— ХХ. П.), ведь знал, что разложение функции в ряд по возрастающим степеням ее аргументов не обязательно начинается членами степеней 1 н 2»»». Сен-Венан прав в том отношении, что вывод Грина в этом пункте — не математическое соображение. Дело сводится к тому, чтобы принять (для весьма малых деформаций) обобщенный закон Гука (или Гука — Мариотта): компоненты тензора напрнжения являются (ка»кдый) линейными функциямн тензора деформации. Это — постулат, оправдываемый в основном выводимыми нэ него следствиями, но, конечно, подсказан- ный опытными данными. С удивительной проницательностью физическое основание для принятия обобщенного закона Гука указал Стоке: «То, что твердые тела могут совершать изохронные колебания, показывает, что давления, вызываемые малыми смещениями, выражаются однородными функциями первой степени от »тих смещений».
Эти слова взяты из работы Стокса, написанной им в 1845 г., «О те»рии внутреннего трения з движущихся:кидкостях и о равновесии и движении упругих твердых тел», работы во многих отношениях замечательной'". Подробно она будет рассмотрена ниже. Итак, позиции молекулярной механики подрывались как общим ходом развития физических представлений, так и определенными методологическими и методическими преимуществами использования далеко не формальных по сути методов аналитической механики.
То, что произошло в теории упругости, повторилось и в гидродинамике: сначала успех, затем критика схемы и ее вытеснение. При попытке охватить гидродинамику молекулярная механика Лапласа — Пуассона встретилась с новыми затруднениями, преодолеть которые не смогла. Мо.кекукярная мехамика и гядродивамика 1. Главным успехом гидродинамики рассматриваемого периода был выход за пределы схемы идеальной жидкости: вывод уравнений движения вязкой жидкости. И здесь первые результаты были получены Навье, который исходил из представлений молекулярной механики.
В сообщении Парижской академии 18 марта 1821 г., еще до представления мемуара по теории упругости, Навье вывел свои уравнения, оставив открытым вопрос о граничных условиях. Полное пало>кение дано им в «Р)емуаре о двиясении жидкости с учетом сцепления молекул», доложенном спустя четыре года '. Навье предполагает, что между частицами жидкости действуют силы и в состоянии покоя, а при нарушении равновесия (при движении) зги силы, зависящие только от взаимных расстояний, ослабевают с увеличением расстояния и возрастают с его уменьшением так, что их изменение, при заданном расстоянии, пропорционально относительной скорости. Формула для силы взаимодействия двух молекул поэтому берется в виде Дг) — $'Р(г), где г — расстояние между частицами, »' — их относительная скорость, р(г) и р'(г)— две неизвестные нам функции, практически равные нулю при г, превышающем некоторое не слишком большое г, О.
Требование постоянства знака на эти функции не накладывается. Кроме того, Навье предполагает, что можно пренебречь «иррегулярной» частью воздействия на данную молекулу со стороны соседних, т. е. можно считать остальные молекулы расположенными симметрично относительно рассматриваемой (для жидких тел такое допущение выглядит вполне естественным). Исходя из такой физической схемы, Навье получает уравнения движения жидкостей с учетом «сцепления» (айпез1оп) молекул в таком виде (в обычных теперь обозначениях); ди ди ди ди др»дии д»и д~и', — + и — +» — + и — =- — — А ( — + —, + - — ), д» дх ди д«ди (,дии ду» дм)' (мы не выписываем аналогичные два уравнения; постоянная А характеризует данную жидкость и одинакова во всех трех уравнениях). При выводе граничных условий Навье снова, как и в теории упругости, возвращается к методу Лагранжа.
Уравнение непрерывности остается без изменений. Поясняя свою схему, Навье описывал жидкость, как состоящую из частиц, связанных друг с другом пружинками. Прн взаимном сближении или удалении частиц пружинки сжимаются и растягиваются, а так как очень близкие молекулы всегда будут иметь лишь весьма малые относительные скорости, натяжения пружинок должны быть линейными функциями этих скоростей. Коши в одной из работ 1828 г., вошедшей в третий том его «Математических опытов», выводит уравнения движения внутри твердого тела в предельном случае, когда тело совершенно лишено упругости.
Уравнения получаются сходными с уравнениями вязкой жидкости, но в них не входит давление р. Рассуждения Коши ведутся в рамках коктивуальной механики. Согласно Сен-Венапу, Коши, как позже Пуассон и Стоке, получил те же самые уравнения, что и Навье, и вывел их по сути так же, как Навье, но такая оценка, мягко говоря, весьма неточна ». Работы Пуассона и Стокса заслуживают подробного рассмотрения: первая в силу ее своеобразия и того, что о Пуассоне в связи с уравнениями вязкой жидкости теперь не упоминают, вторая — потому что в истории гидродинамики ее роль аналогична роли работ Грина в теории упругости.
118 Нам надо проанализировать еще один из обширных мемуаров неутомимого Пуассона «Об общих уравнениях равновесия и движения твердых упругих тел и жидкости»', доложенный Парижской академии 12 октября 1829 г. «В двух мемуарах, которые я зачитывал в Академии,— начинает Пуассон,— о равновесии и движении упругих тел и о равновесии жидкостей,— я предполагал, что эти тела состоят из разрозненных молекул, отделенных друг от друга промежутками, лишенными весомой материи, как это действительно имеет место в природе. До сих пор в вопросах такого рода удовлетворялись тем, что рассматривали движущиеся тела как сплошные массы, которые разбивали на бесконечно малые элементы, а их притяжение и отталкивание выражали определенными интегралами.
Но это только приближение, и ограничиваться им нельзя, если мы хотим применить математический анализ к явлениям, зависящим от строения тел, и дать действительное обоснование законов их равновесия и движения. В то я«е время надо стараться по возможности упростить этот анализ, сохраняя в полной мере строгость расчета, осуществимую в различных приложениях. Именно это побудило меня снова рассмотреть в целом те вопросы, которые были предметом предыдущих мемуаров. Мои новые иаыскания не заставили меня что-лнбо изменить в результатах, но я приложил все усилия, чтобы упростить, иной раз и уточнить соображения, на которые я опирался, особенно в части, относящейся к равновесию жидкостей»«.
Действительно, наиболее интересна гидромеханическая часть мемуара. Физическая модель Пуассона существенно отличается от того, что имеем у Навье. Сохраним прежние обозначения, Пусть т — бесконечно малый промежуток времени ц С вЂ” весьма малан часть н~идкости, достаточно удаленная от ее поверхности; М(х, у, г) — центр тяжести С. Проведем через М поверхность, которая рааделит С на две части А и А', и определим давление А' на А, считая, что С все же достаточно велико, чтобы содержать все молекулы, от которых это давление зависит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
