Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Симметрично по отношению к системе Р и — Р можно ваять силу — В равную, параллельную и направленную противоположно В; она не будет ленсать на одной прямой с В, но, как и В, уравновешивает систему Р, — Р. «Добавим к силам Р, — Р и В силу — В и, чтоб ничего не изменить», немедленно уничтожим ее равной и противоположной силой В'.

В системе пяти сил Р, — Р, В, — г«и ««' можно отбросить уравновешивающуюся систему Р, — Р, — ««, а тогда остаются две силы т«и В', параллельные и направленные в одну сторону. Опираясь на это рассуждение, Пуансо и вводит как самостоятельный элемент пару сил, определяет ее момент (произведение плеча на величину сил пары) и доказывает ряд все более общих теорем о свойствах пар (их преобразование в одной плоскости и перенос в параллельную плоскость, сложение и разложение пар), вводя под конец этого раздела представление момента отрезком, направленным в должную сторону по перпендикуляру к плоскости пары.

Учебники по механике для технических учебных заведений и в нашем столетии (например, популярный учебник Е. Л. Николаи) воспроизводили этот раадел полностью. После этого теми же средствами показывается, как любая статическая система сил приводится к силе и к паре сил. В седьмом издании «Начал статики» (1837) Пуансо ввел еще центральную ось системы сил (т. е. скользящих векторов), доказывая (без формул!), что при приведении к центральной оси момент результирующей пары (направленный по главному вектору сил) минимален '. В заключение первой главы формулируются общие условия равновесия.

Вторая глава — «Об условиях равновесия, выраженных уравнениями» вЂ” является переводом на язык формул содержания первой главы. К этому добавляется рассмотрение частных случаев: плоская система сил, равновесие твердого тела с закрепленной осью и т. д. В третьей главе излагается элементарная теория центра тяжести, в ее основной части интегралы не появляются.

Но сюда вошло и несколько новых теорем геометрического характера, например, «центр тяжести системы тел обладает тем свойством, что сумма произведений масс на квадраты расстояний их соответствующих центров от этой точки минимальна, т. е. меньше, чем для любой другой точки пространства» или «сумма квадратов взаимных расстояний л» разных точек равна и — кратной сумме квадратов их расстояний от их общего центра тяжести»«.

Четвертая глава у Пуансо традиционная: о машинах (простых). Известным новшеством являются здесь определение и классификация. Автор возражает против традиционного определения машины как инструмента, предназначенного для передачи действия сил, Ведь с этой точки зрения все тела природы суть машины. Но если силы взаимодействуют посредством вполне свободных тел, то они не могут уравновеситься. Поэтому машины в точном смысле этого слова суть тела, с помощью которых уравновешиваются силы, в равновесии сами по себе не находящиеся.

Отсюда следует, что машины не могут быть свободными телами. На этом и основано окончательное определение Пуансо: «машины не что иное, как тела или системы, стесненные в своем движении какими-то препятствиями»». Разумеется, это определение слишком общее и заодно упускает то существенное, что выражает определение предшественников Пуансо, которое он критикует.

Но, исходя из этого определения, Пуансо вполне логично дал классификацию простых механизмов. Он разбил их, по характеру наложенных связей, на три группы: группу рычага — здесь ограничение движения или «препятствие» вЂ” неподвижная точка; группу ворота — «препятствием» является неподвижяая прямая, ось вращения; группу наклонной плоскости, для которой препятствие двумерно: неизменная плоскость.

В упомянутом выше мемуаре Пуансо 1806 г. теория пар применяется не только к приведению статической системы сил, но и к динамике. Пуансо хорошо знал своих предшественников и отмечал, кому принадлежит тот или иной результат, но для него существенно было получение этих результатов единообразным и наглядным методом. Выведя формулу, выражающую проекцию момента результирующей пары через проекции составляющих ее трех пар (проекции берутся, разумеется, на одну и ту же ось, моменты составляющих пар направлены по осям ортогональной системы координат), Пуансо пишет: «это очень простая формула, которую Эйлер дал в УП томе петербургских «Асйа Моча», но к которой он пришел лишь длинным и обходным аналитическим путем» '.

У Пуансо этот реаультат получается буквально в двух строках. Столь же просто, разлагая и проектируя моменты, Пуансо выводит теорему: «Квадрат максимального момента равен сумме квадратов моментов относительно трех ортогональных осей, а его ось есть' диагональ параллелепипеда, построенного на трех отрезках, представляющих на этих осях значения соответствующих моментов». О ней он говорит: «Это результаты, которые Лаплас уже извлек из Анализа,~и онн ~вч составляли прекрасные теоремы Механики (подчеркивается — аналитической.— И.

П.); здесь же они лишь простые следствия сложения пар». 2. Пуансо, выделив понятие пары сил и оперируя моментами пар, ввел в элементарную геометрическую статику то, что раньше в аначительной мере было получено аналитическими средствами. Это сделало более простым вывод как условий, так и уравнений равновесия. Вместе с тем вполне наглядно можно было исследовать вопрос о равличных способах приведения данной системы сил. Относящиеся сюда результаты (положение центральной оси системы и пр.) были новыми, и они подсказывали чисто геометрическую постановку ряда проблем, что оказалось плодотворным и для геометрии, и для механики.

Они облегчили развитие кинематики, когда там пришли к аналогичным соотношениям, следовательно, вели к обобщению всех этих геометрических операций на языке векторного исчисления. А ближайшим последствием было раавитие геометрического направления в динамике, что сделано прежде всего самим Пуансо. Чтобы показать это, достаточно вернуться к «Мемуару о сложении моментов и площадей». Его третий раздел озаглавлен: «Применение предыдущей теории к динамике». В нем без аналитического аппарата выведены (правда, не без иавестных натяжек) соотношения, называемые теперь интегралами количества движения и интегралами площадей, доказывается наличие неизменной плоскости (впервые открытой Лапласом) при движении системы тел под действием внутренних сил.

Пуансо указывает, что то я~е свойство, которое определяет неизменную плоскость Лапласа, выделяет не одну эту плоскость, а семейство параллельных плоскостей. Кроме того, он обобщает закон площадей. «Мы закончим замечанием о законе площадей, что плоскости не единственные поверхности, на которых эти площади остаются неизменнымн при движении системы. Тем же свойством обладает поверхность любого кругового конуса, вершина которого находится в фокусе радиусов- векторов, но надо проектировать эти радиусы на конус линиями, параллельными его оси.

Площади, описанные на поверхностях различных конусов с общей осью и общей вершиной, обратно пропорциональны синусам углов полураствора конусов, откуда видно, что конусом с наименыпей такой площадью будет тот, у которого этот угол прямой, т. е. плоскость, перпендикулярная к общей оси конусов.

Среди всех подобных конусов с общей вершиной, но с разными осями будет один единственный, на поверхности которого радиусы-векторы зачерчивают и максимальную площадь. Среди всех конусов, дающих максимальную площадь относительно различных фокусов пространства, будет один единственный с минимальной площадью.

Оси этих замечательных конусов не что иное, как оси моментов или площадей, обладающие аналогичными свойствами и определяемые точно таким же образом...» '. Продолжением этих исследований была относящаяся к 1828 г. работа «Теория и определение экватора Солнечной системы»'. В ней доказывается, что Лаплас неточно определил положение своей «неизменной плоскости» в Солнечной системе, потому что, применяя закон площадей к этой системе, он считал планеты материальными точками и не учитывал их спутников. Пуансо рассматривает планеты как тела при подсчете моментов их количества движения, учитывает те же величины и для спутников и показывает, что уточненный таким образом закон площадей для Солнечной системы приводит к новому положению неизменной плоскости — «экватора», которое может заметно отличаться от положения плоскости Лапласа.

Попутно он ставит вопрос о том, почему Лаплас ошибся, и его ответ на этот вопрос превращается в изложение его кредо, как механика: «... Для Лапласа, как и для других прежних авторов, моменты или площади — просто численные или геометрические величины, чисто аналитические выражения, появляющиеся в уравнениях равновесия или движения и получившие название попросту для сокращения речи. С такой геометрической точки зрения неизменная плоскость... это одна из трех координатных плоскостей, выбранных так, чтобы проекции площадей на остальные две были равны нулю... При этом видят лишь абстрактные величины, простые формулы анализа, вовсе не думают о настоящей природе величин, рассматриваемых в науке о равновесии или о движении систем.

Характеристики

Список файлов учебной работы