Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Однако если бы дело обстояло и не так, мы все же не имеем представления о способе взаимодействия частиц светоносного эфира. Поэтому более надежным методом представляется выбрать в качестве основы какой-нибудь общий физический принцип, а не исходить из определенного способа действия, который, в конце концов, может значительно отличаться от того механизма, которым пользуется природа. Особенно, если этот принцип включает в себя как частный случай те, которыми раньше пользовались г-н Коши и другие, да к тому же ведет к значительно более простым вычислениям.
Принцип, избранный в качестве основы рассуждений в этой работе, таков: каким бы образом пи действовали друг на друга элементы любой материальной системы, если все действующие внутренние силы помножить на элементы их соответствующих направлений, общая сумма для любой определенной части тела всегда будет полным дифференциалом некоторой функции.
А если эта функция известна, мы можем сразу применить общий метод, данный в «Аналитической механикею.. Одно из важных преимуществ такого метода то, что сам ход вычислений приводит нас без больших усилий с нашей стороны ко всем уравнениям и условиям, которые необходимы и достаточны для полного решения любой задачи, к которой этот метод приложим» ". Методология, выраженная в этом замечательном вве- денни, закономерно возникает и начинает преобладать на определенном этапе развития науки. Так, состояние учения об электричестве (и магнетизме) в 50-х годах прошлого века оценивалось Максвеллом как особенно неблагоприятное для теоретической разработки: «Теория должна полностью удовлетворять законам, математическое выражение которых уже известно, и, кроме того, давать средства для теоретического вычисления случаев, когда известные формулы неприменимы.
Чтобы овладеть существующими теориями, изучающему приходится освоиться со значительным запасом столь сложных математических формул, что уже трудность удержать их в памяти сама по себе является существенным препятствием к дальнейшему прогрессу». Раз так, то прежде всего необходимо упростить выводы прежних исследований и привести их к форме, наиболее доступной восприятию. «Результаты такого упрощения могут быть представлены или чисто математической формулой, или же физической гипотезой. В первом случае мы совершенно теряем из виду объясняемые явления и поэтому не можем прийти к более широкому представлению об их внутренней связи, хотя и можем предвычислять следствия из данных законов.
С другой стороны, принимая некоторую физическую гипотезу, мы уже смотрим на явления предубежденно и становимся склонными к той слепоте по отношению к фактам и поспешности в допущениях, которымспособствуют частные односторонние объяснения. Мы должны поэтому найти такой метод исследования, который на каждом шагу основывался бы на ясных физических представлениях, не связывая нас в то же время какой-нибудь теорией, из которой заимствованы эти представления, благодаря чему мы не будем отвлечены от предмета преследованием аналитических тонкостей и не отклонимся от истины из-за излюбленной гипотезы» ".
Исходя из этого, «для составления физических представлений без принятия специальной физической теории» Максвелл избирает метод, определяемый им как метод физических аналогий. Под физической аналогией здесьподразумевается «то частное сходство между законами двух каких-нибудь областей науки, благодаря которому одна является иллюстрацией для другой» ". Но, имея дело с хорошо разработанной теоретически дисциплиной, опирающейся на надежно установленные физические эаконо- мерности, можно расширить метод физических аналогий, включив в него и применение математических аналогий и моделей. Так или иначе при состоянии науки, описанном Максвеллом в учении об электричестве (а это описание подходит в основном и для механики деформируемой среды рассматриваемого периода), лозунг не связывать себя заранее определенной системой физических воззрений и методика использования возможно более общих положений и моделей (аналогий Максвелла) выдвигаются на первый план.
И хотя Грин не выступает против молекулярной механики и пользуется ее языком, дух и метод работы принципиально противостоят ей. Это выявилось довольно скоро. Грин рассматривает массу, состоящую из огромного числа как-то взаимодействующих молекул. Внешних воздействий нет, межмолекулярные силы «ощутимы лишь на неощутимых расстояниях» — язык, нам уже знакомый. Для произвольной частицы введем обозначения: х, у, г— координаты в положении равновесия, х+ и, у + и, з + + ш — в движении, и, и, ш — весьма малые функции от х, у, з и времени ~. «Комбинируя принцип Даламбера с принципом виртуальных перемещений», получаем Хйт ( — Ьи+ —, бг+ — бв) = ЕВГйр, где «тт, Йр — «крайне малые соответствующие элементы массы и объема среды, содержащие все же весьма большое число молекуле, а б~р — полный дифференциал функции ~р, зависящей только от сил взаимодействия частиц среды.
«Действительно, если бы б~р не было точным дифференциалом, то было бы возможно вечное движение, а у нас есть все основания считать силы в природе такими, что это невозможно» ". Этот довод не заменяет строгого доказательства, но данные позже доказательства существования упругого потенциала, основанные на первом начале термодинамики, являются только его развитием. Длины сторон элементарного параллелепипеда, равные в состоянии покоя Ых, Ыу, Нг, в движении будут равны Нх' = Ых($ + зт), Ыу' = ду(1 + г«), Ы = Ыг(1 + г«), где гд, г«, гз — малые величины первого порядка; того же порядка будут косинусы «« = соз Ну',Нг', () == соз йз',йх', т = соз Ил',а~у'.
Функция гр зависит от г„г„..., у. Разложение в ряд дает Ч' = сус + Чг + ср» +"., где грг — однородная функция 1-й степени своих шести аргументов. Записав Йт в виде рс1хс1уссз, получаем г гии дгх ~~рс1хс1ус1« ~ ~, бы+, бр + — „,, Ы = =- Я 41х 4114 41« (бс~г + бс~г» +. ) Так как при и =- 6 .= иг = О система находится в равновесии, то О =- ~~~ 1х1у 1:брг. Пренебрегая г~г», гр«,...
по сравнению с су», получаем фрг1ггс!ус1з( „„., би+ — „—,, бр + —,,„- бгр) = Яг1хг1ус1« бсгг». дх ди гз = — —, ду ' д, ди диг ди ди = — + —, т=- — +— дх дх ' дх ду ди гг =— дх дх дс а == — + —, дгг дс Если среда симметрична относительно плоскости (х, у), г1г не должно измениться при замене з и и на — г и — иг, а тогда а и р переходят в — а и — р.
Если среда симметрична относительно всех трех координатных плоскостей, то функция грс должна оставаться неизменной при следующих трех заменах: х,ига  — и — з — ю — а — В у, сг, а, у -4 — р, — р, — а, — у, х, и, ~3, у — и — х, — и, — ~, — у. 3 Н. в. пссрсаысскггз ахи Если мы знаем г1г», остается только применить общие методы, данные в «Аналитической механике».
Но гр„будучи однородной функцией второй степени от шести аргументов, в самом общем случае содержит 21 произвольный коэффициент. Дальнейшее исследование состоит в рассмотрении частных случаев с учетом того, что с точностью до величин высших порядков малости, «как легко усмотреть», При этом вместо 21 коэффициента остается девять, рг= С(")«+ Н(,'")'+1( — ',"')«+Ли +М(1 + «Вероятно, полученная функция соответствует кристаллам, обладающим тремя взаимно перпендикулярными осями упругости». Далее, допустим, что ничто не изменяется при вращении вокруг одной из осей, скажем, оси г.
Поворот оси г на малый угол 60 означает замену х — »х+у60,у — >у — х60, г —. г; и-» и+ и60, и- и+ и60, ю — ~ю. Отсюда имеем зависимости между коэффициентами в (А): С=Н=2Х+Л, Л=М, Р=Д и получаем «Этот результат, вероятно, прилеп«им к одноосным кристаллам». Если среда симметрична относительно всех трех осей (полная изотропность), получаем для «»«вырал«ение с двумя коэффициентами (двумя упругими постоянными), Введя новые обозначения, этот результат Грин записывает так: Пользуясь этим выражением, Грин выводит уравнения для движений на границе двух бесконечных упругих сред, разделенных бесконечной плоскостью, и применяет их для исследования плоской волны.
Мы не можем здесь анализировать его интересные результаты в этой задаче, к которой он возвращается в работе «О распространении све- та в кристаллических средах» (1839) '". Там задача о малых изменениях упругой среды рассматривается в несколько обобщенной постановке: допускается наличие внешних давлений, в первоначальном состоянии равновесия возмо»кны напря»кения и мы уже не можем считать, что функция ~р, (см. выше) равна нулю, а должны положить 'р~ = — А»1+ Вз» + Сгз ( 2В«» + 2К~ + 2Рт, что вводит шесть дополнительных постоянных. Несмотря на это усложнение, Грину удается провести анализ рассматриваемой им задачи примерно так же, как и в предыдущей работе.
Работа Грина вызвала ряд откликов и помогла уточнить основные пункты расхождения между сторонниками и противниками молекулярной механики. Существование введенного Грином упругого потенциала не вызывало возражений, а обоснование этого, с использованием выра- »кения элементарной работы через напряжения и с явной формулировкой закона сохранения энергии, имело значение для разработки общих методов математической теории упругости. В этой связи важны были работы В. Томсона (Кельвина) «О термоупругих, термомагнитных и пироэлектрических свойствах материю>" и Кирхгофа «О равновесии и движении бесконечно тонкого упругого стержня»»». Вывод о том, что количество упругих постоянных в самом общем случае не превышает 21, был существенным результатом.
Пуассон, рассматривая неизотропный случай, сначала пришел к 36 коэффициентам, не установив между ними никаких соотношений (он внес исправления в этом пункте лишь в работе, написанной в 1839 г.)»». Но Коши на основе молекулярной схемы получил шесть зависимостей между коэффициентами, будем теперь говорить — упругого потенциала, что снижает число независимых постоянных д ) 15 в общем случае и до одного (вместо двух) в случае полной изотропии, независимо от шести постоянных, характеризующих начальное напряженное состояние". Так определилась линия размежевания между «многоконстантной» и «малоконстантпой» теорией упругости.
Казалось бы, эксперимент должен был дать ответ на вопрос, какая теория заслуживает предпочтения. Поскольку постановка опытов с кристаллическими телами гораздо сложнее, чем с изотропными, то, естественно, ахи экспериментировали с последними, где вопрос стоял так: одна или две упругие постоянные характеризуют данный материал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
