Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Сила, действующая между этими двумя частицами, по величине равна )(г'), ее составляющие по координатным осям равны р+, р р'(г'), р ~,— ~г'(г'), +, -г'(г'). Составляющие искомой силы давления в расчете на единицу площади, т. е.

после деления на ед, будут равны Р=~'„,„>1 '), 0=Х',,"~('), Л== Х'„'~('), где (четырехкратное) суммирование идет по хы ум з, (~( О), ьд() О) в пределах «радиуса активности» точки я. Так как з, и ~, входят в сумму только в сочетании ~„— з„ то два суммирования по ~,(= п, 2а,...) и по зг( = О, — и, — 2а,...) можно заменить одним ХХР(~е — з,) = Р(а) + Р(2а) + Р(За) +... + Р(2а) + Р(За) + Р(4а) +... + Р(За) +Р(4а) +Р(5а) +...

+ Р(4а) + Р(5а) + Р(ба)+..., так что ~~~Р(~,— з,) =Р(а)+ 2Р(2а)+ ЗР(За) +...= ~ — Р(~). Поэтому Р— Х '..~() где Х обозначает трехкратное суммирование. Учитывая г ди малость величин и — и,..., следовательно, и —,..., следовательно, и гр', ед', 0', получаем (разлагая в степенные ряды и пренебрегая членами второго порядка малости) 1 , д — „Г'(г) —,1 (г ) =- — 1(г) + (гдгр +едф'+00') Поэтому 1 д — Г' (г) Р = Х~ .„~ 1( ) +Х(гугд' + ФФ'+00') ~.„ Переходим теперь от декартовых координат к полярным.

Два суммирования по угловым координатам Пуассон заменяет интегрированиями, которые можно выполнить прежде всего потому, что для этого не требуется знать вид функции )(г). Эта элементарная выкладка приводит к результату ди ди , ди «~ р ди , ди Р -.= К (с — + — с' + — се~ — )г (Зс — + с' — + дх ди де ) ( дх „ ди , дх др „ дх дю 1 + с" — +с' — +с — + с" — +с — ) (1) дг дх де дх ди ) т и.

Б. псгребысский 97 Напомним, что с, с', с" — направляющие косинусы оси зг по отношению к старым осям х, у, г, т. е. направляющие косинусы нормали к площадке, на которую действуют силы с составляющими Р, Ч', А. Г. Следующие за этим выводы не зависят от молекулярных представлений.

Во-первых, рассматривая площадки, нормалями к которым являются координатные оси, Пуассон доказывает формулы Р = Р,с" + Р,с' + Р,с,..., (2) где Рд — составляющая по оси х усилия, приложенного к площадке, лежащей в плоскости ху; Р, — составляющая по осн х усилия, приложенного к площадке, лежащей в плоскости рз,..., а Р— составляющая по оси х усилия, приложенного к площадке, нормаль к которой имеет направляющие косинусы с,с', с" (в современных обозначениях: Х„= Х„соз(тл) + Хтсоз(ту) + Х,соз(тх),...).

Тот же результат Пуассон получает, рассматривая равновесие тетраэдра, три грани которого параллельны соответственно трем координатным плоскостям. Во-вторых, рассматривая равновесие произвольно взятого в теле параллелепипеда, Пуассон получает три уравнения равновесия (в напряжениях) дР~ УРт дР3 — + — + — =6Х,. дз ду дх (З) (6 — плотность, Х, У, Я вЂ” составляющие объемных снл). Кроме того, он доказывает, что уравнения равновесия в моментах удовлетворяются автоматически. Д.

При выводе условий, относящихся к поверхности деформируемого тела, молекулярная схема снова играет существенную роль, но на деталях уже нет нужды останавливаться. Принципиальное же значение имеют следующие соображения. Полученные уравнения и зависимости применимы и к состоянию до деформации, т. е.

при условии, что и = = и = ш = О и что отсутствуют объемные и поверхностные 98 (аналогичны формулы для () и Л с теми же коэффициентами К, )г). Здесь 1 з н г(г) силы. Это дает (в обозначениях Пуассона) Р« =- ()» —.- = Л, = — К, а из общих уравнений равновесия (в напряжениях) получаем (дЛ'/дх) = О, (дЛ'/ду) = О, (дК)дх) = О,'т.е. К вЂ” постоянная величина; пз условий жена поверхности тела следует, что эта постоянная равна нулю, т. е., если вспомнить определение К, получаем Хг'1(г) = — О. «Итак, в состоянии тела, которое можно рассматривать как естественное, когда оно гшдвержоно только взаимодействию его молекул, определяемому их притяжением и теплотой, расстояния, отделяющие молекулы, должны быть такими, чтобы это уравнение соблюдалось для всех точек тела.

Если вводится новое количество теплоты, что при том же расстоянии увеличит силу отталкивания, не изменяя силы притяжения, .молекулярные промежутки должны будут измениться таким образом, чтобы это уравнение оставалось в силе. Так происходит тепловое расширение, пора»ному в разных веществах, так как функция )(г) для них не одна и та н«е» '. Но допустим, что входящие в выражения для К и к суммы моя«но заменить интегралами. Мы имели бы (умножив предварительно на Иг!а) 2лг г' з 15,) « о о Интегрируя по частям и учитывая, что )(г) равно нулю на обоих пределах (мы можем взять верхний предел равным са в силу вышеописанных свойств )(г)), получаем 2лг г« А = — т1 —.1(г) Ыг = — Л', о т. е.

если К = О, то и к = О, что абсурдно. Итак, суммы по г, с которыми мы встретились, «нельэя превратить в интегралы, хотя переменная г изменяется в каждой из них весьма малыми приращениями, равными а»«. Это был тот новый принцип молекулярной механики — принцип необратимости (по крайней мере, некоторых) сумм в интегралы, установление которого оценивалось весьма высоко. «Пуассон указал, что при вычислении молекулярных действий нельзя выраэить с помощью интегралов реэультирующу»о тех сил, с которыми соседние молекулы действуют на молекулу, находящуюся внутри тела.

Это замечание и вместе с ним рассмотре- 99 тФ ние функций, которые мало отличаются от нуля, когда независимая переменная, от которой они зависят, принимает достаточно большие значения, является основой математической физики». Так писал Остроградский в 1830 г. ' и приходил к выводу, что история математической физики будет считать ее основоположниками Лапласа и Пуассона. Самому же Пуассону заключение о необратимости сумм значений некоторых функций в интегралы дало еще одно основание выступить против «Аналитической механики». Ведь это означало, что правила вариационного исчисления для преобразования интегралов неприменимы, если тела рассматривать по схеме молекулярной механики.

Применять вариационное исчисление так, как это делает Лагранж, моя«но только в случае сплошных масс, «и анализ, согласно которому найденные таким методом результаты распространяются на реальные тела, надо отвергнуть, как недостаточный» ". Е. Остается сделать последний шаг: принять К = 0 в формулах (1), подставить полученные значения усилий в уравнение (3) и «согласно принципам динамики» замед«и нить в них силу Х на Х вЂ” —,„....

Получаем уравнении движения однородного тела, записанные у Пуассона в виде д'и »д'и 2 д'и 2 д«ш х — — + "( —. + —.— + —,— + дм ~дх«З дх дд 3 дг дх 4 д'и 1 д«и' (5) ~5»~ где а» = ~ — ), 6 — плотность. «Эти уравнения того же (б) вида, что и уравнения, данные г-ном Навье и выведенные им на основе допущения, что молекулы тела после изменения его формы притягиваются пропорционально приращениям их взаимных расстояний; кроме того, он допускал, что равнодействующие этих сил можно выразить с помощью интегралов, что, как мы видели выше, обратило бы в нуль коэффициент а.

В мемуаре Навье имеются так>не выведенные тем же способом уравнения, выражающие условия на поверхности»". 3. Мы рассмотрели первый раздел обширного мемуара, «замечательного философской частью и великолепными приложениями» (теории; слова Сен-Венана '»). Эти приложения занимают 165 страниц (колебания упругой сферы, уравнения равновесия и движения упругой нити, йоо стержней, мембран, пластинок). Пуассоном здесь получены многие важные результаты. Некоторые из них вызвали впоследствии дискуссию (колебания сферы, исследование кластинок) и потребовали поправок. Мы не будем рассматривать историю отдельных разделов теории упругости, поэтому достаточно сказать, что во всех разделах мемуара уравнения различных задач систематически выводятся из общих уравнений (5), содержащих одну постоянную.

При оценке же «философской» первой части работы надо выделить три пункта. Прежде всего, в ней дано наиболее уточненное изложение того, что мо»кно назвать физической схемой молекулярной механики. Зто позволяет отчетливо увидеть ее «историческую обреченность». Физика и химия той эпохи располагали уже многочисленными доказательствами дискретности вещества, но «молекулы» Пуассона и Лапласа весьма существенно отличаются от того, что вкладывалось в понятие молекулы (атома) по мере его уточнения в науке Х1Х в. По сути это не более чем некие центры сил, в духе воззрений Бошковича.

А вывод общих уравнений теории упругости из этой схемы только поначалу мог казаться триумфом молекулярной механики. В сущности он был скорее ее поражением, потому что ни закон взаимодействия Др), ни характерная для данного материала величина межмолекулярного расстояния а не могли быть выявлены: они неразличимым образом входят в единственную упругую постоянную уравнений (5). Во-вторых, если проанализировать вывод уравнений, оказывается, что «удельный весе молекулярной схемы в нем, собственно, невелик.

Остроумные соображения, связанные с рассмотрением элементарных тетраэдров и параллелепипедов, с соотношениями между силами объемными и поверхностными вошли в основной список приемов механики деформируемых сред, но они исходят из общих положений механики и математического анализа. То же самое относится к переходу от статической задачи к динамической.

Характеристики

Список файлов учебной работы