Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Молекулярная схема по сути входит в действие только при выводе выражений компонентов тензора напряжений через составляющие вектора смен;ения. Но довольно быстро выяснилось, что и здесь можно под нее «подкопаться». Это приводит к третьему пункту. Исследование Пуассона, как и предшествующее ему исследование Навье, имеет целью вывести уравнения движения. При этом мы получаем достаточно полное представление о тензоре напряжений, а тензор деформаций" остается в стороне, он не выделяется как некий самостоятельный объект исследований.
Но когда удалось продвинуться и в кинематике деформируемой среды, должно было выясниться, как можно установить связь между тензором деформаций и тензором напрялсений в духе аналитической механики, не прибегая к молекулярной схеме. Оставалось сделать это, чтобы превратить молекулярную схему в осложняющий придаток, имеющий, в лучшем случае, только эвристическую ценность.
И шло это от работ приверженца молекулярной механики — Коши. Но сначала надо вернуться к отправному рубежу— работам Навье. Знаменитый мемуар 1821 г.мы не реферировали подробно, потому что изложение физической схемы и вывод уравнений равновесия и движения отчетливостью не отличаются. Пуассон, отчасти опираясь на Навье, отчасти отталкиваясь от него, достиг большей ясности и в общих представлениях,и в выводах, что не умаляет заслуг Навье. Навье не был сильным математиком н существенно новых результатов, применяя выведенные им сложные уравнения, не смог дать, так что в этом отношении сопоставлять его с Пуассоном, первоклассным мастером математического анализа, не приходится.
А в ходе вывода уравнений у Навье два существенных отличия от Пуассона: он безбоязненно переходит от сумм к интегралам во всех случаях; он выводит условия на границе (а также, вторично, общие уравнения) с помощью вариационного метода Лагранжа. Оба эти пункта 1!уассон критиковал: первый — явно, второй — не называя Навье. Полемика между Навье и Пуассоном„которая велась, отчасти в связи с указанными пунктами, в 1828 — 1829 гг., не повлияла на позиции обоих авторов. 'Теперь сделаем еще один шаг назад во времени. Мемуару Навье 1821 г., предшествовали его «Исследования по изгибу упругих плоскостей» вЂ” работа, представленная Парижской академии наук в августе 1820 г.
Она так и не была напечатана полностью и только в извлечении была издана в 1823г. ы Здесь молекулярная схема используется при выводе уравнений задачи теории упругости, в данном случае задачи двумерной, о прогибе пластинок. Работа Навье 1821 г., в этом смысле — прямое продолжение работы 1820 г., это переход от двумерного случая к трех- мерному. Коши был одним из рецензентов Навье в 1820 г. и в связи с этим сам приступил к исследованиям по теории упругости. Он шел по линии «отработки» основных понятий (возможно, не без влияния работ Френеля по оптике).
В небольшой статье„написанной в 1822 г., а напечатанной в 1823 г. т», он, несколько критически высказываясь о методах рассуждения, примененных Навье в исследовании о прогибе пластинок, выдвигает одно существенное положение: различные силы, приложенные к площадке, взятой в упругом (твердом) теле, можно объединить в одну силу, которую следует называть натяжением или давлением, ибо она той же природы, что и давление в жидкости; но есть отличие: эта сила может быть наклонной к площадке и, следовательно, в общем случае, она изменяется с изменением направления площадки и имеет неодинаковые составляющие по различным направлениям.
Статья содержит словесные формулировки ряда важных и общих результатов без указаний на методы, которыми они были получены. Эта статья Коши является кратким изложением мемуара, который не был опубликован. В переработанном и, надо думать, дополненном виде полученные там результаты были изложены в двух статьях 1827 г., одни названия которых в то время уже указывали на новизну подхода: «О сжатии и расширении твердых тел» и «О давлении или натяжении в твердом теле»" (статьи относились не к экспериментальной физике, а к теоретической механике!). В первой из них Коши в третий раз, вслед за Эйлером и Лагранжем, выводит шесть компонентов тензора (бесконечно малой) деформации в данной точке, выражая их через производные от трех проекций вектора смещения, но у Коши это не кинематика жидкости, а деформируемой среды вообще.
Коши дает выражения для удлинения любого линейного элемента и вводит «главные удлинения»вЂ” по трем определенным взаимно перпендикулярным направлениям, главным осям деформации. Во второй статье, если опять воспользоваться для краткости современной терминологией, изучается тензор напряжений. «Давление», приложенное к некоторой площадке, оказывается результирующей трех давлений, приложенных к трем проекциям площадки на три плоскости, проходящие через «центр» площадки,— это не формулируется явно, как хев и у Пуассона в работе 1828 г., но выражено соответствующими формулами. Давления Р„и Рю приложенные к пересекающимся площадкам ((а), (р) одинаковой площади и с общим'центром), обладают тем свойством, что проекция одного из них на нормаль ко второй площадке равна проекции второго на нормаль к первой площадке: Р„а — — Рз„ (симметричность тензора напряжений).
И этот результат, как мы видели, был (позже) дан Пуассоном. У Коши вводятся и главные оси напряжений, применяется эллипсоид для характеристики изменения напряжения к площадкам, проходящим через данную точку, с изменением ориентировки площадки. Все это получается примерно теми же средствами и соображениями, как и у 11уассона, и к молекулярной схеме не имеет отношения. Наряду с эллипсоидом напряжений Коши ввел и эллипсоид деформации. Вслед за этими двумя статьями в 1828 г. последовала работа «Об уравнениях, которые выражают условия равновесия или законы внутреннего движения твердого тела, упругого или не упругогоэ ы.
Иэ условий равновесия элементарного параллелепипеда получаются уравнения равновесия в напряжениях, из них — уравнения движения добавлением к массовым силам снл инерции. Но как исключить компоненты тензора напряжений, чтобы получить уравнения в составляющих вектора смещения? Коши в течение шести лет шел тремя путями к решению этой задачи. Его первые результаты (1821 г.?, 1822 г. ?) можно определить по упомянутой выше статье 1823 г., и эти результаты подтверждают, что уже тогда Коши располагал всеми сведениями, изложенными в развернутом виде в статьях 1827 г. В интересующем нас пункте Коши исходил из двух допущений: направления главных осей деформации и главных осей напряжения совпадают (рассматривается изотропное — термин введен Коши— тело; обоснованием является ссылка на симметричность распределения как деформаций, так и напряжений относительно главных осей); напряжения, действующие по главным осям, пропорциональны соответствующим удлинениям.
Последняя гипотеза ошибочна. Вторая атака была успешной. В указанной выше статье 1828 г. Коши исправляет свою ошибку: главные напряжения выражаются суммой двух слагаемых каждое; первое слагаемое берется, как прежде, второе равно объемному расширению (сумме трех главных удлинений), помноженному на свой коэффициент пропорциональности (вторая упругая постоянная материала). Коши ввел еще одно слагаемое во все три зависимости — постояннуто, выражающую то одинаковое во всех направлениях «добавление», которое определяет первоначальное напряженное состояние, изотропия которого нарушена деформацией. На основе этих допущений получаются общепринятые сейчас три уравнения с двумя упругими постоянными относительно трех составляющих вектора смещения.
Все эти выводы соответствуют схеме сплошной среды. Но так как Коши сам склонялся к тому, что молекулярная схема глубже и физичнее, такой вывод был для него только первым приближением. Тем более, что 1) допущение о линейной зависимости главных напряжений от главных удлинений не выглядело обоснованным; из малости рассматриваемых величин следует только, что в этих зависимостях следует удержать слагаемые низшего порядка, но, может быть, это слагаемые второго, третьего порядка, а не первого (ср.
«Исторический обзор» Сен-Венана) "; 2) соображения симметрии, в»связи с первым исходным допущением, закрывали путь к обобщению на случай неизотропных, скажем кристаллических, тел. Поэтому Коши предпринимает третью атаку в статье «О равновесии и движении системы материальных точек, находящихся под действием сил взаимного притяжения или отталкивания»'". В основу расчета здесь положена молекулярная схема.
Отличия по сравнению с Навье таковы: 1) «начальное» состояние может быть"Tнапряженным; 2) функция )(г), выражающая взаимодействие двух молекул, находящихся на расстоянии г, вводится в составе дроби )(г)/г, чтобы отразить изменение не»только длины г, но и направления г при деформации; в частности, разложение по степеням Лг = г, — г берется в виде г (г) ( (г1) ( (г) à — = — + (г, — г) — + . г1 г Нг (оно обрывается на линейном слагаемом); 3) тело предполагается «гетеротропвым», поэтому в выражения напряжений через проекции вектора смещения, кроме шести постоянных, определяющих начальное напряженное состояние, входят еще пятнадцать коэффициентов — это суммы весьма большого числа произведений вида г(г) на степени косинусов углов, образуемых с осями координат различными направлениями отрезка г, проводимого из определенной начальной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
