Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

При движении, начинающемся при» = О, смещение М в момент т определяется своими составляющими ит, ит, шт. Если бы рассматриваемое тело было твердым, упругим в момент т, изменение давления (в расчете на единицу площади) на А в точке М имело бы, например, по оси х, составляющую тР(0, где Здесь с, с', с" — направляющие косинусы нормали к проведенной нами поверхности в точке ЛХ, К характеризует первоначальное равномерное давление, Р„ Р»о Р.,— составляющие тензора напряжений, которые моя«но выди дм разить линейно через —,..., — по известным уже формуд» '"' д« лам теории упругости. Но если бы при смещении ЛХ тело вело себя как идеальная п<идкость, происходила бы мгновенная перегруппировка молекул и сразу восстанавливалась симметрия вокруг ЛХ, давление по всем направлениям выражалось бы одной и той же функцией времени «р(г), а составляющие его изменения Лр за время т были бы равны тсф'(»), тс'ф'(~), тс"ф'(«). Но оба зти крайних случая в действительности не осуществляются.

Пусть при «' = — 0 линейное сжатие С и давление одинаковы по всем направлениям, исходящим из М. Составляющие начального давления будут сф(0), с'ф(0), с"ЩО). Затем происходит смещение ти„тп„тю„после чего представим себе, что ЛХ мгновенно останавливается. Сначала жидкость будет с»киматься или расширяться в разных направлениях по-разному и составляющие Лр будут тР(0), тР'(0), тР"(0).

Но весьма быстро жидкость перейдет в устойчивое состояние, восстановится равноправие всех направлений и составляющие Лр станут равными т,«р' (0),... Этот процесс можно описать формулами Лр„== тсф' (0) + (К (0) — сф' (0)) т<р (~), где «р(0) = 1, а с ростом «эта функция весьма быстро становится неотличимой от нуля. «Эта функция зависит от природы жидкости,...; мы считаем ее одинаковой для всех трех составляющих, потому что в жидкости все одинаково по всем направлениям из любой точки»'. Затем Пуассон делит промежуток 0 — ~ на бесконечно малые промежутки т, и в течение каждого из них мы представляем себе повторяющимся процесс «упругого смещения» и «жидкостного» выравнивания давлений.

Суммируя изменения ДР„ЛР», Лр, для отдельных промежутков и переходя к пределу при т —. О, получаем для суммарных изменений Лр.=ср — с$ р(е — О) (ф(В)+$ р(е Е)р(О),)В, Пусть е — б = е', сеО =- — сее', тогда е с (е О) (ф (0) ~ р(е,) дф(е е),е, о о Верхний предел можно заменить на сс, а так как функцию ед можно считать весьма быстро изменяющейся по срав- нению с ф то нетрудно вывести, с достаточной точностью, что ~р(е — б) И(б) =« „, ( = — ~ Ч(е') (е')* о о и мы получаем Лр, = — с ~р — се „' 1+ хр (е),...

Здесь козффициент а характеризует жидкость и ее (тепло- вое) состояние. Если теперь учесть связь с компонентами вектора смещения и, кроме того, на основании уравнения ди до дм 1 4о (е) неразрывности заменить — + — + —. пав до ду до р (е) де (р(Е) — плотность жидкости), то для составляющих тен- зора напряжения (в современных обозначениях) получим формулы: Х„== р — се — — — + 2Ь вЂ” —,..., Нф (е) Ь' др ди дЕ р СЕ дх ' Хо — Ь( — — — ),... (се) (р = ф(е)). Постоянные Ь и Ь' выражаются через интегралы от неизвестных функций, определяющих закон молекулярных взаимодействий.

Вводя обычным образом «силы инерции», в дополнение к массовым силам Х, У, Я, Пуассон получает три уравнения движения жидкости ,еох дХх дХ дХ» Р( ,~~ ) д + д + д Р) куда надо внести Х„..., подставив их значения согласно (а). Кроме того, в соответствии с эйлеровой формой уравнений движения идеальной жидкости надо использовать соотношения 0'"х да ди ди ди — = — + и —.+ в —.+и —, ди д1 дх ду дх др й(~(8) др дх др др д8 Ш д8 = — + и — + ь — +ю— дх ду дх др др др др др — = — + и — + в — +ю —.

Ш д~ дх ду д" Уравнения (р) «будут относиться ко всем жидкостям, однородным и неоднородным, чьи температура и степень сжатия изменяются любым образом как во времени, так и от точки к точке»'. Когда жидкость однородна, температура постоянна, а плотность весьма мала, уравнения (()) можно привести к виду Нр с др ю '= — р — ю — —— р (а, 6, с — постоянные). Для газов (ввоздухоподобных жидкостейа) ю сводится дя к р — у' —, где у ' — отношение теплоемкости при посто- Ю янном давлении к те~лоемкости при постоянном объеме (ныне ср!с„). Затем Пуассон занимается выводом дополнительных уравнений, связывающих поведение р и р с тепловыми процессами, и граничных условий. Из изложенного можно сделать несколько заключений.

Физическая схема Пуассона своеобразна. Видимо, никто больше иа нее не исходил и ею пе занимался (Сен-Венан, собственно, от нее отмахнулся, Стокс в обзорной работе ее пересказал, воздерживаясь от комментирования, а в своих исследованиях исходил из других представлений). Но она позволила получить уравнения движения более общие, чем у Навье: в случае однородной сжимаемой жидкости в зги уравнения, если их полностью развернуть, входят слагаемые вида которых нет у Навье, рассмотревшего только несжимаемые жидкости. Сейчас можно было бы истолковать схему Пуассона, вводя флюктуации величин, характеризующих движение жидкости, но в редакции автора она имеет только историческое значение. Тем не менее совершенно несправедливо связывать уравнения движения вязкой я«идкости только с именами Навье и Стокса.

Однако исторически это вполне понятно: Навье, во всяком случае, и здесь был первым, а Стоке, как сейчас увидим, сделал в этом вопросе то, что Грин для уравнений теории упругости: ввел все в русло континуальной механики. 2. Статья Стокса «О теориях внутреннего трения двия«ущихся жидкостей и о равновесии и движении упругих твердых тел» (1845), на которую мы уже ссылались, во многих отношениях выдающаяся работа.

Автор с полной отчетливостью указывает, что ограниченность теории идеальной жидкости нельзя преодолеть эмпирическими методами. Когда вода течет по акведуку постоянного уклона, каков будет ее расход при данном уклоне и данной форме ложа, какую форму выбрать, чтобы поступало заданное количество воды, при наименьшей затрате материалов на сооружение,— «такие и подобные вопросы вовсе не охватываются обычной теорией движения жидкостей, потому что они полностью зависят от законов передачи тангенциальных воздействий, которые в этой теории вовсе не рассматриваются»'.

Но практическое значение подобных вопросов «сделало их предметом многочисленных экспериментов, на основании которых выведены эмпирические формулы. Однако такие формулы, хотя они и хороши для тех целей, ради которых их выводили, вряд ли могут помочь нам по существу выявить законы природы. К тому же они не позволяют нам перейти от явлений, при изучении которых они выведены, к явлениям другого класса, хотя бы те зависели от тех же причин»'.

Затем Стокс уточняет понятие «скорости жидкости в точке». Пусть жидкость состоит из частиц, далее уже неидеальных в процессе ее движения. Зги частицы при движении жидкости доля«ны перемещаться друг относительно друга на участках, сравнимых с межмолекулярными расстояниями, «иррегулярно». Но несомненно, что расстояние между двумя соседними молекулами ничтожно. Поэтому «мы можем пренебречь иррегулярной частью скорости по сравнению с общей скоростью, с которой движутся все молекулы в окрестности рассматриваемой одной из них»".

Эта средняя регулярная скорость и является, по определению, скоростью жидкости в заданной точке, и она непрерывно изменяется вместе с координатами этой точки. Возьмем элемент жидкой массы Е и в нем точку Р. Движение'Е можно разложить на поступательное вместе с Р и относительное. Скорости точек Ь' в этом последнем движении — относительные скорости. Можно говорить и об относительном равновесии — это положение Ю, в котором составляющие К частицы оставались бы в тех же точках пространства при отсутствии внешних сил.

Так, элемент жидкой массы на гребне волны может быть почти строго в состоянии относительного равновесия, хотя он весьма далек от состояния «настоящего» равновесия. В положении относительного равновесия давление по всем направлениям из Р одинаково, как и в случае покоящейся жидкости. В соответствии с этим Стоке формулирует следующий принцип. Разность между давлением на площадку заданной ориентации, проведенную через какую- либо точку Р в движущейся жидкости, и давлением, одинаковым по всем направлениям из Р, которое установилось бы, если бы жидкость вблизи Р была в состоянии относительного равновесия, зависит только от относительного движения жидкости в непосредственной близости Р; при этом относительное движение, вызванное любым вращением, можно отбросить, не изменяя указанную разность давлений. Для применения этого принципа необходимо проанализировать в общем виде мгновенное движение элемента жидкой массы.

По сути нового здесь у Стокса нет, но все изложено ясно и доступно. Как мы видели, поступательное движение жидкого элемента (как твердого тела «вместе с точкой Р») уже выделено и отброшено. Теперь выделяется и вращательное движение, а в остающейся чистой деформации поля скоростей выделяются три «удлинения» по трем взаимно перпендикулярным главным осям, «осям растяжения», как их называет Стоке. Для данной точки Р и в данный момент времени т, обозначив координаты произвольной точки Р' жидкого элемента относительно Р через х', у', г', получаем для движения по этим осям, «скользящим по своим направлениям» формулы х' — е'х', у' — »е"у', з' — е"'г', ди „ д» ди е'= —, е" = —, е"'= —. То»ке изменение поля скоростей можно описать, разлагая его на одинаковое во всех направлениях двиясение расширения, положительного или отрицательного, и на два движения сдвига (зЫ111пд), ве влияющих на плотность.

Одно из них параллельно плоскости х'р, другое— плоскости х'г'. Пусть 6 — коэффициент линейного растяжения, определяющего расширение, с и с' — коэффициенты сдвига, вводимые так, что сх, — суг дает скорость точки (хг, у„г„), вызываемую первым сдвигом, с х,— о'з, дает скорость той же точки, вызываемую вторым сдвигом. Получаются зависимости 6 —.. —, (е' + е" —,'- ест), с = —, (е' + еск — 2е"), 3 3 = — (е' + е" — 2е"'). 3 «Следовательно, наиболее общее мгновенное движение элементарной части (рог11оп) жидкости состоит из поступательного движения, вращения, движения равномерного расширения и двух движений сдвига указанного рода» ".

Характеристики

Список файлов учебной работы