Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Согласно исходному принципу, если р — «изотропное» давление в Р при относительном равновесии, р + р'— нормальное давление на единицу площади некоторой площадки (через Р) при движении жидкости, 1' — — касательное усилие, к ней приложенное, то р' и 1 зависят лишь от е', е", е'", или, иначе, лишь от с, с', 6. Для трех площадок, перпендикулярных к главным осям растяжения, касательные усилия равны нулю, для них р, =- ср (е, е", е"'), р = ср (е", е", е ), р = ср (е", е, е"), где ср — симметричная функция последних двух аргументов.
Чтобы уточнить вид функции с», представим себе такое простое движение, когда е" = — е', е"' = О: никакого расширения, только один сдвиг. Стоке представляет себе возникновение добавочного давления р, таким образом, что это несколько напоминает воззрения Пуассона: перераспределение молекул происходит аа какое-то весьма короткое время, молекулы действуют друг на друга непосредственным соприкосновением, по истечении малого промежутка времени т смещается новая порция молекул и т. д. Отсюда можно заключить, что если е' переходит в те', то и число молекул, смещения которых создают за время т какое-то добавочное давление, становится в т раз большим.
Поэтому рг оказывается пропорциональным своему единственному аргументу е и т. д., т. е. р,' = Се', р', =- С'е', р» =- С"е'. «Естественно предположить, что эти формулы годятся как для отрицательных, так и для положительных е'»". Поэтому меняем знак е', но тогда х и у меняются ролями, т. е. р» остается без изменений, р, и р., переставляются. Отсюда С" = О, С" = — С (= 2(«), и получаем формулы р' =- — 2ре', р' =- 2ре', р' = — О. Предположим, что эффекты обоих сдвигов наложены, но нет расширения 6, т. е. е' + е" + е"' =-- О.
Тогда, как легко видеть, р', — — 2ре', р', — — 2ре", р» = — 2ре"'. Если же 6+ О и расширение наложено на сдвиги, то в этом, самом общем, случае р' = —, р (е" + е"' — 2е'), р' =- —, и (е"' + е' — 2е"), р',, =- —. и (е' + е" — 2е"'). (б) Здесь Стэнс дает следующее существенное пояснение: «если бы мы начали с допущения, что «у (е', е", е"') есть линейная функция от е', е", е'", избегая всяких домыслов относительно молекулярного строения жидкостей, мы сразу бы получили, что р, = Се' .+ С'(е" + е"'), так как рг симметрично относительно е", е'', или же, меняя постоянные, р,= 213 р(е" + е"' — 2е') + Л(е' + е" + + е'"). Выра»кения для р, ир, мы получили бы, переставляя соответствующие величины.
Конечно, можно сразу положить»1 = О, если допустить, что при равномерном движении расширения давление в любой момент зависит только от значений плотности и температуры в этот момент, но не от скорости изменения плотности со временем. хин ди д» ди Зб =- — + — + —, дх ду дг (7) Стоке выписывает зти общие формулы в виде /ди» (д» Р, = Р— 2р( — — 6), Р, =Р— 2р, — — б) (дх )' ( ду ( ди Р»=Р Ж д б)' ( дг (8) а для усилий, приложенных к площадке, направляющие косинусы нормали к которой суть 1, т, и, получаем, что составляющие по координатным осям х, у, г равны соот- ветственно 1Р» + тТ» + пТ, 1Т» + тР + пТд, 1Т» + тТ1 + пР».
Уравнения движения (рассматривается злементарный параллелепипед и применяется»принцип Даламбера») получаются в виде 1) д д д д» вЂ” -= — +к — + — + Й д» дх ду дх]' В большинстве случаев, когда интересно было бы применить теорию трения жидкостей, плотность жидкости либо постоянна, либо без чувствительной погрешности ее можно считать постоянной, либо она медленно меняется со временем. В первых двух случаях результаты были бы одинаковыми, равно ли В нулю или не равно, в третьем случае — почти одинаковыми. Следовательно, если в зтих случаях между теорией и зкспериментом не будет расхождений, то нельзя считать, что зксперимент подтвердил ту часть теории, которая связана с предположением Л =- 0»".
Имея соотношения (6), нетрудно обычными методами получить выражения для компонентов тензора напряжений в жидкости с внутренним трением через компоненты тензора скорости деформации. Отметив, что для введенной выше величины 6 имеем К ним присоединяются уравнение неразрывности в виде др д(ри) д(ри) д(рх) — — =О Ш да ду дх и уравнение, связывающее р и р, или же, для несжимаемой жидкости, уравнение Яр)Р1) = О и, наконец, уравнение теплопроводности, если мы ее учитываем. Уравнения движения, полученные Стоксом, той же общности, что и уравнения Пуассона.
В предположении, что р не зависит ни от температуры, ни от давления, Стоке их записывает еще так: При выводе граничных условий на твердой стенке Стоке рассматривает два варианта. Первый — это условие полного прилипания. Но произведенный им расчет расхода воды для течения в длинных цилиндрических трубах кругового сечения и в прямолинейном канале дал результаты, расходящиеся с данными, взятыми из опытов Боссю и Дюбюа.
С другой стороны, Дюбюа обнаружил на опыте, что если скорость течения в трубе становится меньше 2 — 2,5 см/сев, вэда вблизи внутренней поверхности трубы неподвижна. Исходя из этого, Стокс допускает приемлемость при малых скоростях течения условия прилипания, которое, как видим, не вполне основательно называют условием Дюбюа — Стокса. В общем же случае Стоке выводит как следствие непрерывности давления при переходе изнутри жидкости к ее поверхности условие, выражающееся тремя уравнениями: О =- ) (ь — р) + т (и — и') + )х ~2) ( — — 6~) + где ), т, и — направляющие косинусы нормали к стенке, ю — давление в покоящейся (относительно) жидкости. т — положительный коэффициент, характеризующий трение о стенку.
При у — > оо это условие переходит в условие прилипания. Итак, у Стокса представления молекулярной механики играют второстепенную роль и наряду сними предлагает- рви ся свободный от них вариант вывода. Внимание к физической стороне дела, учет экспериментальных результатов, ясная кинематическая картина движения и исчерпывающая формулировка исходного динамического «принцип໠— все это в сочетании с несколькими удачными применениями теории сделало работу Стокса основным отнравным пунктом для дальнейших работ по теории вязкой жидкости. Уравнения движения, выведенные в ней в пятый (!) раз, стали называть уравнениями Навье — Стокса, хотя Стокс указывает в работе на то, что они были раньше выведены и Коши, и Пуассоном.
Но он не знал, что на два года раньше они были выведены и Сен-Венаном, притом, как это ни удивительно для апологета молекулярной механики, вполне в стиле континуальной механики ". 3. В 1843 г. в «Отчетах» Парижской академии была напечатана «Заметка, являющаяся дополнением к Мемуару о динамике жидкостей, представленному 14 апреля 1834 г.» Сен-Венана ".
В ней автор упрощает главный пункт указанного в заглавии мемуара, состоящий «в отыскании формул для давления в движущихся жидкостях без предположений о величине молекулярных притяжений и отталкиваний как функции от расстояния между молекулами или от их относительных скоростей». Вводя в рассмотрение «скольжения», Сен-Венан примерно так же, как и Стоке, связывает касательные напряжения со сдвигами (он сразу вводит линейную зависимость между ними).
Полученные им общие формулы для компонентов тензора напряжения в вязкой жидкости только обозначениями отличаются от формул (8) Стокса. Сен-Венан указывает, что такие формулы раньше были получены Коши для внутреннего движения неупругих тел и Пуассоном — для жидкостей. И дальше: «Если... подставить уравнения (2) и (3) "в известные соотношения между давлениями и ускорительными силами, получим, предполагая е одинаковым во всех точках жидкости (з = — р у Стокса), дифференциальные уравнения, которые дал 18 марта 1822 г. Навье..., в 1828 г.— Коши и 12 октября 1829 г.— Пуассон...».". Таким образом, «изъятие» уравнений движения вязкой жидкости из молекулярной механики было проведено вполне естественным образом и у Сен-Венана, притом с предельной последовательностью.
Видимо, вполне справедливо называть эти уравнения именами Навье, Сен-Венана и Стокса. 9 и. в. п«гре«ысс»аа Как видим, примерно к середине Х1Х в. в механике деформируемых сред то, что было создано на основе молекулярных представлений,— общие уравнения теории упругости (для малых, теоретически — бесконечно малых деформаций) и теории движения вязких жидкостей— полностью вошло и в классическую аналитическую механику, механику Эйлера и Лагранжа, на основе континуальных представлений.
Приверженцы молекулярной механики могли ссылаться на то, что впервые эти уравнения были получены согласно их воззрениям. Однако было очевидно, что молекулярная схема была помехой в исследовании кинематики упругих твердых тел и жидкостей и оказалась куда менее наглядной, чем континуальная. Заодно к середине века, с развитием механической теории теплоты, позже — кинетической теории гааов, с внедрением в физику представлений Фарадея о силовых линиях, с формированием понятия поля молекулярная механика Лапласа — Пуассона теряла опору в физике. Действительно, там, где в физике молекулярные, или, точнее говоря, атомистические, представления «работали», «последние частицы» оказывались в быстром движении и действовали друг на друга лишь при соударении. Это меньше всего походило на малоподвижные центры сил молекулярной механики, носителей действия на расстоянии, пусть весьма малом.
Для них не было места и там, где в физику внедрились представления теории поля. Молекулярная механика превращалась в весьма условную модель, которой можно было бы пользоваться в определенных пределах, но при условии внутренней непротиворечивости. Однако выявилось, что она не удовлетворяет и этому условию, по крайней мере если ее применять и к твердым телам, и к жидкостям. Ведь поскольку и те и другие описываются в такой механике одинаково, между ними нет резкой грани — это справедливо отметил Дюгэм". Но не приходится доказывать, что к жидкостям неприменимы многие выводы теории упругости, например полученная Пуассоном зависимость между коэффициентами поперечного сжатия и продольного удлинения призматического бруска.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
