Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

А так как идея рассматривать площади в системе мира (т. е. в Солнечной системе.— ХХ. 1Х.) идет от знаменитого закона Кеплера, который относится только к секторам, описываемым радиусами-векторами планет в их эллиптическом движении вокруг Солнца, то вполне естественно, что Лаплас имел в виду лишь площади, которые получаются при двих«ении планет по орбите, и забыл о всех остальных.

Все это, естественно, объясняет упущение или ошибку, о которой я говорю и которая могла легко остаться незамеченной в прежней теории. Но при наших принципах такие упущения невозможны. Ибо для нас площади вовсе не поверхности, проектируемые на ту или иную плоскость, а настоящие вращательные силы или пары, действующие в системе; и дело не в том, чтобы упростить вычисление или найти плоскость, проекция на которую этих площадей максимальна, а в том, чтобы сложить действующие пары и определить величину и положение результирующей пары...». 3. Наибольшим успехом Пуансо в динамике была его «Новая теория вращения тел» (1834).

Указав результаты, полученные в задаче о вращении тела вокруг неподвижной точки Даламбером, Эйлером и Лагранжем, он говорит: «Надо согласиться с тем, что во всех этих решениях мы видим только вычисления без какой-либо ясной картины вращения тела. Конечно, эти вычисления, более или менее длинные и сложные, позволяют определить, где окажется тело к заданному времени, но мы вовсе не видим, как оно туда попало, мы его полностью теряем из виду, тогда как хотелось бы наблюдать его и следить за ним, так сказать, взглядом в течение всего вращения.

И я старался открыть именно это отчетливое представление вращательного движения, чтобы сделать доступным обозрению то, что пока еще никем не было изображено»». Действительно, в кинематической части работы введен целый ряд новых и наглядных понятий: понятие пары вращений и эквивалентность пары вращений поступательному движению; центральная ось системы вращений и поступательных движений; представление вращения тела вокруг точки как качения без скольжения конуса по конусу.

При переходе к динамике Пуансо вводит эллипсоид моментов инерции, центральный эллипсоид инерции, приходит к замене вращения реального тела по инерции качением его эллипсоида инерции по плоскости, вводит в рассмотрение полодию и герполодию. Здесь я«е мы находим и такую общую декларацию: «То, что создает иллюзию в некоторых умах относительно силы, которую они приписывают формулам анализа,— это легкость, с которой можно извлечь из них истины, уже известные и, так ска- зать, нами самими туда вложенные...

Когда теорема известна, надо только записать ее в виде уравнений: если теорема верна, каждое из уравнений должно быть верно, равно как и получаемые из него преобразованием, и если мы приходим к очевидной или уже установленной формуле, то надо только принять ее за отправную и пойти от нее вспять — покажется, что само вычисление привело нас к интересующей нас теореме. Но в этом-то читатель ошибается. Так, вполне ясно, что сейчас было бы вполне легко обнаружить изложенные здесь идеи в аналитических выражениях Эйлера и Лагранжа и вывести их с такой видимой простотой, чтобы создать впечатление, будто ониспонтанно порождены этими формулами. Однако, поскольку они не были замечены математиками, которые на столько ладов преобразовывали упомянутые формулы, следует признать, что такой анализ вовсе их не дал.

Пришлось дожидаться, чтобы они были получены совсем другим путем, пре»кде чем удалось их выявить» '. 4. Уверенность в том, что различные физические процессы сводятся к механическим и, во всяком случае, моделируются механическими процессами, характерна для физики Х1Х в., и это было существенным фактором развития механики. Пуансо в своем противопоставлении аналитическому методу наглядного, в своем требовании считать механическую задачу решенной лишь тогда, когда мы «видим» ее решение, был в самой теоретической механике представителем механического моделирования. В связи с этим формировались его взгляды на основные, исходные полон<ения механики, с которыми надо познакомиться, так как и в этой области влияние Пуансо было весьма заметным.

В работе 1808 г. «Общая теория равновесия и движения систем»" Пуансо писал о Лагранже: «Это была счастливая мысль: исходя из принципа возможных скоростей как из аксиомы и не останавливаясь на его рассмотрении (?1), помышлять лишь о том, чтобы извлечь из него единообразный метод для получения уравнения равновесия и двия«ения всех возможных систем.

Тем самым все трудности механики остались позади: уклоняясь, так сказать, от того, чтобы делать эту науку, ее превратили в вопрос анализа; и это преобразование, предмет и результат аналитической механики, представлялось поразительным примером мощи анализа... Поэтому, естественно, решили, что наука уже сделана, и остается только отыскать доказательство принципа возможных скоростей. Но в этих поисках встретились со всеми трудностями, череа которые перешагнули, вводя принцип виртуальных скоростей, а так как в книге Лагранжа оставался ясным лишь ход вычислений, то увидели, что туман вокруг курса механики рассеялся лишь потому, что он сгустился, так сказать, в самом начале этой науки»".

(Перед этим Пуансо упоминает о «неясных и чуждых» понятиях бесконечно малых движений и возмущений равновесия). Он справедливо указывает, что в «Аналитической механике» Лагранжа не доля<но быть собственно доказательства принципа виртуальных скоростей, «так как доказательство закона, охватывающего всю науку, может быть лишь сведением этой- науки к другому закону, столь же общему, но очевидному или, по крайней мере, более простому, чем первый, и тем самым делающему этот первый закон ненужнь1м»".

И далее: «Лагранж действительно открыл общее правило для решения или, по крайней мере, для составления уравнений всех задач механики, эта цель полностью достигнута. Но, чтобы создавать саму науку, надо выдвинуть теорию, которая охватывает в равной мере все точки зрения, с каких науку можно рассматривать. Надо прямым путем идти не к принципу виртуальных скоростей, а к тому ясному правилу, которое сумели из него извлечь для решения аадач; и прямое, естественное отыскание такого правила, единственное способное удовлетворить нам ум, составляет главный предмет этого мемуара» ". Правило, о котором здесь пишет Пуансо, сводится в сущности к «принципу освобождения» — замене связей введением их реакций, к тому нсе не в очень общем случае. Пуансо сначала устанавливает, что если система сил (прилоясенных к неизменяемой системе тел и материальных точек) находится в равновесии, то ее можно свести к нескольким «двойкам» сил — группам из двух равных и действующих по одной прямой в противоположных направлениях сил.

Пусть на систему накладывается связь, аадаваемая уравнением меясду координатами ее точек « =. соней. Фиксируем все аргументы в Ь, кроме координат т, и, р одной и той же точки. Тогда заданная связь означает, что эта точка должна находиться на поверхности 1 = сопз$, откуда (не оговаривая отсутствия трения) Пуансо заклю- чает, что на точку действует сила, составляющие которой пропорциональны «первым функциям» от Л, т. е. частным производным дЛ!дв», дал, дХ,!др. Так у Пуансо появляются соответствующие реакции идеальной связи ь(д1./дгв), Х (дА!дп), Х (дА/др),...

Это формулируется в виде особой теоремы: «Каковы бы ни были уравнения Л = О, М = О,... между координатами различных точек системы, каждое из них для равновесия требует, чтобы к этим точкам вдоль их координат были приложены некоторые силы, пропорциональные первым производным функциям по соответствующим координатам» ". Отсюда следуют уравнения равновесия вида Х+)., +р, +...

=О дХ, дМ и вывод, что «вся механика сводится к умению оценить те взаимные сопротивления, которые могут оказывать друг другу, в силу связывающих их условий, различные точки системы» ". Уравнения нсе движения получаются иа того положения, что неуравновешивающиеся «приложенная дА сила» (Хы...) и сопротивления связей (Х вЂ”,...) дают теЙРх1 перь «ускорительную силу» ( —,,,...), т.

Характеристики

Список файлов учебной работы