Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Выделяется тот случай, когда идх + еду + ш»г есть полный дифференциал (по современной терминологии — налично потенциала скоростей), и доказывается, что если эта величина была полным дифференциалом при одном значении д то она должна быть им и при всех значениях» (доказательство позже было подвергнуто критике, но реаультат был новым). Приводится пример движения, когдапотенциала скоростей нет. При его наличии выводится известный «интеграл Лагранжа» уравнений движения. Доказывается, что потенциал скоростей существует для линеаризованных (в предположении малости и, и, ю) уравнений движения.

Рассматриваются приближенные методы решения в предположении, что одну или две координаты (з, у) можно рассматривать как малые величины. Затем, показав, что если ий: + Ыу + ю»(з == = д»р, то «р, по условию несжимаемости, удовлетворяет уравнению дар д»~р д»~р дх1 ду'-' дг' —,+ —,+. =о, Лагранж получает приближенные формулы (г — малая величина; »р ищем в виде ряда по степеням г) для ~р с учетом граничных условий на свободной поверхности и у стенок.

Зги формулы применяются к движению жидкости, протекающей в узком и почти вертикальном сосуде. После разбора нескольких частных случаев такого движения следует резюме. «Приведенные выше решения согласуются с решениями, найденными первыми авторами, которым мы обязаны теориями движения жидкостей; указанные авторы нашли .их, исходя из допущения, что различные слои жидкости, опускаясь в сосуде, в точности сохраняют свою паралл»льность (см. «Гидродинамику» Даниила Бернулли, «Гидравлику» Ивана Бернулли и «Трактат о жидкостях» Даламбера). Наш аналиа показывает, что это допущение правильно только в том случае, когда сосуд имеет бесконечно малые размеры, но что его можно применить в качестве первого приближения и что получающиеся прп этом решения верны с точностью до величин второго порядка, если размеры сосуда рассматривать как величины первого порядка. Вольшое преимущество настоящего анализа заключается, однако, в том, что с его помощью можно все ближе и ближе подойти к действительному движению жидкостей в сосудах любой формы; в самом деле, определим ...

первые значения неизвестных; отбрасывая при этом вторые степени поперечных размеров сосуда, легко затем улучшить приближение...; детали этих вычислений не представляют никаких трудностей, кроме известной громоздкости выкладок...» '. В заключение раздела те же приближенные формулы применяются к движению жидкости, содержащейся в неглубоком и почти горизонтальном канале (уравнение дна г = с«(х,у) при вертикальном направлении оси х, а — величина первого порядка, малости). Идя дальше по пути упрощений (линеаризуя полученные уравнения в предположении, что изменение г и горизонтальные скорости и и г — величины первого порядка малости), Лагранж приходит к уравнению для волн в канале или бассейне небольшой глубины (г =. — —, и = — —, е =.

— ). 1 д(~' д~~' д~'~ д» ' дх ' дх)' Теория же волн, «данная Ньютоном в предложении 46 второй книги «Р»1пс)р1а», основана на сомнительном и мало естественном допущении, что вертикальные колебания волн аналогичны колебаниям воды в изогнутой трубке, и поэтому должна быть признана совершенно недостаточной для разрешения настоящей задачи» '.

При постоянном а последнее уравнение переходит в уравнение (9) и совпадает с уравнением для звуковых колебаний, т. е. волн сжатия и разрежения воздуха, аналогия, «которую многие авторы уже предполагали, но которой до сих пор еще никто не доказал» '. Лагранж не располагал средствами для интегрирования в двумерном случае, поэтому из своего результата он мог извлечь только формулу для скорости волн.

За- ключительное замечание Лагранжа о применимости его теории не только для мелководья, поскольку можно считать, что при образовании волн вода приводится в движение лишь на очень малую глубину (он ссылается при этом на наблюдения над большими волнами в океане), ошибочно— это было позже указано Пуассоном. Но первый шаг в гидродинамической теории волн был сделан. В последнем отделе уравнения движения сжимаемых и упругих жидкостей тоже выводятся в двух видах аналогично предыдущему, и опять-таки рабочим аппаратом служат уравнения в «локальных производных».

Предполагая наличие потенциала скоростей (~р) и справедливость закона Бойля — Мариотта, Лагранж выводит нелинейное уравнение для потенциала скоростей: «в одном атом уравнении содержится теория движения упругих жидкостей, построенная на сделанном допущении» '. Для малых колебаний («в теории звука») уравнение линеаризуется в виде ~д'<р д%р д'<~~ д'~р дР з~р дк д<р др д~р дь~' — + —. + —.~ — — — .

— — — — =-а ~з»» дк» д»») дп э» дз ду ду д» дг (р' — потенциал массовых сил). Отсюда для движения в горизонтальной плоскости получаем уравнение (9') аналогичное уравнению (9). «Однако даже и при таком упрощении это уравнение все еще слишком сложно, чтобы его можно было проинтегрировать точно» ", и Лагранж переходит к одномерному «случаю звучащей линии» (уравнение струны) и разбирает два применения: теорию звучания флейт или органных труб и теорию распространения звука в свободной атмосфере. То, что скорость звука получалась при этом значительно отличающейся от измеренной в экспериментах, он приписывал ненадежности последних (что надо исходить из адиабатического уравнения состояния, было указано Лапласом позже).

Мы достаточно подробно изложили содержание гидро- механических разделов «Аналитической механики», чтобы покааать, что в этой части Лагранж действительно охватил все достижения предшествовавшего столетия. Главное было сделано дйлером, который ввел во всей яя общности понятие внутреннего давления и дал уравнения движения идеальной жидкости. То, что Лагранж лишь во втором издании «Аналитической механики», т. е. под конец лсизнп, высказался о значении этих открытий Эйлера, с которых и начинается собственно теоретическая гидродинамика, вовсе не означает, что лишь тогда он «дорос до понимания величия дела Эйлера»" (это связано с «человеческим, слишком человеческим» в отношениях Лагранжа, Даламбера и Эйлера, и подробности мы опускаем). Но, как совершенно правильно отмечает Трусделл, Эйлер, а до негоДаламбер, не были еще в состоянии получить из своих уравнений хотя бы один новый результат, который можно было бы сопоставить с экспериментом.

Лагранж сделал шаг вперед и в извлечении общих следствий из уравнений движения идеальной жидкости (перманентность потенциального движения, интеграл Лагранжа), и в развитии методов их приближенного решения, и в более конкретных их применениях (теория волн). В этой части «Аналитическая механика» содержала весь запас теоретических результатов и методов, накопленный «веком просвещения» для будущих поколений. Это не значит, что общепринятым был следующий часто упоминаемый тезис Лагранжа: «Благодаря этому открытию ( т. е.

открытию уравнений Эйлера,— И. П.) вся механика жидкостей была сведена к вопросу одного только анализа, и если бы уравнения, содержащие эту механику, были интегрируемы, можно было бы в каждом случае полностью определить условия движения и действия жидкости, приводимой в движение любыми силами» ". Принципиальное значение «парадокса Даламбера» (отсутствие сопротивления поступательному движению сферы в идеальной жидкости) было ясно прежде всего самому Даламберу; он указывал на то, что надо обратиться к эксперименту, и сам принимал участие, особенно в последние годы жизни, в экспериментальных исследованиях.

Гидротехническое строительство в Х »'11 и ХУ111 вв. велось в Италии и Франции с большим для того времени размахом, шло оно н в других европейских странах. В эпоху до появления железных дорог создание внутренних водных путей сообщения (каналы, связывающие различные рени) имело особое значение. Заодно более широко использовалась водная энергия.

То, чего не могла еще в этих отраслях техники дать теория, надо было извлечь из опыта, и люди, работавшие в этом направлении, не возлагали больших надежд на уравнения гидродинамики. В «Теоретическом и экспериментальном трактате по гидродинамике» известного ученого того периода Ш. Боссю (1730 — 1814) "' в историческом обзоре после похвал Даламберу, Эйлеру и Лагранжу мы читаем: «Совместные усилия великих геометров, видимо, исчерпали все ресурсы, которыми располагает анализ для определения движения жидкостей. К несчастью, по самой природе вопроса эти расчеты настолько сложны, что их можно рассматривать как сами по себе драгоценные математические истины, но не как символы, которыми можно наглядно описать действительное и физическое движение жидкостей».

Характеристики

Список файлов учебной работы