Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому «... раз есть вопросы, в которых математические средства слишком сложны или даже беспомощны, то надо стараться возместить этот недостаток с помощью эксперимента». И Боссю развертывает свою программу: «Многочисленные факты, если их внимательно проанализировать и по возможности связать с общими законами, могут внести поправки в теоретические результаты или же, если их удачно систематизировать, составить нечто вроде теории, лишенной„правда, геометрической стройности, но простой, легкой и приспособленной к наиболее насущным нуждам практики. Я начал обдумывать это вскоре после моего назначения профессором математики инженерной школы в Мезьере.
По своим обязанностям я должен был излагать молодым инженерам механику жидкостей, что для них было необходимо. При нехватке тогда хороших элементарных книг по этому предмету я диктовал своим ученикам некоторые опыты, не предназначенные для опубликования: в ряде случаев я чувствовал, что теория недостаточна, и я хотел обратиться к эксперименту, прежде чем начать большой труд. Мои соображения по этому важному вопросу снискали одобрение просвещенных и ревностных людей, управлявших инженерной школой. Герцог Шуазель, тогда военный министр, выделил средства для проведения опытов; я их ставил, размышлял, и плодом атой работы явился настоящий труд».
В этих двух томах, действительно содержится много экспериментальных данных (большинство из них сведено в таблицы), наиболее ценных для того времени,— о сопротивлении движения судов в каналах в зависимости от размеров. Много места занимает теория приборов: барометров, ареометров (вклю- 5 и. в. порее«ысскиз ил чая конструктивные вопросы), насосов и других машин.
Теоретически труд Боссю на уровне «Гидродинамики» Д. Бернулли и данная ему оценка, что он пе означал существенного прогресса ни в методах, ни в понятиях динамики жидкостей, верна '4, Значительно ценнее вышедшие вторым изданием, одновременно с первым изданием книги Боссю, «Основы гидравлики» Дюбюа ". Благодаря усовершенствованию измерительной техники Дюбюа смог доказать, что давление позади и по бокам препятствия может быть ниже, чем в покоящейся жидкости, смог акспериментально определить полное сопротивление телу, движущемуся в воде, и выделить сопротивлениетрения. Дюбюа открыл известный под его именем парадокс и ввел понятие о присоединенной массе (не придумав для него особого термина). Он опытным путем доказал, что при движении реальных жидкостей их трение о достаточно гладкие стенки не зависит от материала стенок, заключил отсюда о наличии прилипания жидкостей н пришел, таким образом, к новому граничному условию для (неидеальных) жидкостей, принятому впоследствии Стоксом в теории вязких жидкостей (условие Стокса — Дюбюа).
Эти результаты убедительно показывали, что перед гидродинамикой стоит задача не только интегрировать уравнения движения, найденные Эйлером, но и выйти за рамки схемы идеальной жидкости. Однако подытоживающего исследования по этому комплексу вопросов рассматриваемый период не дал, и, представив себе весь фронт гидродинамических исследований того времени, приходится сделать вывод, что он не был объединен общей программой, общим пониманием назревших проблем, общей оценкой положения и методов исследования. 3.
«Аналитическая механика» Лагранжа является, если не полным, то во всяком случае первостепенной важности источником для того, кто хочет познакомиться с наследием ХУ111 в. в гидродинамике. Не так обстоит дело в теории упругости. К концу века она еще не была вполне оформившейся дисциплиной. Было решено немало задачстатики упругих одномерных тел, для одномерного случая были рассмотрены и некоторые динамические задачи (струна); впрочем, при исследовании упругого линейного многообразия двоякой кривизны реальные достижения были невелики, и еще меньше удалось сделать в задачах двумерных: ошибки Эйлера при исследовании колебаний кривых стержней (1760, 1774) и Якова Бернулли П в задаче о колебании пластинок (1787) достаточны, чтобы наметить границы, которые не перешагнула теория упругости того времени,— пространственные задачи оставались еще неприступными.
Не были выработаны в общем виде основные понятия, необходимые для теории (тензор напряжений, тензор деформаций), не были получены общие уравнения равновесия и движения. Тем не менее было сделано очень много, в первую очередь Эйлером. По оценке К. Трусделла, тщательно изучившего первоисточники, весь материал, необходимый для оформления общих уравнений и методов механики упругих тел, уже был ", но он был в фрагментарном состоянии — в различных работах, в которых исследовались сравнительно частные задачи, и в оболочке этих частных задач. «Аналитическая теория упругости» еще не была построена, и Лагранж не мог ее дать в своем труде, как он не мог бы дать, скажем, аналитической динамики системы точек и твердых тел, если бы ему не были известны общие законы динамики. Лагранж постулировал применимость принципа виртуальных перемещений в эластостатике, и это было существенным обобщением принципа (см.
стр. 25), но общая формулировка в данном случае ничего не подсказывала в конкретных задачах: известно, что надо составлять сумму виртуальных работ, но мы не знаем, как выразить работу сил упругости на перемещениях упругой системы в тех или иных переменных. Поэтому второй параграф четвертого отдела «Статики» Лагранжа «Применение того же метода к формуле равновесия сплошных тел, все точки которых находятся под действием каких-либо сил» не содержал уравнений статики упругих тел и не мог быть в то время дополнен такими указаниями, которые позволили бы составить эти уравнения в общем виде.
Вот почему второстепенным является другое слабое место этого параграфа: граничные условия формулируются Лагранжем так, что охватывается только одномерный случай. На это указал Дарбу в примечании, приведенном на стр. 116 — 117 первого тома. Впрочем, Лагранж выражается не вполне ясно, и это место «Аналитической механики» можно толковать по-разному. В первом отделе «Разрешение различных проблем статики» Лагранж изложил решение нескольких одномерных задач эластостатики, подобрав их в качестве вт 5~ иллюстраций применения своего метода. Задачи расположены в порядке увеличения числа связей, что определяет сложность задачи при решении ее по методу множителей.
Это задачи: 1) о равновесии трех или большего числа тел, укрепленных на упругом стержне; 2) о равновесии гибкой и нерастяжимой нити; 3) о равновесии гибкой и вместе с тем поддающейся растяжению и сокращению нити или поверхности; 4) о равновесии упругой нити или пластинки ". Все изложенные результаты были известны, новым был только единообразный метод их решения (конечно, в некоторых случаях Лагранж должен был ограничиться лишь составлением уравнений, например, в третьей задаче для равновесия поверхности, где выведено уравнение равновесия мембраны).
Но единство формы изложения не выявляло, а скорее скрывало единство физических предпосылок и представлений, вводимых к тому же мимоходом. Так, в первой задаче Лагранж чисто формально вводит «силу упругости» Е, на которую нужно умножить дифференциал угла смежности, чтобы получить соответствующую виртуэльную работу.
В четвертой задаче о физической схеме сказано только следующее: «Обычно принимают, что упругая сила, противодействующая изгибанию, обратно пропорциональна радиусу кривизны» ". Да и сама выборка задач, предопределенная методом изложения, не дает и не должна была давать полное представление о том, что было накоплено в этой области со времен Галилея. К тому же изложение Лагранжа уязвимо в нескольких существенных пунктах. Так, в третьей задаче (ее не было в первом издании) главным результатом был вывод уравнения для малых вертикальных прогибов первоначально плоской мембраны в поле сил тяготения, но способ вывода вскоре был подвергнут справедливой критике Пуассоном.
В четвертой задаче прием, применяемый Лагранжем, страдает двумя недостатками: оказывается, что при атом два из «множителей Лагранжа» обращаются в бесконечность, а, кроме того, рассматривается только плоский случай, вследствие чего не учитывается момент упругих сил, вызывающий кручение. Математически корректно эта задача была вскоре рассмотрена Бине ", но и в изложении Бине физически или, если угодно, механически задача с достаточной ясностью не поставлена. Итак, труд Лагранжа в этой области — не итог, хотя бы частичный. И такого итогового труда вообще не было— первые монографии по теории упругости появились в Х1Х в.
Поэтому приведем здесь краткий перечень накопленных к началу Х1Х в. результатов '". В гидродинамике, исходя из континуальных представлений, Эйлер (1766) и за ним Лагранж (в «Аналитической механике») дали выражения для всех шести составляющих тензора (малых) деформаций — для растяжений и сдвигов. Однако этот результат не нашел отражения в теории упругости и в период соадания ее общих уравнений (надо думать потому, что Навье, Пуассон, отчасти и Коши исходили из схемы «молекулярной механики»), и Коши пришлось проделать ату работу заново. В задачах теории упругости рассматривалась почти исключительно деформация растяжения.
Что касается напряжений, то в отдельных исследованиях (при рассмотрении задач частного вида) были выработаны необходимые представления. В задаче о равновесии упругой (плоской) линии Эйлер, рассматривая воздействие части атой линии на соседний элемент, получил вполне общие уравнения равновесия. Срезывающие усилия рассматривал в начале ХУП1 в.
Паран (Раген»), в конце века — Кулон, но представление о том, что результирующая сил, действующих на площадку в упругом материале, может быть направлена не по нормали к ней, не стало еще общим достоянием механиков. Даже много позже такой механик, как Пуансо, как говорится, слышать не хотел о работах по теории упругости Навье и Коши: «У них получается какое-то косое давление!» ". Представление о характерных для данного материала постоянных («модулях») в полной общности еще отсутствовало, но в теоретических исследованиях такие постоянные в вцде коэффициентов пропорциональности появились, а в экспериментальных работах можно было найти уже довольно много таких данных. Прямая пропорциональность напряжений и деформаций («закон Гула») не могла быть еще сформулирована в качестве общего закона, а для частного вида деформаций ставилась под сомнение.
Причиною было то, что в эксперименте работали преимущественно с большими деформациями, на грани разрушения образца, и лишь постепенно выявлялось, насколько малы деформации до приближения к пределу упругости даже при больших усилиях. Конечно, то, что напряжения зависят от деформаций (и наоборот), было общепризнано. Неосознанным, но существенным достижением было включение упругих тел в общую схему механики, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
