Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 12
Текст из файла (страница 12)
И то и другое резко отличает ее от механики Лагранжа. У Карно все первичные понятия и представления — земные, у Лагранжа все они, если угодно, небесные: они связаны со схемой тел — центров сил, отделенных любыми рас- стояниями. Эта схема, физически совершенно неприемлемая не только для Гюйгенса, но н для Эйлера, постепенно подчинила себе мышление ученых благодаря изумительным достижениям небесной механики Х'»'1П в. Но «внутреннее сопротивление» оставалось.
Карно обходит молчанием вопрос о силе взаимного тяготения, и здесь его динамика ничего не может предложить самостоятельного. Однако и механика Лагранжа, рассматривая несвободное движение, начинала работать с реакциями, возникающими при непосредственном соприкосновении тел, игнорируя схему центров сил. Настоящего единства трактовки пе было ни тут, ни там. И книга Карно представляет вполне полноправное направление в механике своей эпохи. Она пользовалась влиянием; доказательством является то, что опа вышла вторым, значительно расширенным изданием в 1803 г. (Карно тут полнее развернул построение механики, вывел из своих основных уравнений условия равновесия, уравнения движения) и была вскоре после этого переведена на немецкий язык.
Механика дефоркируеиь»х еред к началу Х1Х в. 1. В «Аналитической механике» Лагранжа шестой отдел «Статики» представляет собой исторический обзор принципов гидростатики. Он заканчивается выводом, что принцип равенства давления по всем направлениям является «до настоящего времени основой равновесия жидкостей, и следует признать, что этот принцип заключает в себе наиболее простое и наиболее общее свойство, установленное опытом для жидкостей, находящихся в состоянии равновесия»'. Но тут же Лагранж (риторически) ставит вопрос: «является ли знание этого свойства совершенно необходимым при исследовании законов равновесия жидкостей3 Нельзя ли эти законы вывести непосредственно из самой природы жидкостей, рассматривая последние как собрание молекул, сильно разобщенных, независимых друг от друга и способных совершенно свободно двигаться во всех направлениях? Это я и попытаюсь сделать в следующем отделе, пользуясь при этом только принципом равновесия, который я до сих пор применял к твердым телам.
Эта часть моей работы даст не только одно из наиболее прекрасных применений упомянутого прин- ципа, но и послужит для упрощения в некоторых отношениях самой теории гидростатики» '. Действительно, постулируя применимость принципа виртуальных перемещений к идеальным жидкостям, Лагранж получает уравнения гидростатики по своей общей схеме. Пусть Х, У, Я вЂ” составляющие по осям прямоугольной системы координат силы, приложенной к частице жидкости с массой дт, занимающей объем дхдудг, а Г— плотность жидкости: от = — Гдхдудг.
Условие несжимаемости записывается в виде Ыхоуог =- сопзФ, и уравнение, выражающее принцип виртуальных перемещений, получается в виде ~ (Хбх+ Убу+ Ибг)дт+ ~ Лб(дхдуаг) =О. (1) Лагранж дает детальный вывод вариации объема элементарного прямоугольного параллелепипеда и получает попутно (впервые отмечено редакторами русского перевода первого тома «Аналитической механики> Л. Г.
Лойцянским и А. И. Лурье) формулы для относительных удлинений (г(х переходит в дх(1 + дбх/дт),...) и сдвигов (прямой угол, образуемый дх и ду, после деформации переходит в угол, косинус которого равен дбх/ду + дбу/дх,...), т.е. тв формулы теории перемещений сплошной среды, которые обычно приписываются Коши. Окончательное выражение для Б(охду«(г) имеет вид дбх дбу дбг — + — + —, да ду дг и, таким образом, (1) переходит в ~$~Г(ХБх+ УЬУ+ Еб~) + Л( д + д ' + — д — )1 Х х Ых ду дг = О. (2) Наконец, преобразование левой части (2), соответствующее применению формулы Гаусса — Остроградского, приводит к равносильному соотношению ~~(ГХ фб + (ГУ вЂ” лбу+ (Г2 — —",) б.~+ + ~ (Л"Ьг" — Л'бх') дуда+ ~ (Л"Ьу" — Л'Бу')ахаг+ + ~ (Л"Ьг" — Л'Ьг') дх ду = О, (3) где двумя штрихами и одним штрихом обоаначены вели- чины, относящиеся «к началу» и «к концу» интегрирования, как выражается Лагранж, т.
е. последние три слагаемых — интегралы по поверхности. Отсюда получаются уравнения, выражающие граничные условия, н уравнения равновесия, относящиеся ко всей массе жидкости: ГХ вЂ” — = О, ГУ вЂ” — -- О, 17 — — —.. О. (4) Следовательно, Г (Хдх + Уду + Хдз) == «Р„т. е. левая часть последнего равенства тоже должна быть полным :дифференциалом — условие, налагаемое на массовые си-'лы Х, У, 3 и впервые полученное Клеро. Лагранж ука:зывает и механический смысл величины ), введенной 'пока формально. Аналогично истолкованию таких мно'жителей в предыдущих отделах «Статики» это «сила, 'стремящаяся уменьшить значение той функции, на вариацию которой умножаем т..
В данном случае такая функция — объем элементарной частицы жидкости; таким образом, эта сила представляет собою не что иное, как давление...» ". Уравнения равновесия и получаемые из них следствия относительно поверхности равновесия жидкой массы в поле потенциальных сил применяются затем к задаче об (относительном) равновесии вращающейся жидкой массы, образующей сплошное тело (проблема Ньютона) или покрывающей твердое ядро (Земля,покрытая океаном). При этом используется приближенное выражение для потенциала тела, представляющего собою «эллиптический сфероид, мало отличающийся от сферы».
В проблеме Ньютона Лагранж располагал только решением Маклорена (эллипсоид вращения), и он приходит к выводу, что вопрос о форме Земли, рассматриваемый с физической точки зрения, раарешен только при наличии предпосылки, что Земля представляет собою жидкий и однородный сфероид. Задач технического содержания в этом отделе нет. Следующий отдел (восьмой) «О равновесии сжимаемых и упругих жидкостей» (т. е. газов) невелик. Вводится величина е, характеризующая упругость частицы «(т с объемом Ыхдудг. Формально она заменяет величину Х (давление) предыдущего отдела, так что из уравнений равновесия (4) сразу получаем новые уравнения — +ГХ=-О, — + ГУ =О, — +Г7,=0.
(5) дт ' ' ду ' з« Пусть»» — температура данной частицы газа. Примем, что е =-- тГг», где т — коэффициент пропорциональности. Из (5) следует, что де+Г(ХНх+Уду+ЪЬ) =О, следовательно л» х«х, у«'у ~ /~й т — + ", .=- О. Рассматривая 6 как функцию от х, у, з, получаем обобщение результата Клеро — условие, что при равновесии величина ХЛ»+Руд+яд. в должна быть полным дифференциалом.
А так как в природе, пишет Лагранж, числитель в (6) является полным дифференциалом дП (х, у, г), то и  — г» (П). Отсюда, когда дП .== О, то и оО= О, т. е. в атмосфере поверхности уровня изотермичны. Кроме этого результата, даны ещв вывод и анализ барометрической формулы. 2. Гидродинамика является предметом трех последних отделов второй части «Аналитической механики» вЂ” «Динамики».
Невелик десятый отдел — «О принципах гидро- динамики». В нем обращает на себя внимание то, что на первом плане — заслуги Даламбера. Даламберу приписывается то, что он в 1752 г. в «Опыте новой теории сопротивления жидкостей» дал точные уравнения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих. Лишь во втором издании «Аналитической механикю> была добавлена ограничительная фраза: «Однако эти уравнения не обладали еще всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» (что, собственно, противоречит предыдущему), после чего, наконец, был нааван истинный создатель гидродинамики идеальных жидкостей: «Только Эйлеру мы обязаны первыми общими формулами для движения жидкостей, основанными на законах их равновесия и выраженными в простой и ясной символике частных производных...» '. Зти общие формулы, т.
е. уравнения движения, выводятся в одиннадцатом отделе «О движении несжимаемых жидкостей» и в двенадцатом — «О движении сжимаемых и упругих жидкостей». Для несжимаемых жидкостей иэ (4) по общему методу сразу получаем уравнения (7) где знак Р принят «для выражения дифференциалов, относящихся к мгновенному положению смежных частиц, в то время как знак д будет относиться только к изменению положения той же частицы в пространстве».
Условие несжимаемости дает еще уравнение д (Рх Ру Рз) = О, которое преобразуется к виду 1>кв + 11~у+ т~«. (8) В.= Л1 «1»» так что получается система четырех уравнений для определения четырех неизвестных х, у, з, 1.. После этого система (7) — (8) преобразуется двумя способами: сначала к той форме, когда независимыми переменными являются значения х, у, з при каком-то фиксированном значении времени 1, например, при »вЂ О (обозначим их через а, Ь, с) — это дает уравнения «в форме Лагранжа» согласно укоренившейся терминологии, хотя Лагранж не приписывает их себе и они имеются у Эйлера.
«Но эти уравнения имеют слишком сложный вид, и их можно привести к более простому виду, если в качестве неизвестных вместо координат х, у, г принять скорости йх1й, йу(й, Йг1г11 по направлениям координат и если эти скорости рассматривать как функции от т, у, з, с» '. После этого довольно просто уравнения движения получаются в форме «уравнений Эйлера>, которым «можно отдать предпочтение в теории жидкостей». Впрочем, Лагранж указывает одно тонкое соображение в пользу первой формы уравнений: у неоднородных я<идкостей плотность есть функция, постоянная во времени для одной и той же частицы, но изменяющаяся при переходе от одной частицы к другой по заданному закону.
Поэтому при первой («субстанциональной») точке зрения плотность является заданной функцией независимых переменных а, б, с, при второй («локальной») точке зрения она — искомая функция аргументов я, у, г, добавочное уравнение для которой получается нз условия, что ее проиаводная («в смысле Р») по времени равна нулю д1' дГ дГ, дГ 1 Нх Ыу Ы» > — + — и -(- — г + — ю = О; ~(и = —, г =-. —, ю = — ), щ дх дч д» ' \ ш ' ыс ' м )' В дальнейшем рассматриваются только однородные жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
