Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тут же Лагранж получает из уравнения (8) свою формулировку принципа наименьшего действия и показывает, что и, наоборот, из этого принципа можно получить уравнение (8). Все зто составляет третий отдел «Аналитической механики». В нем Лагранж вывел все общие теоремы и интегралы динамики, полученные в течение предыдущих ста лет. Следующий отдел был новым по содержанию: в нем из (8) выведены уравнения движения в двух видах, названных позже уравнениями Лагранжа второго рода и уравнениями Лагранжа первого рода.

Выведя свои уравнения второго рода, Лагранж отмечает, что не всегда бывает удобным исключить с помощью условных уравнений наибольшее возможное количество переменных: во иабежание излишнего осложнения расчета может оказаться целесообразным сохранение большого числа переменных, чем минимально необходимое. В этих случаях применяется не только «действительное исключение», как выражается Лагранж, но и метод множителей. Таким образом, вводятся, собственно, не две формы уравнений динамики, а три: кроме уравнений первого и второго рода, предусматривается, так сказать, промежуточная форма, когда только часть уравнений связи используется для снижения числа координат, определяющих положение механической системы.

Предположим теперь, что выражение Р«»р + Яд + + Адг + ... окааалось интегрируемым, т. е. полным дифференциалом, В', «что всегда имеет место в природе» ". Тогда уравнение (8) в общем случае, соответствующем и. Б. Погребе«скиа вп «промежуточной форме» уравнений динамики, преобразуется к виду ... + л" + л ч, + р им+... = о. <о> Здесь з, ф,...— обобщенныекоординаты; Т = — О, ЛХ = О,... — уравнения связи, которые остались неиспользованными для уменьшения числа степеней свободы системы; К— потенциальная функция, а Т вЂ” живая сила системы, выраженные через з, ф,... Отсюда получаются уравнения двиасения, «рассматриваемые во всей их общности» ", каждое из которых имеет вид 6Т 6Т И1 6Ь 66Х а — — — + — +Х вЂ” +р — +... =-0. 6«» 66 66 6г, Я Отмечается, что «если некоторые из переменных, входящие в Т, не входят в К, а также в Т„ЛХ,..., то уравнения, относящиеся к этим переменным, будут содержать лишь дифференциальные члены и интегрирование этих уравнений будет очень легко осуществить, особенно, если в Т эти переменные будут входить только в дифференциальной форме» ".

Такие переменные поаже были названы Гельмгольцем циклическими, В. Томсоном и Татом — игнорируемыми. Лагранж выводит из этих уравнений, при соответствующих допущениях, интеграл живых сил. Уравнения второго рода в первую очередь применяются в отделе «О малых колебаниях любой системы сил». Здесь в первом параграфе изложено «общее решение проблемы о малых колебаниях системы тел около их точек равновесия».

Это та теория малых колебаний системы с п степенями свободы около положения равновесия, которая стала обязательной главой «больших» курсов теоретической механики. Она основана на приближенном представлении живой силы Т квадратичной формой обобщенных скоростей, потенциальной функции $' — квадратичной формой обобщенных координат.

В соответствии с механическим смыслом задачи обе формы — положительно определенные. Лагранж ищет решение получающейся системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом выделения «нормальных колебаний» (как он выражается, «можно сначала допустить, что в такого рода уравнениях переменные находятся между собою в постоянных отношениях, так что мы имеем»)~ .= )з, ~р =- дз,...»). Так он приходит к алгебраическому уравнению частот. Он не расподагал строгим доказательством вещественности и положительности корней этого уравнения,— приведенные им по этому поводу соображения являются только наводящими.

Тут же Лагранж допускает ошибку (идущую от Даламбера), утверждая, что в случае равных корней уравнения частот время обязательно войдет в интегралы дви»ценил вне знака синуса и косинуса. Эта ошибка была исправлена, независимо друг от друга, К. Вейерштрассом (1858) и О. И. Сомовым (1858), что не помешало повторять ее позднее другим авторам ". Вернемся к основным, исходным, положениям динамики Лагранжа. То, что содержится в первом отделе «Динамики», где дан исторический обзор ее развития, можно охарактеризовать следующим. образом. Сначала формулируются два общих закона, на которых основана «теория неравномерных движений и ускоряющих сил, вызывающих эти движения»: закон инерции и закон сложения движений (по правилу параллелограмма — это в явной форме не сказано). То, что мы называем вторым законом механики, Лагранжем как бы выводится из этих двух положений, установленных Галилеем.

Вот схема его рассуждений. В равномерно ускоренном движении то постоянное отношение, которое существует между скоростями и временами или между путями и квадратами времен, принимается в качестве меры ускоряющей силы, непрерывно действующей на тело,— ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, согласно природе дифференциального исчисления, мы моя<ем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени; таким образо»«, всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если вызванную в это мгновение скорость сравнить с продолжительностью этого мгновения ...»»» Эту схему перехода от равномерно ускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построившего теорию центробежных Зб з.

сил: Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию 1'юйгенса на все кривые линии «и тем дополнил учение о неравномерных дви»пениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать». Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится к нескольким очень простым дифференциальным формулам» ". Эти дифференциальные формулы мы находим во втором отделе. А именно, воспользуемся тремя прямоугольными координатами х, у, з для определения положения тела (т.

е. материальной точки) а» в момент П Тело можно считать движущимся одновременно со скоростями Йх)ЙА Йу(ЙА Йг/й, и эти скорости вследствие существования между телами связи и под действием влияющих на них ускоряющих сил в течение мгновения Й» получают приращения Й(Йх~ЙГ), Й(Йу(й), Й(Й»~Й»). Поэтому «ускоряющие силы выражаются через Й»х(Й»», Й»у)й», Й»г~Й~», а если эти силы помножить на массу в» тела, на которое они действуют, то ш(Ух|Й»»), т(Й»у~Йг»), т(гг'г)Йя») выразят силы, примененные непосредственно для того, чтобы в течение времени ЙГ двигать тело т параллельно осям координат х, у, г»4'. Мы вышли таким образом на рубеж, с которого начинается вывод общей формулы динамики системы. Но все это относится к непрерывно действующим силам. Движение же тел, действующих друг на друга путем удара или давления, относится к «нроблемам более высокого порядка.

Тут приведенные выше положения недостаточны, так как силы, действующие на тело, неизвестны. Необходимо привлечь на помощь еще один принцип, который служит для определения силы тел, находящихся в движении, в соответствии с их массой и скоростью» ". И Лагранж в словесной формулировке вводит как самостоятельный принцип соотношение (в современных обозначениях) А (шт) —.— 1, называя 1 силой, или ударом. Лагранж чувствует необходимость сопоставить этот новый принцип с прежним: «...как проиаведение массы на скорость выражает конечную силу тела, находящегося в движении, так проиаведение массы на ускоряющую силу ...

выражает элементарную или возникающую силу, и если это проиаведение рассматривать как меру того усилия, которое тело может проявить благодаря своей элементарной скорости..., то оно дает то, что называют давлением; если же его рассматривать как меру силы, необходимой для того, чтобы сообщить эту скорость, то в этом случае оно представляет собою то, что называют движущей силой» '». Изложенное показывает, что основные понятия, которыми оперирует «Аналитическая механика», вводятся, как правило, мимоходом и формально. Многие физические вопросы, с ними связанные, например, методы измерения механических величин, вопрос о выборе системы отсчета, не рассматриваются. Достаточно того, что моя«но выбрать известную систему единиц и тогда «снлы, пути, времена и скорости явятся лишь простыми отношениями, обыкновенными математическими количествамю> ".

Мы можем сказать, что в таком изложении теоретическая механика почти полностью отделена от физики. Главное понятие «Аналитической механики» вЂ” сила. В статике сила в сущности неопределяемая величина, в динамике же она связывается привычным для нас теперь образом с массой и вторыми производными от координат по времени, что ведет через общее уравнение динамики к уравнениям движения.

Этим в определенном смысле завершалось раавитие механики по линии, ведущей к Лагранжу от Ньютона череа Эйлера. Благодаря общности и силе приемов «Аналитическоп механики» метод, основанный на «принципе ускоряющих сил», окончательно станет господствующим. В свое время Даламбер выступал против него с большой силой убеждения. Зачем обращаться к принципу, восклицал он, что ускоряющая или замедляющая сила пропорциональна дифференциалу скорости? Ведь он основан только на неясной аксиоме о пропорциональности следствия причине.

И Даламбер заявлял, что этот принцип, верен ли он или сомнителен, ясен или неясен, для механики бесполезен и должен быть иа нее изгнан. Такие тенденции были сильны, особенно у ученых картеаианской выучки. Основы для решения задач механики искали в положениях, соответствующих более или менее общим формулировкам закона живых снл и других «вторичных» законов механики. Поэтому долгое время в литературе эти законы именовались принципами. «Аналитическая механика» положила этому конец. Лагранж еще говорит о лрилзи>гах живых сил, движения центра тял«естн, моментов вращения и наименьшего действия. Однако он лишил их значения первоначальных, так как «все эти прин- ципы следует рассматривать скорее как общие выводы из законов динамики».

Характеристики

Список файлов учебной работы