Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 5
Текст из файла (страница 5)
К тому же определение Лагранжа, опирающееся на инвариантность скалярного произведения Рг«р, приводит в вокторной трактовке к противопоставлению характера изменения Р и р (ковариантность и контравариантность) и вполне соответствует современной методике. Указав на это обобщение, Лагранж далее предлагает два варианта применения соотношения (1). Первый соответствует тому подходу, который в динамике привел Лагранжа к его уравнениям второго рода.
Величины р, д, г,... считаются выраженными через координаты различных точек («тел»)асистемы. При этом «если природа системы такова, что тел при своих движениях подчинены особым условиям, следует сначала эти условия выразить с помощью аналитических уравнений, которые мы назовем условными уравнениями; затем с помощью условных уравнений исключим в выражениях НР, дд, Й',... столько дифференциалов, сколько возможно. Оставшиеся дифференциалы будут независимыми, и уравнение (1) даст столько условий равновесия, сколько будет независимых дифференциалов, так как коэффициент при каждом из них надо будет приравнять нулю в отдельности. Или же сразу введем в нужном количестве независимые переменные э, «Р, «р,... и будем рассматривать Р, д, г,...
как их функции. Тогда "Р =- —. %+ — 'Ч + — шР+ д«, дв дф й«1 =- — а~$+ — д«Р + — ЙР+ д« дд дд дГ д«Р д~р дг дг дг Иг = — (5+ — (ф+ — йр+ ", дй дф д~р и (1) перейдет в ('Р— ',"+д д +...~,(~+(Р— "+д д«+" ),(ф+".=О, 22 что даст уравнения число которых равно числу независимых переменных, то есть достаточно для их определения» ". Второй вариант применения соотношения (1) изложен в четвертом отделе «Статики» под названием «Более простой и более общий метод применения формулы равновесия, данной в отделе втором» ". Это метод множителей, использованный ранее Лагранжем в задачах вариационного исчисления. Мотивировка такова: непосредственное исключение переменных или их дифференциалов с помощью условных уравнений мох«ет привести к очень сложным вычислениям, поэтому дается тот лее метод в более простом виде с помощью приема, который сводит все случаи к случаю совершенно свободной системы.
Итак, пусть Ь =- О, М =- О, Х = О,... (2) различные условные уравнения, «вытекающие из природы системы». Здесь 1., М, Л',... — конечные функции переменных х, у, г; х, у, з,..., определяющих положение точек системы. Дифференцируя, получаем й« =- О, ЫМ = О, ЫХ === О,..., (3) — уравнения, дающие связь между дифференциалами переменных. И тут Лагранж делает замечание, которое снимает повторяющиеся до сих пор упреки, будто он ограничивался рассмотрением только голономных связей: «Вообще с помощью уравнений е(Л = О, ЫМ = О, дЖ = О,...
мы будем выражать условные уравнения между этими дифференциалами — независимо от того, будут ли эти уравпепия сами по себе полными дифференциалами или же нет,— при условии, что дифференциалы будут только линейными» «'. Умножив уравнения (3) соответственно на неопределенные пока множители Х, ««, т,... и комбинируя это с уравнением (1), Лагранж получает общее уравнение равновесияя рйр + (~йу + Вг«г + ...+ ~Ай[, + ««НМ+««Б+...=-О. (4) Он отмечает, что (4) в сочетании с (2) дает необходимое число уравнений равновесия, и, не ограничиваясь чисто аналитической частью, показывает, что, например, «член ИЛ можно рассматривать как момент некоторой силы Л, стремящейся вызвать изменение значения функции т,... Отсюда следует, что каждое условное уравнение эквивалентно одной или нескольким силам, приложенным к системе по заданным направлениям...» '4.
Лагранж подчеркивает, что эти силы могут заменить условные уравнения,— применяя их, можно рассматривать тела как совершенно свободные. Вти силы заменяют сопротивления, испытываемые телами вследствие наличия взаимных связей и препятствий; «болыпе того, эти силы представляют собою не что иное, как самые силы этих сопротивлений, которые должны быть равны и направлены прямо противоположно силам давления, развиваемым телом» '-'.
В том, что новый метод дает возможность определить эти силы и сопротивления, Лагранж видит одно пз его немаловажных преиыуществ. Таким образом, аппарат аналитической статики системы Лагранжем создан. Остается показать его в действии. В третьем отделе «Статики» из уравнения (1) выводятся шесть общих условий равновесия (три уравнения проекций и три уравнения моментов). При этом рассматриваетсл система из конечного числа материальных точек (тел). Но в четвертом отделе, прежде чем перейти к другим приложениям, сделан принципиально важный шаг: принцип виртуальных перемещений объявляется применимым к телам любого объема и любой формы, как совокупности бесчисленного множества частей или материальных точек.
В таком виде этот принцип представляет собой новую аксиому механики. Лагранж, видимо, относился к этому иначе. Для него такое обобщение представляется очевидным, он апеллирует только к аналогиям из математического анализа. Аналитическое же выражение этого обобщенного принципа у Лагранжа таково. Непрерывно распределенную массу он мыслит не атомистически, не «как собрание бесконечно большого числа точек, расположенных рядом; следуя духу исчисления бесконечно малых, представляется более целесообразным рассматривать ее как составленную из бесконечно малых элементов, обладающих теми же измерениями, что и вся масса» '". Итак, пусть вся масса тела и, масса одного из элементов дт; силы, действующие найт, записываются в виде РАт, фут, ВАт,..., так что Р, ~, Л,...— напряжения поля массовых сил по нашей современной терминологии.
Действуют они по направлениям соответственно линий р, д, г,..., изменения которых, отвечающие виртуальному перемещению, обозначаются через Бр, Бд, Бг,... и называются вариациями, а знак д оставляется для дифференциалов, соответствующих переходу от одной точки (элемента) тела к другой. Теперь вместо (1) мы получим, как вырая«ается Лагранж, интегральную формулу ~(РБР+ Г)Бд+ (тбг+...) Ат.= О. (5) Вместе с тем возникает и новая классификация связей.
Среди «условных уравнений» будут такие, которые относятся, в соответствии с природой задачи, к каждой точке массы — это неопределенные условные уравнения 1. == О, М = О, Л' = О,... Здесь «', М, Х,...— вообще функции и координат произвольной точки «заданной массы», и их дифференциалов любого порядка. Применяя операцию 6 к условным уравнениям, получаем 6«, = О, БМ = О,...; следуя методу множителей, надо добавить к левой части формулы (5) выражение ~(»6«" + )«БМ + ...). Но могут быть и определенные условные уравнения, относящиеся к отдельным точкам, обычно граничным.
Такие уравнения А = О, В = — О,... дают нам в дифференциальной форме условия БА = О, БВ .=- О,... Кроме того, обычно на граничные точки действуют некоторые силы дополнительно к тем, которые действуют на все точки массы. Отмечая силы одним штрихом, если они приложены в начальной точке, двумя штрихами, если они приложены в конечной, тремя штрихами, если они приложены в промежуточных точках, окончательно получаем условие равновесия в виде: ~ (РБР -(- ~~бд + ЛБг +...) Ат + ~()»БЛ+ рБМ+...) + -)- Р'Бр' -+ ()'Бд' +... + Р"Бр" + «~ "Бд" +...
... + аБА + РБВ +... = О. (6) К этому Лагранж дает два указания. Первое — о независимости операций д и 6, откуда следует перестановочность их, равно как операций ) и 6. «В этом заключается первый основной принцип вариационного исчисления». Второе указание таково: под знаком второго интеграла в формуле (6) могут быть дифференциалы высших порядков, т. е.
слагаемые с множителями вида Ьсг»х, б«»»х, Так как, например, ба~х = — И»бх, то интегрируя по частям, получаем 1а«(бх = ибх~ — 1бхаа, Р о»дх = Р Юх — йПЬх + ~ бх о»»«, т. е. мы всегда можем освободиться от всех дифференциалов вариаций под знаком интеграла. Это «второй основной принцип вариациопного исчисления».
Пользуясь этими двумя замечаниями, уравнение (6) можно преобразовать к виду (7) ~'(-бх ( убу + Ч"б») + Л =- О, где в В, Х, Ч ваРиации Уже не входЯТ, а Л л 'еино этно сительно бх', бу', бг',... и их дифференциалов. Из (7) следует, что Я = О, Е = — О, Ч' — — О и каждое слагаемое в Л должно быть равно нулю. В пятом отделе «Решение различных проблем статики» принцип виртуальных перемещений в виде (7) применяется к задаче о равновесии нити, гибкой и негибкой, растяжимой и нерастяжимой, упругой нити или пластинки; этим же способом выводятся уравнения равновесия твердого тела.
Кроме того, приводятся условия равновесия системы материальных точек, связанных между собой нитями или стержнями. Подведем некоторые итоги. Статика Лагранжа действительно аналитическая статика — первая система аналитической статики в истории механики. Ее основными понятиями, кроме понятия силы, являются понятие связи, задаваемои либо конечными, либо дифференциальными (не обязательно интегрируемыми!) соотношениями, и понятие виртуального перемещения — бесконечно малого перемещения, совместимого с наложенными связями («условными уравнениями»). Ве основной принцип, хотя именуется Лагранжем принципом виртуальных скоростей, фактически является принципом виртуальных перемещений, и его формулировка (если потребовать, чтобы она точно соответствовала тому, что фактически испольауется Лагранжем) будет вполне современыой: условием равновесия является равенство нулю суммы работ всех приложенных сил на (любом) виртуальном перемещении системы.
Лагранж формулирует свой принцип как необходимое условие равновесия («Если какая-либо система... находится э равновесии, то...»), достаточность принципа выявляется применительно к каждой отдельной задаче. Существенно обобщеыие принципа на континуальные системы. Принципиальный характер этого обобщения у Лагранжа не подчеркнут, скорее затушеван, хотя преобладают применения принципа именно к таким системам (к указанному надо добавить применения в гидромеханике: шестой и седьмой отделы «Статики» у Лагранжа). До Лагранжа статика развивалась преимущественно геометрическими методами, причем общие уравнения равновесия были выведены для неизменяемой системы и в гидростатике.
Для упругих систем были получены только разрозненные результаты, каждый раз особым методом. Следовательно, статика Лагранжа действительно охватывала все, полученное ранее, на основе единого метода. Но этот метод не столь уж математичен. Известное единообразие митематических операиий выражает оба«ность механических понятий, достигнутую Лагранжем: понятия идеальной связи (и реакции связи) и понятия силы (обобщенной силы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
