Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Практически это различие оставалось неуловимым и при астрономических измерениях. Однако самая постановка таких вопросов была связана с проблемами измерения расстояний и промежутков времени, приводившими к необходимости выяснить вопрос о том, какими системами отсчета можно пользоваться, как реализовать прямую линию и т. д. Что принятие геометрии, отличной от евклидовой, приводит к другой механике, показали первые же работы по'механике в пространстве Лобачевского.

Геометрия, как физика, начав свое отделение от геометрии, как математики, заставляла заняться основами механики. Тогда-то выяснилось, что обойтись только уравнениями нельзя, что отмахнуться от всякой в «метафизнки», связанной с пространством и временем, в духе механицизма ХЪ'П1 в. нет возможности, что все-таки в в механике надо искать прямые ответы на «проклятые вопросы». В 70 — 80-е годы диапазон таких ответов уже широк.

В. Томсон и Тэт в их знаменитом трактате «натуральной философии» вЂ” каноничные ньютонианцы. Видимо, под их влиянием перечисление трех «аксиом или законов движения» Ньютона (о которых мало говорит Эйлер и фактически ничего не говорят Лагранж, Лаплас, Пуассон, Якоби, Остроградский) становится наконец обязательным в учебниках механики; зато К. Нейман, Э. Мах и другие с разных точек зрения критически анализируют основы классической механики. Отныне проблема системы отсчета не может быть обойдена молчанием. А так как уже давно выяснено, что связанная с Землей система отсчета не является привилегированной, этоуводигвобяаоэь-астрономических наблюдений; основанных на регистрации световых сигналов.

Проблемы основ механики отныне неотделимы от проблем оптики движущихся тел и, следовательно, с торжеством электромагнитной теории света (80 — 90-е годы),— от проблем электродинамики движущихся тел. Такие связи взаимны, и специальная теория относительности Эйнштейна, в отличие от работ Лоренца и Пуанкаре,— это прежде всего новая кинематика, построенная Эйнштейном как ответ на вопросы, относящиеся собственно к механике (относительность механического двия«ения). «Отчетливое разграничение геометрии, как физики, и геометрии, как математики, разумеется, не в порядке декларации, а в смысле фактической разработки той и другой, представляет собою крупное принципиальное достижение науки конца Х1Х вЂ” начала ХХ в.

Достижением зто является в том смысле, что слитное существование обеих точек зрения, по существу чуждых друг другу, тормозило развитие той и другой»». Не оспаривая этот тезис, следует все же сказать, что слитность геометрии- физики и геометрии-математики в науке Х1Х в. была существенна для развития механики, когда последняя теснее объединилась с геометрией. Риман и Гельмгольц, ставя вопрос о гипотезах и аксиомах, лежащих в основе геометрии, не разграничивали с достаточной последовательностью физическую и математическую трактовку.

Поэтому анализ «проблемы пространства Римана — Гельмгольца» в духе гораздо более строгой и последовательной аксиоматизации, проведенный Софусом Ли, показал, что у обоих авторов есть логические промахи. Но зато у Римана мы находим высказывание, что метрика в (бесконечно) малом, возможно, связана со свойствами материи в бесконечно малом, а у Гельмгольца центр тяжести именно в геометрии-физике.

И Риман, н Гельмгольц в связи с этим выдвигают проблему изучения дифференцируемых многообразий (если воспользоваться современным термином). Риман начинает разработку математического формализма, необходимого для названной его именем геометрии ', На этой линии развития (которая восходит еще к Гауссу и даже к Лагранжу) мы находим работы Кристоффеля, Бельтрами и Липшица, затем Риччи, оформившего вместе с Леви-Чивита новое исчисление, названное впоследствии тенэорным.

Неслучайно Эйнштейн обнаружил в тепзорном исчислении адекватное средство для целей его общей теории относительности — теории, в которой Риман (и, вероятно, не только Риман) увидел бы подтверждение своих догадок и предчувствий. Развитие геометрии, как физики,.и геометризация механики во второй половине Х1Х в. подготовили введение в механику и физику в целом еще одной идеи фундаментальной важности. В известной «Эрлангенской программе» Ф. Клейна (1872), как итог развития алгебры и геометрии в Х1Х в.

и как обобщение понятия геометрии, формулируется проблема: дано многообразие и в нем некоторая группа преобразований; надо исследовать такие свойства принадлежащих многообразию образов, которые остаются неизменными при преобразованиях заданной группы. Именно эти свойства составляют содержание соответствующей геометрии, имеют геометрический смысл. В более краткой формулировке это означает понимание (всякой!) геометрии, как теории инвариантов соответствующей группы преобразований (для заданного многообразия!— добавление существенное, но часто опускаемое) 4.

В теории относительности (и специальной, и общей) такой подход обобщается на физику, в частности на механику. Это привело к пересмотру содержания классической механики с точки зрения выявления групповых свойств, но еще до эпохи релятивизма эти идеи будут прокладывать себе дорогу в механику в связи с проблемами интегриро- вания ее дифференциальных уравнений. Они были ближе всего, если говорить о классиках релятивизма, А. Пуанкаре, который в 1900 г. построил первую систему уравнений движения классической механики в групповых переменных. Неудивительно, что Ф.

Клейн начал свой доклад «О геометрических основах лоренцовой группы» с такого обращения к слушателям — это были преимущественно математики: «Вы все, в более или менее определенной форме, слышали о том, что современный принцип относительности физиков охватывается тем обй)им у«спиел о проекти«ком мероолреда«ении, которое развивалось в связи с основополагающей работой Кэли 1859 года»'. Далее Клейн формулирует такое утверждение: «То, что современные физики называют теорией относительно«ив, является теорией инвариантов четырехмерной области пространства — времени, х, у, з, г («мира» Минковского), относительно определенной группы коллинеаций, а именно „лоренцовой группы"»'.

Или, с другой стороны, можно, если угодно, заменить выражение «теория инвариантов относительно некоторой группы преобразований» выражением «теория относительности, соответствующая некоторой группе». Есть еще одна сквозная линия, проходящая в Х1Х в. через всю классическую механику и связывающая ее с механикой теории относительности,— это вариационные принципы.

Но и сказанного достаточно, чтобы сформулировать такие положения: в пределах самой классической механики в течение Х1Х в. разрабатывались методы и ставились проблемы, которые сделали ее из зак«подательницы физических наук одной из физических дисциплин, связанной с оптикой, электродинамикой, геометрией и т.

д.; заодно постановка вопроса об основах механики обогатила ее идеями и методами, которые были необходимы для перехода к релятивистской механике. Так может быть прослежен путь от Лагранжа к динштейну. ГЛАВА ПЕРВАЯ Наеледие Статииа и дииамииа Лагранжа 1. Книга «Аналитическая механика» (1788) была завершением работ, которые Лагранж вел и к которым возвращался в течение четверти века. Она в высшей степени исторична; и не только потому, что содержит поучительные и сейчас, а для своего времени совершенно исключительные исторические введения к статике и динамике.

Она исторична и в тех местах, где нет исторических справок и сопоставлений, потому что вся она задумана не только как изложение методов и результатов автора, но и как подведение итогов и оценка результатов, накопленных его предшественниками. В предисловии к первому изданию Лагранж писал: «Существует уже много трактатов о механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи. Надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставит желать чего-либо лучшего»'. Эта уверенность в том, что им получены общие формулы, к тому же способом, который не оставит «желать чего-либо лучшего», делала Лагранжа судьей своих предшественников. И, естественно, он тут же добавляет, что его «работа принесет пользу и в другом отношении: она объединит и представит с одной и той же точки зрения раалич- ные принципы, открытые до сих пор с целью облегчения решения механических задач, укажет их связь и взаимную зависимость и даст возможность судить об их правильности и сфере их применения»».

Но было бы ошибкой принять трактат Лагранжа за исчерпывающе полный свод того, что стало основным достоянием механики в то время. Он действительно стремился представить все «с одной и той же точки зрения», но кое-что существенное, как мы увидим, осталось вне его поля зрения. Как не раз в истории науки, синтез и обобщение, казавшиеся автору и его современникам окончательными, были лишь ступенью лестницы, ведущей дальше и дальше. Лагранж делит свою работу на статику, или теорию равновесия, и динамику, или теорию движения, и в обеих частях отдельно рассматривает твердые и жидкие тела. Его методы «не требуют ни 'построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу.

Характеристики

Список файлов учебной работы