Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Исключить их на том основании, что покамест нет удовлетворительного ответа на них и что они слишком близки к «метафизике», было полезно, так как давало возможность сосредоточиться на задачах, поддающихся решению, и было вредно потому, что отвлекало от более глубокого исследования основных понятий механики и физики, создавая иллюзию благополучия, которого на самом деле не было. Некоторые недочеты при введении основных понятий механики у Лагранжа — чисто терминологические, и они имеются у других авторов, о чем уже сказано выше.

Это не значит, что такие недочеты следует считать малозначительными, — четкий язык также существен для науки. Путаница в терминологии (например, «сила») ", которая наблюдается в ХЪ'111 в., из-за влияния Лагранжа сохраняется и в первые десятйлетия Х1Х в. Это говорит о том, с каким трудом выкристаллизовались основные понятия науки (чем проще и более обще, тем труднее), насколько узок был круг тех, кто ее развивал и применял. Лагранж писал не учебный нурс, а научный трактат, научными трактатами были и основные труды его великих предшественников.

Их читали специалисты и только специалисты, в весьма ограниченном числе. Такие читатели легко мирились с недостатками традиционной, привычной им терминологии. Механику, как учебную дисциплину, преподавали в немногочисленных технических учебных заведениях (в ХУ111 в. это были школы военных техников и инженеров, появившиеся сначала во Франции) и далеко не во всех университетах. Это была, как правило, только статика с применениями к простым машинам и к определению центра тяжести.

Там, где излагались последние достижения науки, слушатели легко мирились с недочетами языка посвященных. Но когда механика стала предметом, изучавшимся в достаточно обширной сети технических учебных заведений, когда ее стали развивать не одиночки, а целые группы ученых, четкость понятий и терминов стала необходимостью. Следует отметить отношение Лагранжа к кинематическим понятиям скорости и ускорения. Понятие скорости в самом общем виде было давно уже достоянием механиков. Лагранж на нем не останавливается, потому что пишет трактат, а не учебник и потому что кинематики как таковой в его время еще не было. В связи с понятием силы Лагранж должен был бы подробнее рассмотреть ускорение. Но этим понятием он пользуется как подсобным, и «ускорительная сила» у Лагранжа, как правило, не ускорение, а ускорение, умноженное на единичную массу. Наиболее общим образом оно вводится Лагранжем в виде трех ускорений в трех прямолинейных движениях— движениях проекций материальной точки на оси прямоугольной системы координат.

Это не является особенностью лагранжевой механики, а относится ко всей механике ко»ща Х'«'111 в. 3. В основу своей «Статикю> Лагранж положил принцип виртуальных скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения» ". А самому принципу виртуальных скоростей «может быть придана следующая весьма общая форма: если какая- либо система любого числа тел илн точен, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в котоРой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а в противоположном направлении считать отрицательньгми» ".

Оба приведенных определения не отличаются полной ясностью, и их критиковали современники Лагранжа. Надо сказать, что пояснения, приводимые Лаграня«ем во втором отделе «Статики», достаточны и собственно на них основаны «общая формула статики для равновесия любой системы сил и метод применения этой формулы» '». Лагранж начинает с указания, что общий закон равновесия машин состоит в том, что отношение сил обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться по направлению сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики».

Это единственное место «Аналитической механики», где использован термин «аксиома». Два доказательства принципа виртуальных скоростей, данные Лагранжем, основаны на сведении этого принципа к другим положениям статики. Наиболее известное, приведенное во втором издании «Аналитической механикю>, докааательство основано на «принципе блоков». Этот принцип блоков представляется Лагранжу «естественным основанием для принципа виртуальных скоростей» ", очевидно, в силу его наглядности.

Но основная задача состоит в том, чтобы выразить принцип виртуальных скоростей в виде формулы и показать, что в этой формуле содеря«итси вся статика. Здесь Лагранж вполне четок. Пусть имеются силы Р, «,>, Л,..., действующие по определенным направлениям. Для наглядности Лагранж предлагает считать (что всегда возможно) эти силы как бы стремящимися к некоторым точкам, расположенным на линиях действия сил. Эти точки он называет центрами сил и в зависимости от того, находятся ли центры сил вне системы тел (собственно, материальных точек), которую рассматриваем, или внутри нее, различает внешние и внутренние силы. Говоря о последних, он замечает, что в этом случае «некоторые иа тел системь> сами будут центрами сил, действующих на другие тела системы, а в силу равенства действия и противодействия эти последние в свою очередь будут одновременно центрами сил, действующих на первые» ".

Только здесь, мимоходом, появляется впервые в «Аналитической механике» третий закон Ньютона, как нечто само собою разумеющееся или общеизвестное! Обозначим теперь через р, >>, г, ... отрезки на линиях действия сил Р е», Д, ... соответственно. Эти отрезки, в частности, можно считать расстояниями от центров соответствующих спл до тех точек системы, в которых приложены силы. Через йр, дд, Иг, ...

обозначим «вариации или дифференциалы этих отрезков, поскольку они могут получиться в результате какого-нибудь бесконечно малого иаменения положения рааличных тел или точек системы. Ясно, что эти дифференциалы выразят величины путей, которые будут пройдены в одно и то же мгновение силами Р, (), Л,... Таким образом, дифференциалы йр, Ид, дг, ... будут пропорциональны виртуальным скоростям (точек приложения) сил Р, ф, Л, ... и, следовательно, могут быть для простоты поставлены вместо атих скоростей» ". Установив зто, можно записать общую формулу статики для равновесия любой системы сил в виде Заметим, что в этой формуле ничто не связано с иаменением во времени, она выражает, собственно, принцип еиргпуалы»»~х перемещений, и, хотя Лагранж явно этого не формулирует, рабочим понятием у него является именно виртуальное перемещение — в смысле приведенного только что определения. Произведения вида Рйр, (Ыу ...

он уславливается называть (виртуальными) моментами. Этот термин, имеющий также и другое значение (момент силы относительно оси, точки, плоскости!), благодаря авторитету «Аналитической механики» употреблялся до середины Х1Х в. и окончательно был вытеснен лишь термином работа (элементарная, виртуальная). Можно сказать, что формула (1) выражает принцип виртуальных работ. Дальнейшее иаков<ение должно показать, что найденная формула (1) «чрезвычайно приспособлена для выполнения ... задачи», которую поставил перед собой Лагранж,— задачи сведения «механики к чисто аналитическим операциям...

Все дело сводится только к тому, чтобы выразить аналитически и в наиболее общем виде значения отрезков р, о, г, ..., взятых по направлению сил Р, ч и,..., и тогда путем простого дифференцирования получаются значения виртуальных скоростей йр, дд, йг»м Лагранж показывает, как это сделать. Сначала он рас- сматривавт силу, скажем Р, как направленную к неподвижному центру. Тогда р.=- )Г(х — а)'+ (у — Ь)'+ (г — с)» (х, у, г — координаты точки приложения, а, Ь, с — посто- явные координаты центра силы), откуда получается выражение др через с(х, с(у, иг.

Затем Лагранж истолковывает ир как отрезок нормали к поверхности, по отношению к которой перпендикулярно направлена сила Р. Следовательно, ир = Π— дифференциальное уравнение атой поверхности. Направление силы может быть задано уравнением такой поверхности в конечной или диффереш»калькой форме, например, в виде Адх + Вйу + Сдг = О. Тогда А«*4. Вел+ Слз Р А» + В»4-С' (А, В, С в общем случае — функции от х, у, г), и мы снова достигли своей цели. Эти более частные подходы Лагранжа мы приводим потому, что в связи с ними он указывает на возможность широкого обобщения, которое даже спустя несколько десятилетий казалось неприемлемым его комментатору — Бертрану.

Критическое замечание Бертрана сохраняется во всех последующих изданиях «Аналитической механики», хотя дальнейшее развитие науки подтвердило правомерность обобщения Лагранжа; процитируем полностью зто замечательное указание Лагранжа: «Но можно обойтись и без рассмотрения поверхности, к которой сила направлена перпендикулярно: так как любую ееличину можно выразить с помощью линии, то р можно рассматривать как некоторую функцию координат, а Р как силу, стремящуюся изменить значение р. Тогда Рйр тоже будет виртуальным моментом силы Р... Этот метод рассмотрения моментов придает общей формуле равновесия гораздо более широкий смысл, благодаря чему она становится пригодной для значительно большего числа приложений» ".

Бертран вполне правильно истолковывает это следующим образом: когда силы имеют в качестве суммы своих виртуальных моментов произведения вида Рс»р, где р — некоторая функция координат, то говорят, что система рассматриваемых сил эквивалентна некоторой силе Р, стремящейся изменить величину функции р. Он говорит, что такая формулировка представляется совершенно условной, что здесь слову «сила» придается смысл, совершенно отличный от обычного, и что все это «не принято геометрами». Между тем понятия обобщенной силы (Р) и обобщенной координаты (Р) во всей теоретичесКой физике стали общепринятыми уже во второй половине Х1Х в.

Характеристики

Список файлов учебной работы