Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Относительно слабым местом аналитической статики Лагранжа является решение проблемы статической эквнвалеытности сил»'. Ход решения таков. Пусть силы Р, ф, Л,..., действующие на материальыую систему, не находятся в равновесии, следовательно, величина Рдр + + Яд+ Вс(г + ... не равна «нулю по отношению ко всем независимым переменным», а тела системы придут в движение. Пусть Р', ~)', Л',...— силы, направленные соответственно по линиям р ', а', г',...

и соадающие те же самые движения. Если изменить их направления на противоположные, противоположно будут направлены и движения. Поэтому, когда на систему тел действуют как силы Р, ~, В,..., так и силы, равные и противоположно направленные силам Р', ()', Л',..., должно существовать равновесие, т. е.

будем иметь Рс»р + ~с)д + Ас(г + ... — Р'с»р' — ~'«6у' — В'йг' —... =О, откуда Рг»р + 9(д + ггг»г + ... = Р'Йр' + ~'Ыд' + В'г»г' + ... (а) Доказанное необходимое условие эквивалентности двух систем сил, которое должно соблюдаться «во всех случаях и по отношению ко всем независимым переменным», является, очевидно, и достаточным. Однако это общее условие эквивалентности лишено наглядности, и в вопросе о приведении заданной системы сил к простейшему (в том или ином смысле) виду оно мало помогает — продвижение в этом вопросе шло, как мы увидим, на основе геометрических методов статики. К тому же аналитическая запись условия эквивалентности (и) в ту эпоху, при отсутствии разработанной системы векторных представлений, могла «подвести», и, действительно, сам Лагранж при первом же ее применении допускает принципиальную ошибку.

Лишь примерно через полстолетия зта ошибка была указана и разъяснена Пуансо. Правда, при этом Пуансо сделал неправильные выводы относительно весьма ограниченной применимости принципа виртуальных перемещений. Ошибки Лагранжа, вызванные неправильным использованием соотношения (а), отмечены в последних изданиях «Аналитической механики» в примечаниях Бертрана; упомянутая работа Пуансо «Об основном положении „Аналитической механики" Лагранжа» приводится в этих заданиях как приложение", однако необоснованность некоторых заключений Пуансо не укааывается. Поэтому разъясним суть ошибки Лагранжа. Применим замену переменных: допустим, «что линии Р, д, г,... зависят от линий $, «э, »р,...».

Тогда величина Рг»р + (Ыд + Лдг + ... преобразуется в Е гг з + Ч' п»р + бр йр +..., где др + ~ д«+ „дг дф дф др «Р —.=- Р— + (~ — + Л вЂ” +, . др дд дг д~р д~р д~р и Рар+ дг(Ч+ Лиг+... =- Бс%+ Ч" г(»Р+ Фсггр+ .. Отсюда делается вывод, что система снл Р, «»', В,..., направленных по линиям р, д, г,..., эквивалентна системе сил Е, Ч', Ф,..., действующих по направлению линий $, »)~, ~р,...

и, значит, может быть заменена последней «в одной и той же системе тел, подверженных действию этих сил "». В частности, в $ )! пятого отдела «Статики» мы узнаем, что, если какие-либо силы Р, »„В, направленные по линиям р, о, г, действуют на одну и ту же точку, можно все эти силы всегда свести к трем другим, направленным по линиям э, »р, Ч~, при условии, что эти три линии не лежат в одной и той же плоскости. Поэтому утверждается, что силы Р, Д, В эквивалентны трем силам Б, Ч', Ф, значения которых выражаются теми тремя формулами, которые явно выписаны выше в ((3).

Однако этот результат, равно как и общий вывод, на основе соотношения (р), об эквивалентности системы сил Р, ~, В,... и системы сил Я, Ч», Ф,..., ошибочен. Верно лишь то, что если Рг)р+ 9!»!+ В«(г+ ... = О, то и преобразованное выражение Е»!$ + Ч"»!»г + Фо»р+ ...= 0 и две системы уравнений равновесия, получаюшиеся одна из первого, другая из второго соотношения, равносильны.

Возьмем для определенности систему сил, приложенных в одной точке. Мы, действительно, можем выбрать при этом любые три пространственные координаты «г, Ч~ и тогда получим выражение виртуальной работы в виде ЕЫ$ + Ч"«(»г + Ф«(«р, где Б, Ч", Ф находятся по формулам Лагранжа. Однако даже тогда, когда э, »~, »э суть «линии» в точном смысле слова, т. е. имеют размерность длины и, следовательно, Я, Ч", Ф имеют размерность силы, последние три величины в общем случае не представляют собою составляющих (по направлениям координатных линий ~, »р, ~р) равнодействующей сил Р, (),  — это будет верно только при ортогональности системы координат э, ф, «».

Если обозначить орты осей ч, «р, ~р через », ), к, а составляющие равнодействующей по этим осям через А, В, С, получим, что Б = А + В соэ !»+ С соэ (й,... Пуансо, естественно, вынужден разъяснить это гораздо пространнее, но он вполне отчетливо выясняет сущ- ность дела. Будучи сторонником наглядности и геометрических методов в механике, он был внимательным и, можно сказать, недоброжелательным читателем «Аналитической механики». Вероятно, это подтолкнуло его сделать слишком далеко идущие выводы из обнаруженной им ошибки.

Например Пуансо заявляет: «Итак, мы видим, что в небесной механике, основанной исключительно на принципе виртуальных скоростей, единственные координаты, которыми допустимо пользоваться, должны обладать тем свойством, что их дифференциалы представляют в этих координатах прямоугольные проекции малых отрезков, описываемых в пространстве, согласно предположению, точкой приложения сил»«'. Несколько ниже читаем у Пуансо, что «выражение принципа (сложения сил.— И. П.), очевидно, имеет более общий характер, чем выражение принципа виртуальных скоростей».

Верно, однако, то, что преобразование одной системы сил в другую с помощью выражения виртуальной работы этих сил значительно усложняется, если мы не пользуемся ортогональными системами — в последних выражение скалярного произведения векторов через их компоненты имеет особенно простой вид. Естественно, что для <шриведения» системы сил в механике, как до Лагранжа, так и после, пользовались преимущественно геометрическими методами.

Вероятно, поэтому ошибка Лагранжа, повторенная нм во втором издании «Аналитической механики», не была обнаружена сразу. 4. Аналитическан динамика Лаэранжа основана на той общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбера — Лагранжа, или общим уравнением динамики.

«Развитие этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интегрировать, что является уже задачей анализа» ". Однако обоснование этой формулы, даваемое Лагранжем, вопреки распространенному мнению, в сущности не связано с принципом Даламбера. Оно основано на положении, которое Лагранж называет, следуя терминологии своего времени, принципом ускоряющих сил. А именно т(Ух(ЙГ»), т(Уу)Йя»), т(«)»г/Й«) рассматриваются как выражения (ускоряющих) сил, примененных непосредственно для того, чтобы в течение времени й двигать тело т параллельно осям координат х, у, г.

«Каждое тело т системы можно рассматривать как находящееся под действием подобных сил; следовательно, все эти силы должны быть эквивалентны тем силам, под влиянием которых, согласно допущению, находится система и действие которых видоизменяется вследствие природы самой системьв> "-. И, молчаливо ааменяя динамическую эквивалентность статической, Лагранж заключает, что на основе принципа виртуальных скоростей сумма «моментов» первых сил равна сумме моментов вторых, т. е.

г,т (' — „—, бх + ' — з бу + '— ,, бг) = — (Рбр+ Дбд+ Лбг+ ...). . (8) Правая часть этого выражения у Лагранжа берется со знаком минус, так как Р, (), Л,..., согласно вводимому им условиИ, стремятся уменьшить линии р, д, г,..., чьи вариации бр, бд, бг,... зависят от вариации координат бх, бу, бг,. зз Иаложение в первом издании «Аналитической меха- ниии» отличается от окончательной редакции второго издания, которой мы следуем. А именно, пусть Р, сс, Л,...— ускоряющие силы, которые в данный момент действуют на точку массы т по ааданным направлениям координатных осей.

За время й они сообщат точке («телу») скорости РЙс, ссйс, ЛЙс,... В начальный момент» точка имеет скорости Йх(Й», Йу/Йг, Йг(ЙЦ и будь точка свободна, она выполняла бы соответствующее составное движение, однако это движение искажается из-за наличия связей. Но во всяком случае через промежуток времени й точка будет обладать скоростями сЦЙх/й), Й(Йу)й), Й(Йг/Йс). «Таким образом, точка потеряет скорости Рй, ДЙ», Лй,... и взамен получит скорости Й(Йх/Йс), Й(Йу(й), сЦЙгсЙс), стремящиеся увеличить координаты х, у, г, или же, что сводится к тому же, она потеряет одновременно скорости Рй, с,сйд Лй,... и скорости Й(Йх/Й1), Й(Йу)й), сЦЙг/й), направленные противоположно, т.

е. вдоль самих линий х, у, г. Следовательно, и ускоряющие силы, способные произвести эти различные скорости, уничтожатся и, таким образом, будут взаимно уравновешиваться. Итак, мы будем иметь равновесие системы, если предположим, что на каждое из составляющих ее тел т одновременно действуют заданные ускоряющие силы Р, сс, Л,... и, сверх а «ь/и) г (ав/в) и (ь /л») того, ускоряющие силы или же (полагая «й постоянным), «(»х/й», Уд/й», »»»г/Й», направленные по линиям х, у, г.

Отсюда видно, что законы движения системы такие же, как и ааконы ее равновесия, если просто добавить новые ускоряющие силы Ух/«(»», 3Ру/И', »»»г/г»г» вдоль линий и, у, г» ". Из общего уравнения (8) Лагранж сначала выводит аакон движения центра тяжести системы и соответствующие интегралы, закон моментов количества движения и интегралы площадей, закон и интеграл живой силы; все это (только с известными методическ»п«и упрощениями, а позже — в векторных обозначениях) вошло в курсы механики именно в изложении Лагранжа.

Характеристики

Список файлов учебной работы