Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 9
Текст из файла (страница 9)
в СП1А на английском языке. Курс Пуансо вытеснил ее не сразу, но успел повлиять на Монжа — в пятом издании, подготовленном Ашеттом (НасЬеИе), введено понятие пары сил. Система аксиом, из которой исходит Монж, такова: 1. Одна и та жеточкане может двигаться одновременно по нескольким путям. Отсюда, пользуясь не очень четко перед этим сформулированным законом инерции, Монж заключает, что система сил, приложенных в одной и той же точке, должна иметь равнодействующую.
2. Если две равные и противоположно направленные силы приложены в одно и то же время в одной и той же точке, то они взаимно уничтожаются и уравновешиваются. Обратно, если в указанных условиях две силы уравновешиваются, то они равны и противоположно направлены. 3. Силы, приложенные в одной точке и действующие по одной и той ясе прямой в одинаковом направлении, имеют равнодействующую, равную их сумме и направленную по той же прямой и в ту же сторону. Конечно, этого недостаточно, и фактически Монж дополнительно использует в качестве аксиом некоторые недоказанные или невыделенные им положения, считая их очевидными. Или же он пользуется весьма нестрогими соображениями «по наглядности» и «по непрерывности».
Достаточно познакомиться с доказательством теоремы, которая следует сразу за непосредственяыми следствиями перечисленных выше аксиом. «Т е о р е м а. Коли к концам несгибаемого отрезка АВ приложены две равные и параллельные силы АР, Вф, на)травленные в одну сторону (рис.
1), то: 1) равнодействующая этих двух сил параллельна прямым АР и В~1 и ее направление проходит череа середину АВ; 2) эта равнодействующая равна сумме Р + 1,' этих двух сила. Приведем доказательство полностью '. <4-я часть. Пусть имеем другую несгибаемую прямую ВЕ, перпендикулярную к направлениям обеих сил и неизменно свяаанную с прямой АВ; продолжим направления обеих снл Р и ~ до пересечения с этой прямой в точках .О, Е. Можно считать зти две силы прилоягенными в точках В, Е. Теперь разделим ЙЕ на две равные части в точке С, и пусть в С с той стороны, куда силы стремятся сдвинуть эту прямую, помещено какое-то непреодолимое препятствие.
Очевидно, что прямая ВЕ не будет двигаться, ибо, поскольку все одинаково по обе стороны от препятствия С, нет никаких оснований для того, чтобы одна сила взяла верх над другой. Итак, равнодействующая пройдет через точку С. Но, если мы проведем другую несгибаемую прямую СИ, параллельную .0Е, то таким же образом можно доказать, что направление равнодействующей этих двух сил проходит через середину этой прямой 1. Следовательно, это направление проходит через обе точки С и Х, т. е, равнодействующая равноудалена от обеих сил Р и ~ и им параллельна; значит, она проходит через середину АВ.
2-я часть. Так как направления обеих сил Р и ~ и направление их равнодействующей В параллельны, то их можно считать сходящимися в одной и той же бесконечно удаленной точке, так что силы Р и ~ можно считать приложенными в одном направлении в одной и той же точке. А так как равнодействующая двух сил, приложенных в одной и той же точке в одном и том же направлении, равна их сумме (см. выше аксиому 3.— Л. П.), то равнодействующая сил Р и»,» равна сумме Р + (» этих сил».
Первая часть доказательства, конечно, остроумна, и она удовлетворила бы Лагранжа, соглашавшегося с применением соображений «по симметрии». Вторую часть, конечно, нельзя было и тогда рассматривать кан строгое рассуждение ни с математической, ни с физической точек зрения, но она характерна для Монжа и для духа его школы.
Неудивительно, что благодаря этой школе была воскрешена и развита проективная геометрия. В своем выводе правила сложения параллельных сил Монж, видимо, учитывал критические замечания Гюйгенса относительно соответствующего вывода Архимеда и провел доказательство следующим обрааом. Пусть имеем две неравные параллельные и направленные в одну и ту же сторону силы Р и»,», приложенные к концам «несгибаемой прямой АВ» (рис. 2). Разделим Рис. 2 АВ (в точке П) на части, пропорциональные силам (»: Р = = АП: ПВ, и продлим АВ по обе стороны так, чтобы было АЮ = АП, ВР = — ВВ. Представим себе силы Р и (»' равномерно распределенными «по всем точкам прямой ДР с сохррнением их взаимной параллельности.
Оче- видно, пишет Монж, что сила Р будет распределена йо 0Е, сила ~ — по ВР, причем Р будет равнодействующей для сил, распределенных по ЙЕ, а ~ — равнодействующей для сил, распределенных по йг'. Следовательно, равнодействующая всех сил, распределенных по ЕР, и равнодействующая сил Р и ~ — одно и то же. Но равнодействующая системы распределенных снл, по вышедоказанной теореме, проходит через середину С прямой ЕР и равна Р + ф Л так как АВ составляет половину ЕР, то АВ = ЕС, откуда, вычитая почленно АС, имеем ВС = ЕА = АВ. Аналогично из АВ = СР получаем, что АС = ВР = .0В. И поскольку по исходному допущению ~>: Р = АВ: ВВ, получаем, что Р: Д = ВС: АС и т.
д. От сложения параллельных сил Монж переходит к выводу правила параллелограмма, используя следующую лемму (рис. 3). Рис. 3 Если сила Р приложена к окружности круга, движущегося вокруг своего центра А, и направлена по касательной к окружности ВР,то этасиластремится вращать круг относительно его центра точно так же, как если бы она была приложена в любой другой точке окружности С и направлена по касательной в этой точке С ~. Построенное по этой лемме доказательство остроумно, но сама лемма не обосновывается, по сути Монж ссылается на ее очевидность. О системе двух параллельных, равных,и противоположно направленных сил Монж говорит так: чтобы уравновесить такую систему, следовало бы «приложить к неизгибаемой прямой нулевую силу, направление которой проходит на бесконечном расстоянии, что не нелепо, но чего нельзя сделать», и заканчивает выводом, что в этом случае для уравновешивания необходимы две силы, и выбрать такие две силы можно бесконечно многими способами.
Постепенно Монж выводит общее правило для сложения сил, приложенных в одной точке, для построения равнодействующей плоской системы сил и т. д. и вместе с тем указывает, как разлоя«ить заданную силу на составляющие. Это составляет первую главу «Статики». Вторая глава озаглавлена «Моменты». Это слово надо понимать в его современном значении. Используются понятия момента силы относительно точки, прямой и плоскости и выводятся зависимости между моментом равнодействующей и суммой моментов составляющих. В третьей главе излагается определение центра тяжести элементарными средствами, без интегрального исчисления.
Четвертая глава озаглавлена «О равновесии машин». Определение здесь таково: «Машиной называют любое приспособление ((пМгпшеп«) для передачи действия определенной силы так, чтобы эта сила могла двигать тело, к которому она непосредственно не приложена, и двигать его в направлении, отличном от своего собственного». 4 Итак, речь идет здесь о механизмах, о которых дальше сказано, что число их очень велико, новсеони составлены из трех «простых машин» вЂ” рычагов, наклонных плоскостей и «веревок». Веревки, как видно из дальнейшего, представляют собой прямолинейные гибкие и нерастяжимые нити, которые могут быть связаны в узел.
Например, первая задача на веревки: найти условия равновесия трех сил Р, Г», Х, действующих по трем веревкам, связанным в узел Л (рис. 4). Дальше, в первой статье главы о машинах рассматривается равновесие веревочного многоугольника, в остальных двух статьях — условия равновесия рычага, блоков и полиспастов, вброта, зубчатых колес, лебедки, наклонной плоскости, винта и клина. В заключение этой главы в виде синтезирующего положения дается такая ограниченная формулировка принципа виртуальных перемещений: «когда две силы уравновешиваются с помощью опорных точек в какой-нибудь машине, они находятся в отношении, обратном отношению расстояний, на которые онк сместились бы по своим направлениям при бесконечно малом нарушении равновесия».
Пятое издание (1810) отличается от предыдуших не только введением, вслед за Пуансо, понятия пары снл, но и тел«, что в нем уже в общем виде ставится вопрос о приведении общей пространственной системы сил. Выбирается произвольная плоскость Р (не параллельная ни одной из сил исходной Рвс. 4 системы), каждая сила переносится по своему направлению в точку встречи с плоскостью и раскладывается на две составляющие: перпендикулярную плоскости Р и лежащую в ней.
Все составляющие, перпендикулярные Р, заменяются, вообще говоря, одной силой, а система сил, лежащая в Р, сводится к равнодействующей либо к паре сил. Затем следует рассмотрение частных случаев. Изложение Монжа, несмотря на бросающиеся теперь в глаза нестрогости, всегда отчетливое и доходчивое. Особенно удалась ему глава о машинах. «Чувствуется, что Монк«знает предмет не только потому, что он его изучил теоретически, но и потому, что он столь же внимательно рассматривал и применял описываемые им машины. В его рассуждениях ощущается то ясное представление о действительных явлениях и о всех их деталях, которым теоретик мог бы пренебречь, но которое несомненно ценно для практика» '. 2.
Первое издание «Опыта о машинах вообще» Л. Карно ' появилось в 1783 г. Зта небольшая книга через четырнадцать лет была воспроизведена без всяких изменений в «Математических работах гражданина Карно» '. На портрете, открывающем этот однотомник, мы видим автора в официальном облачении: пышно расшит воротник, высокая шляпа украшена эффектным плюмажем. Карно изображен в профиль, что подчеркивает строгие линии его волевого лица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
