Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028)
Текст из файла
АКАДЕМИЯ НАУК СССР ЗНИРГИТИЧИСИИИ ИНСТИТУТ ии. Г. И. НРЖЮКАНОВОКОГО М. В. КИРПИЧЕВ и П. К. КОНАКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР Москва 4949 Леникград 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИИ ТЕРМОКИНЕТИБИ И ТЕРМОДИНАМИКИ Рабочий процесс теплообменных устройств и тепловых машин является результатом движения вязких (сжимаемых или несжимаемых) жидкостей. Это движение определяется уравнениями неразрывности и' энергии, которые можно рас- сматривать как специальные математические формулировки законов сохранения материи и энергии, а также уравнениями движения вязкой жидкости и ее состояния. Выведем уравнение неразрывности.
Вырежем в нестационарном ненэотермнческом потоке вязкой жидкости, замкйутой поверхностью Ю, неподвижную пространственную область, объем которой обозначим через'У. Пусть и — единичный вектор внешней нормали к поверхности о (фнг. 1). з ге В течение одной секунды в области т накапливается коли честно жидкости: 8 где ти — вектор скорости движения жидкости, р — плотность жидкости. , Все величины измеряются в технической системе мер.
За тот же промежуток времени содержание жидкости в области У изменится на величину: др р т где т — время. На основании закона сохранения материи можем написать: —," Л + ( р „.1Ю = О. Р т в Второй член правой части этого уравнения преобразуем при помощи теоремы М. В. Остроградского: ~ рну„сЫ = ~ 61и (рте) ~Л~. Вследствие этого: ~ д;т(рте) АР О Р дт т т Полученное уравнение справедливо для произвольнои по величине пространственной области.
Возьмем в области К точку а и окружим ее бесконечно малой 'замкнутой поверхностью з, которая вырезает в области К бесконечно малый объем Р,. Для этого объема будет также справедливо уравнение (1): — ~ЫК,+ ~ сйт(рж)НК,=О. Р дт т, Применяя к атому уравнению теорему о среднем значении, получим: —,а'У,+й (р )Р,=О. (2) Уравнение (3),, называемое уравнением неразрывности, справедливо для любой точки области.
Припоминая векторные равенства йч(рта) рйнж+ (тв, итамар), — = д +(тв,агадир), ар ар нерепищем уравнение (3) следующим образом'. ар — + рйчта= О. ат (4) Векторное уравнение (3) эквивалентно скалярному уравнению, отнесенному к системе декартовых координат им ла и ха: — +, ' =О Р1=1,2,3). др д (Рм;) (б) дт Яа Переходим к выводу уравнения энергии. Введем обозна- чения ь А — тепловой эквивалент механической работы, ву — абсолютная температура жидкости, с, — удельная теплоемкость жидкости при постоянном объеме, ' Н.
Е. К о ч н н. Векторное нсчнслевве н начала тенаорного нсчнсленнл. ГОНТИ, $988. др Здесь символы — и о1ч(рте) обозначают числовые значения дт ар величин — и 31ч (рте), относящиеся к некоторой точке Ь объема г,. Деля обе части уравнения (2) на У, и стягивая поверхность а к точке а, и, следовательно, заставляя стремиться точку Ь к точке а, получим уравнение: — + йч (рте) = О. ар (3) Х вЂ” коэффициент теплопроводности жидкости, р„— тензор напряжений поверхностных сил, Р— вектор объемных сил, отнесенный к единице массы.
Возьмем вновь пространственную область К, расположенную в потоке жидкости. В течение одной секунды в области К накапливается следующее количество энергии: — ~[ът+л' —;~~р „их+ ~1ц. аЮЗ. За тот же промежуток времени внешние силы совершают 'механическую работу: ~ (р„, тз) НЯ + ~ (ж, Р) рИК. Изменение энергии в области К за одну секунду имеет величину: — [р ( Т.$ А — '')) й . На основании закона сохранения энергии можно написать уравнение — [р(,Т.~- А — ''))ЫГ.~.
~ (~7.(. А ' ) ~„ЫУ= г Я =А ~(Р, те)сну+ А ~(тз, Р)р~Л~+ ~Л,бган;„ТсБ. ' ( ) Первый член левой части уравнения (6) -представим в виде: (ю,в) ),~ [р[.т-~~~ —;~)~а -~р (" + ' а .~ +~[..т+м~",')~ю . Второй член левой части того же уравнения преобразуем при помощи теоремы М. В. Остроградского: 6 Так как написанное уравнение справедливо для произвольного объема $', то окончательно можем написать: (."- —;) (ж,аг) ) =Ар(ж, Р)+АА1т(Ръ, ~)+ + а(т(Лагаб Т). (7) для составляющих тенэора напряжений имеем формулы: ъ 2 . -ь дм, Ръъ = — Р— — 1ъ длч тд + 2 Р. — ', з д*, 2 .
е дмъ Раз = — Р— — 1ъбп те+ 2Р— ', з дх, ' 2 -ь дъеь Рзъ = — Р— — Р йът те + 2Р. — *, 3 дхъ ' Гда, да,~ Ръъ Рзъ = 1ъ( — + — 1 ° (дх, дх,~' (8) Р(,а +дх/ /дъе, д1еь ~ Гдюь дъеь '~ Ръз = Ръз = р ( — ' + ~.д дх,~' В этих формулах через р обозначен коэффициент абсолютной вязкости жкдкости, а величина р определяется иэ выражения: 1 Р = э (Рм+ Раз+ Ръз) Уравнение (7) можно перепйсать в скалярной форме: а „вЂ” (с Р + А ' ' ' ) = Ар (тд Ръ + тезР~ + тезРз) + д +А дх (Р +Р ъ+Р тдъ)+ д д + А дх (Р™ъ+Ръътиз+РъъМ+А дх (Ръътдь+Ръътдь+Ръътдь)+ д(Л д ) д(Х д ) д(ъ дх 1 дх, дхъ дхъ * Н. Е. Кочин, И. А.
Киб ель, Н. В. Розе. Теоретическая + тикроиехекикь, ч. 11, ОГИЗ, 2948. ьзь Уравнение (7) и является уравнением энергии. Оно свидетельствует о том, что количество тепла, подведенное теплопроводностью через поверхность элементарного объема движущейся жидкости б1ч(ХбтайТ), сложенное с тепловым эквивалентом работы объемных сил и сил, приложенных к поверхности указанного объема Ар(г", тв) и А Жт(р„, тд), превращается в нем в приращение'внутренней. и кинетической энергии жидкости — с,Т+ А — ' Уравиение движения вязкой жидкости напишем в векторной форме: 4ж "+ 1 -з. р — „= рР— ягай р + б1ч (р.
втаб ж) + — ягаб (р б(ч ж). (10) 1 Это уравнение равносильно трем скалярным уравнениям: . д ~~~А ° др р — = с~'»' — — + Фт ' дхь дз1 (11) $=1,2,3 В дальнейшем будем предполагать, что движущаяся жидность по своим физическим свойствам приближается к идеалькому газу и состояние ее определяется уравнением: = ЛТ, Р где  — газовая постоянная. Кроме уравнений (3), (7), (10) и (12), для рассматриваемого движения также справедливо уравнение механической энергии. Чтобы вывести это уравнение, напишем уравнение движения жидкости в следующей форме: -ь -» -+ -з Р— =ря + — + — + —. ~йо К др, др~ др д — " д; д; дс.
' Умножая скалярно обе части этого уравнения на вектор тв, м осле несложных преобразова й будем э "+ и (ю,ш иметь: -~ д~ Рт а + дв + двг р'а, р'ж, Учитывая формулы (8), получим уравнение механической .энергии: 1(М и) 2 р,, =р(г', те)+Йч(р„, те)+ + р Йч ю — кйзз/(те), (13) тде: Йзз / (те) = 2 ( — '),+ 2( — ') + 2 ( — *) + -э Функция Йвз ~ (ж) называется диссипативной или функцией рассеяния. Из уравнения (13) следует, что работа объемных сил и сил', приложенных к поверхности элементарного объема движущейся жидкости р(Р, те) и Йи(р„, те), превращается в этом объеме в приращение кинетической энергии жидкости (м, и) Ы Ф р „, работу сжатия рЙтте и тепло внутреннего.
трения р. Йзз / (ж). Умножим уравнение (13) на А и вычтем его обе части из одноименных частей уравнения (7). В результате получим 10 уравнение, являющееся математической формулировкой пер- вого закона термодинамики применительно к движущейся жидкости: й (с„Т) Ь р — „" = — Ар й)ттв+Ар. й(зз~(тв)+й)т(ЛйтайТ). (14) Умножим уравнение (4) на отношение Р .
Применяя к Р' первому члену полученного уравнения теорему дифференци' рования произведения функций, будем иметьз — р,+ рйвг тв = О. "(-,"> Нт Ыт Отсюда: Р— = + рй1тж 15 ( ) Умножая это уравнение на А и складывая его части с одноименными частями уравнения (14), получим, р — „(с„Т+ А Р) — А „~ + А1з й1зз~(те)+ й1ч(ЛзтайТ).
(16) Из курса термодинамики известно соотношение (17) с„— с„= АВ, =А — „+А1.й1ззу( )+й1т(ла йт). (18) .а(с„т) К Перепишем уравнение (15) так: д () ') Р) аР ар Р††. = †, + (йтай р, тв) + р йгчтв= — + й1ч (рте); 11 где ср — удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении. ' 'Учитывая это соотношение и уравнение состояния (12), можно переписать уравнение (14) в следующем виде: — йп (рта)+ рйрхж=О. Поэтому: а р — (с„Т) = — Арй1тте+ й1т(Л((гайТ). (21) (22) Тот же самый уравнения (14). Уравнение (15) результат можно было бы получить из при р = сопзс приобретает вид: а(р) р — р = рй1ч те. ат следующим ,$-: переписываем уравнение (22) (с„Т+ А — ") = й1т(ЛйтайТ) Учитывая его, образом: а р ат или а (~т> р г = й1т(Лйтай Т).
(23) ф. Складывая тепловые. эквиваленты одноимерных частей этого уравнения и уравнения (7), получим еще одну форму уравнения энергии: +Ай1т(('р„,то)+рсо)+ й1т(Лйгэй.Т). (19) ( РассмоХрим частные формы уравнения энергии. Предпо- ' ложим, что величина теплового эквивалента кинетической энергии даижущейся жидкости пренебрежимо мала по сравнению с ее внутренней энергией, а давление жидкости р , изменяется весьма мало и может считаться постоянной вели- ' чиной. Допустим далее, что работу объемных сил и сил трения можно не учитывать. Тогда, принимая во внимание формулы (2), можем написать уравнение (7) в виде: а (с„Т) -ь р —" = — Ай1т(ртн)+ й1т(Листай Т). (20) При этих же предположениях из уравнения (13) следует: Уравнение (23) получается тоже из уравнения (18) или (19).
Оно имеет большое прикладное значение, так как им определяется термокинетический процесс многих теплообменных устройств. Предположим, что физические константы р, ср и Х являются постоянными величинами. Тогда уравнение (23) превращается в уравнение Фурье-Кирхгофа: — = а йт(8гаоТ) = аэТ или в развернутом виде: (24) х Здесь через а обозначен комплекс величин —, наэываемыи ср коэффициентом температуропроводности. Если тепловой поток распространяется в твердом теле, то твт = твэ = тэ = О, и уравнение (24) приобретает вид: д —— а ЬТ. (25) Уравнение (25) называется уравнением Фурье. Если процесс распространения тепла в твердом теле носит стационар- эт ный характер, для которого — = О, то ас уравнение (25) превращается в уравнение Лапласа: Из уравнения энергии можно полу- Фиг. 2 чить основное уравнение технической термодинамики.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
