Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Возьмем цилиндр с поршнем," (фиг. 2), движущимся бесконечно медленно вверх под давлением сжимаемой жидкости (газа), находящейся в пространстве цилиндра под поршнем. (з При рассмотрении состояния жидкости будем пренебрегать работой объемных сил и сил трения. Вследствие бесконечно-медленного движения поршня вверх можно пренебречь также величиной кинетической энергии жидкости.
Пусть в момент времени т поршень находится в положении, определяемом координатой г. Обозначим объем цилиндра под поршнем через У, а поверхность этого объема в через Я. Напишем уравнение (7) для .объема У, при сделанных выше допущениях: д (с,У) г , ~ р — „' ЫК = — А ~ о)т (Рте) Ыг' + ~ йч(Л ягаЫ Т) Ы'т'.' Применяя преобразование М. В. Остроградского к правой части написанного уравнения, получим: ~ р ' Ыг'= — А ~ рта„Ю+ ~ Хйтай„ТЫо.
(27) У Я Я Ы (а,т) Прадполагаем, что каждая из величин р, р и в любой точке области У. в заданный момент времени т имеет постоянное значецие. Тогда уравнение (27) можно переписать так: УрЫ(с,Т) = — АРЯ„та„Ыт+ ~ Хасай„ТЫБ Ыт, (28» Ф где: .ބ— площадь поршня, ж — скороств движения поршня. Левая часть уравнения (28) представляет собою величину изменения внутренней энергии жидкости ЫУ за время Ыт. Первый член правой части того же уравнения является тепловым эквивалентом механической работы — АРЫК, совершенной жидкостью за то же время Ыт.
Второй член правой части представляет собою величину количества тепла Ыч, подведенного к объему Р снаружи в течение того же времени Ыт. В ' новых обозначениях уравнение (28) переписывается следующим образом: ИД с(У + АРЫК. (29) Относя его к 1 кг жидкости, получим основное уравнение термодинамики: Йу — — с(и + Ар~И. (30). (311 й1чте = О, ~йо -ь т — = Р—.— ягад р+ четв, лт= р где ч — коэффициент кинетической вязкости жидкости. Предположим, что объемная сила Р имеет потенциал.. Тогда, беря от обеих частей уравнения (32) операцию гос, получим векторное уравнение динамической возможности движения: осс гоз — = чгоСЬю. Ыт (33) ' Из уравнения (33) с помощью соответствующих преобразований' получается вихревое уравнение: И<о ь — = (сс, бтаб) те + часо, где ь с ы = гоФтв.
с СМ. сноску на стр. 8. Это уравнение будет справедливым также и при' движении жидкости с трением, если, предположить, что теплота трения входит в величину Ид. Иногда движение жидкости можно рассматривать нзотермическим, а движущуюся жидкость — несжимаемой. В этих случаях уравнения (9) н (10) упрощаются и при-- . обретают вид: 2. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ Решение системы дифференциальных уравнений, определяющих движение вязкой жидкости, дает ее общий инте., грал, который будет справедливым для многих термодинамических задач. Конкретная задача о движении вязкой жидкости определяется дополнительными данными, называемыми условиями однозначности.
Согласование общего интеграла системы дифференциальных уравнений с условиями однозначвости дает частный ивтеграл системы, однозначно определяющий искомые функции. В условия однозначности входят следующие данные: 1. Геометрическая характеристика пространственной области х', в которой изучается движение вязкой жидкости. Эта характеристика задается уравнением замкнутой поверхности Ю, ограничивающей область- г: (35) х = р(х„х,).
' Для элемента поверхности дЯ имеем выражение: (36) Частные производные — и — выражения (36) должны опредх~ дх1 дх~ дх~ деляться из уравнения (35). 2. Задание величин физических констант, входящих в 1б определяющую систему дифференциальных уравнений. Эти величины задаются формулами: р= р(р, т), л=л(р,т), с = сг(р, У).
(37) У равнение состояния (12) можно рассматривать как формулу типа (37). 3. Начальные условия, которые могут быть заданы равенствами: ~ 0'' ~ о = Уа, (х„ха, х,), (38) где Уа — любая из искомых функций, входящих в определяющую систему дифференциальных уравнений, причем функции Уа, — известны. 4. Граничные условия, которые формулируем так: ~ Уа ~я = Раз (ха ха~ ха) (39) где функции 0'аэ известны на поверхности Я.
Формулированные выше условия однозначности не могут бйть заданы произвольно. Они должны быть увязаны с определяющей системой дифференциальных уравнений. Специальнын математический анализ должен показать достаточность этих условий. Строгая математическая формулировка условий однозначности отличается большой сложностью и выполнена лишь для немногих дифференциальных уравнений. Остайовимся на некоторых формулировках условий однозначности. Возьмем непрерывную функцию Т, которая в области Р удовлетворяет уравнению Лапласа (26): 7аТ = О. (40) Т = Т(х„х„х ) = Т(х„хз, р(х„ха)). 2 Кириииев и Коиавов 17 Пусть на Поверхности Ю эта функция задается известным .выражением Так как в области Р' Ь Т, = 0 и на поверхности Ю Т, = О, то1 ~ (рай Т„)с оК =О.
т (42) Подинтегральная функция в левой части равенства (42) положительна, вследствие чет о: райТ, = О. Отсюда: Т вЂ” Т = сопэС. (43) Но на поверхности Ю по условию должно быть Т вЂ” Т =О. Поэтому постоянная в правой части равенства (43) будет равна нулю и для любой точки области К можно написать: Т,=Т.
Следовательно, функции Т, и Тэ не могут быть различ-. ными между собой. Возьмем опять функцию Т, удовлетворяющую в области У 18 Покажем, что задание функции Т на поверхности Я однозначно определяет эту функцию в области У, Предположим, что существуют две различные непрерывные функции Т, и Тю удовлетворяющие в области Р уравнению (26) и принимающие на поверхности Я тождественные значения, определяемые выражением (40).
Докажем, что эти функции будут тождественными также и в области Р'. Обозначим разность функций Т, — 7, через Тс. Очевидно, функция Тс будет 'удовлетворять в области Р' уравнению (26) и обращаться ва поверхности Я в нуль. Напишем формулу Грина: Ъ„~т,ЬТ,+(райт,)) М = ~тс' — ,*'аЗ. (41) т Я уравнению (26). Пусть на поверхности Я нормальная произ- водная этой функции задается известным выражением." — Э(хп хв, хв) = Э(хп хв, р(хм ха)).
Т, — Т = сопвь. , Полученное равенство и доказывает высказанное вылив предположение. Пусть мы имеем функцию Т, которая в области т' удое летворяет уравнению Фурье: дт — = аЕТ. (25) Пусть в начальный момент времени т =О в в любой момент времени на новерхностн 8 эта дается известными выражениями: области Г и функция за- ~ Т ~,=с = Т, (х, хв, х ), (45) (46) ЯФ 19 У ~з = Ув (хм хв, хв) = Тз (хп хв, ф (хту хв))' Покажем, что в этом случае функция Т определяется в области $' с точностью до произвольной постоянной.
Предположим, что существуют две различные функции Т, и Тв, удовлетворяющие в области Р уравнению (26), а нормальные производные этих функций принимают на поверхности Ю тождественные значения, определяемые выражением (44). Покажем, что разность этих функций в области т' равна произвольной постоянной величине. Очевидно, функция Т, = Т вЂ” Т будет удовлетворять в области У уравнению (26), а ее нормальная производная ат, ат, зт, — '.
= — ' — — ' будет обращаться на поверхности о в нуль. Так как в области К Ь Тс =О и на поверхности Я вЂ” ' = О, то формула Грина (41) приобретает вид (42), что дает право написать: ~ — ' — 'с1т' = — ~(йтай Т )'о$' нли —,д ')Т,'Л'= — ')(б АТ,'Т1Р. (47) Равенство (47) показывает, что положительный интеграл Тоз Ит' может только убывать, так как интеграл— г — ~(Втаб Те)' с1т' — отрицательный. Но в начальный момент времени интеграл 1 Т зсП' равен нулю. Следовательно, он должен быть равным нулю в любой момент времени, что приводит в конечном счете к равенству: Т =Т,— Т=О, з М.
Плени. Введение в теоретическую физику, ч. т. ОНзИ ЙКТП СССР, 1935. Покажем,' что задание функции Т в области У в начальный момент времени с= О и на поверхности Я в любой момент времени т однозначно определяет эту функцию в облаоти К в любой момент времени. Предположим, что существуют две различные функции Т и Т„удовлетворяющие в области, У уравнению (25) и принимающие в области т' в начальный момент времени и на поверхности Ю в любой момент времени тождественные значения, определяемые вырзокениями (45) и (46), Докажем, что этн функции будут тождественными в области Р' в любой момент времени т. Очевидно, функция Т = Т, — Т, будет удовлетворять в области Г уравнению (25) и обращаться в нуль в области К в начальный момент времени и на поверхности Ю в любой момент времени.
Подставим в формулу Грина (4т) вместо величины Ь Те ее выражение, определенное из уравнения (25). Так как на поверхности Л функция Т, равна О, то'из формулы Грина получаем: т. е. функции. Тт и Та не могут быть различными. Обратимся к уравнению (24), которое напишем в виде: дУ + — +(те,8г йт) =абдт (48) — $ — ' Л' + — $ (ти, 8тай Та') сЛ'+ ~ (8гай Та)' па' = 0 '(49) Второй член левой части написанного равенства можно представить так: (те, 8гай Уа') а%' =, ~ Т ' тв„~М вЂ” ~ Та' й1т те Л' = Ъ э 1 — 1Т а й гт те Д7, При выводе уравнения (24) мы считали физические кон-' стайты постоянными.
Прн этом предположении уравнение неразрывности (3) дает: / ~. й1тта = О. Поэтому ~ (те,8гайТ а) й7 = О, г 21 Покажем, что условия (45) и ',46) однозначно определяют функцию Т в области У в любой момент времени с. Предположим сиять, что существуют две рааличные функции Т, н Т.„удовлетворяющие в области $' уравнению (48) н принимающие в области а в начальный момент времени и на поверхности о" в любой момент времени тождественные значения, определяемые выражениями (45) и (46). Докажем, что эти функции не могут быть различными, если функции ж, и и жа определены однозначно в области а'. Функция Та =-Т вЂ” Та, удовлетворяя уравнению (48), будет обращаться в нуль в области $' в начальный момент времени и на поверхности Я вЂ” в любой момент времени.
Определяя величину ЬТа нз уравнения (48) и подставляя ее в формулу Грина, получим: а равенство (49) принимает вид Получеиный результат, как было показано выше, приводит к выводу: Т,— Т =О. При формулировке условий однозначности для уравнения (24) мы предполагали, что функции тяп шз и тиэ однозначно определены .в области К. Обоснованно формулировать условия однозначности для этих функций, удовлетворяющих в области %' уравнениям движения вязкой жидкости, затруднительно. Мы примем пока без доказательства, что заданйе функций тв„те и ат, в области $' в начальный момент времени н на поверхности Я в любой момент времени однозначно определяет эти функции в области $' в любой момент времени. Совокупность дифференциальных уравнеяий, определяющих движение вязкой жидкости, и условий однозначности образуют дифференциальную систему.
Решение этой системы дало бы возможность получить аналитические выражения для искомых функций. Одчако в общем виде эти системы. не могут быть решены средствами современной математики. Поэтому в настоящее время большинство термогидродинамических явлений изучается экспериментальным путем, причем постановка эксперимента и обработка его результатов производятся прн помощи' теории подобия.
К изложеяию основных предложений этой теории мы сейчас и переходим. 3. ЭЛЖМЖНТАРНЫЖ ПОНЯТИЯ О ГРУППАХ ЛИ В основе теории подобия лежит идея преобразования переменных величин, изменение которых определяется заданными дифференциальными уравнениями и условиями однозначности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
