Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Эта идея связывает теорию подобия с теорией непрерывных групп преобразований, которая, разработана норвежским математиком С. Ли. Мы остановимся здесь лишь на некоторых элементарных представлениях теории групп Ли, отсылая интересующихся к специальным сочинениям. а Возьмем л переменных величин: х„х,..., х„и г параметров с„.с„..., с„. Пусть мы имеем систему функций: х = ~«(х„х„..., х„; с„с„..., с,). (50) (« = 1, 2,..., л) ' 'Давая параметрам с„..., с„различные числовые значения, получим различные функции, определяющие х,', ха',... ..., х„' в зависимости от х„х„...,х„. Функции (50) являются преобразованиями переменных величин хы ха, ° ха. Эти преобразования составляют г-членную непрерывную групйу преобразований (г-членную группу Ли), если два преобразования, последовательно проделанные над переменными х„хе,..., х„, равносильны одному преобразованию, Н.
Г. Чеботарев. «Теория груни Ли», Гос. иад. техникотеоретич. литературы, $940. 23 проделанному над этдми переменными, т. е. преобразования (50) составляют непрерывную группу преобразований в том случае, если справедливо тождество: Ф /~ (~, (х„..., х„; с„..., с„),..., („(х„..., х„; с„..., с„); с,',..., сг') = ~в (х„..., х„с,",..., с„") (т" = 1, 2,..., и), (51) где с,", сз",..., с„" являются функциями параметров с„..., с, ист,..., с„: ! с "=рч(с„..., с„; с,',..., с„') (у=1,2,...,г). (52) Непрерывная группа преобразований должна включать в себя тождественное (единичное) преобразование, которое определяется равенствами: х; = ~~(х,,..., х„; с,",..., с„с) (( = 1, 2,..., п), (53) (54) х~'=с~х; (1=1, 2,...,л). непре рывную группу Лн), так как имеютск Эти преобразования составляют преобразований (и-членную группу тождества: с,' (с;х;) = с с;х; = с;"х; (~ =~,2,...гп), где с; = с с;.
Ю Тождественное преобразование осуществляется при услоцин с;=1 ((=1,2,...,и), Рассмотрим преобразования: х; = с х; . 3 ' где с,э,..., с„э — некоторые фиксированные значения параметров с„ ...,с Равенства (53) показывают, что при условии: с, = с,с;...; , с„= с„с функции х превращаются в х„т. е. х~' становятся тождественными с хь Сказанное поясним примером. Возьмем совокупность простых линейных преобразований, которые- в дальнейшем называются подобными: Эти преобразования не составляют непрерывной группы, так как прн условии (52) тождество (51) не имеется: с (сьи11)» = с,'с1»х11 чь с1"к1».
д~,. дх1, д11 дх»' д11 дх„,' д1» дс»' дх' дс» дх»' » ' ' ' дх ' дс, дс»' дс» 1, х д)1 дсс~ дс„' дс» (55) 1=1,2,...,п В отой системе уравнений дадим параметрам с,',...,с„' некоторые постоянные значения. Тогда функции (1 превращаются в функции от одних только переменных величин дс1' дсс' х,',..., х„', а выражения —,..., —" — в функции от одних дс» ' ' ' ' ' дс» только параметров с„ ...,с,. Введем обозначения: ( » = », 2, ..., ) При атнх обозначениях систему уравнений (55) можно переписать так: д)1 дх1' д)1 дх»' д(1 д „' дх1' дс» 'дхз' дс» ' ' ' дх ' дс» 1=1;2,...,п Предположим, что в тождестве (51) параметры с»",,..., с„" являются постоянными величинами.
Тогда параметры с ', .. »,с„' становятся функциями параметров с„...,с„, определяемыми равенствами (52). Дифференцируя при этом предположении тождество,(51) по параметрам с„ ...,с„, получим: дх,.' Решая эту систему относительно — ', получим: дсь д7 д~, ' дхс'" ' ' ' дх' д7, д~, дхс'''' ' дх' д~, д6с д, д, д/с д~с дх ! дх 1'''с 2' 1' д)„ дУ„ ' дхс дх п д)х д/„ дх'ю дх'''' ' х 1' 3' дх ' дх, 'д А дс ь дУ.
ду~ дй д," дхс ' ''' д, п дрс Пэ Па дх'' дхс'''' ' да' а~, э~, дхс' ' ' ' ' ' д,„' д/с д/с дх~' ' ' дх х дх,' ' д7с дх,' ' Э~„д~„дС„ х Ж~, Ж, д) дх1 дхс дх„ (56) Решения (56) можно представить в виде: дх,.' дс (57) где ь... является функцией одних только переменных хс'» х ', афх, — одних только параметров с„..., с„.
Полученный результат представляет собою первую основную теорему Ли: если функции (50) образуют г-члецную группу Ли, то онн удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (57). Обратная теорема также справедлива: система дифференциальных уравнений (57) определяет г-членную группу Ли. На доказательстве обратной теоремы мы останавливаться не будем. Найдем уравнения, которым удовлетворяет подобная группа преобразований (п-членная группа Ли).
Для этой группы система уравнений (55) может быть написана следующим образом: 26 ~58) д1, дх,' д7, дс,' —.— + —,— =о, дх~' дс де~' де~ д)„д „дУ„д.„ дс ' де дх„' дс Так как ;=с;х с =с с =сопзср ,л то система (58) принимает вид: р дх,', х, дх,' хр' с — — сгс —, = — — — =О, дс, ' ,* д , с„ дх ' хл' р л с„—" — с„е„—" де„ с„ дхл хл де„, (59) Таким образом, для подобной группы имеем: $;,ь=х,, 1 фа,,=— с. х )и-- = Срг е.
Постоянную С определим тождественным преобразованием, при котором с; = 1, а х превращается в х;. В результате будем иметь: С„= 1пх;. 27 Проверим обратную теорему Ли, сорласно которой система дифференциальных уравнений (59) вполне определяет подобную группу преобразований. В самом деле, интегрируя систему (59), получим: - Следовательно: с хс 1п — = 1пхо Особый интерес для теории подобия представляет вопрос об иивариаитах -непрерывных групп преобразований. Инвариаитом группы называется функция Р(х,',..., х '), которая остается тождественной при преобразовании перемепиых величин х,',...,х„' с помощью функций (50), т.
е. инвариаптом группы' называется функция, определяемая тождествами: Р(х„...,х„)=Р(х ',..., х„')=Р(х "„..., х„")=. Так как иивариант группы Р не зависит от параметров с„..., с„то он' должен удовлетворять системе уравнений: дд дР дх,' дР дх,' дР' дх„' дс, дх,' дсс дхс' дсс ' ' ' дх„' дс, (60) дР дР дхд' дР дх ' дР дхх дс„' дх,' дс„дхз' дс„' ' ' дх„' дс„ Идея об инвариаитах группы используется при выводе второй теоремы подобия, о которой мы будем говорить ниже.
4. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ В первой теореме подобия говорится о необходимых условиях подобия явлений. Для случая движения твердых г тел она была 'сформулирована И. Ньютоном в 1686 г. « Седьмой отдел второй книги «Рг1пс1р1а» начинается двумя предложениями, в которых Ньютон дает строгое оцрбделенне механического подобия и доказывает две теоремы, устанавливающие необходимые условия подобия движения твердых тел. Около двудсот лет идеи Ньютона оставались в забвении 'и только в конце Х1Х столетия теория подобия начинает интенсивно разрабатываться многими учеными.
' В 1848 г. Бертран вывел первую теорему подобия из общих дифференциальных уравнений движения физических тел. Гельмгольц применил зту теорему к случаю движения жидкостей. Фруд, проф. В. Л. Кирпичев, Рейнольдс, Релей и др. - успешно применяют принцип подобия в различных. областях научных знаний, В 1915 г. появилась работа Т. А. Афанасьевой-Эрен- фест, » посвященная гомогенным функцмям. Эта работа имеет «'1»аас Не» ! оп.
«Рпп«1р!а» ЬЗЬг 11, «П, Ргороа!т!о 32, 33, !636. Академик М. В. К и р.п и ч е в..Теория подобия как основа эксперименаа. Сб. «Юбилейнан сессия АН 'СССР», т. 2, !947; М. В. К ир п и че в. Тепловое моделирование. Юбилейный .сборник АН СССР, посвященный ХХХ Великой Октябрьской Социалистической Революции, 4947. ' Т. ЕЬгеп1ее»-А!апас»1еиа. Нег Вйшепс!ов»Ьедп~ ппо «1ег апа!укесЬе Вап рЬуа!1са1!»снег 61«!«Ьипдеп.
Ма»йешабасЬе Аппа1еп, ЬХХ«'П Ванд, Неы 2, 1945. непосредственное отношение к первой теореме подобия и на ней мы остановимся подробнее. Возьмем функцию п переменных величин Дх» хз,..., х„)., Эта функция называется гомогенной, если имеется равенство: Дстх1 сзхзэ ° ., свх~~)=и (см сз ° ° ~ св) 1 (х1 ° в хз~...,ха) (6Ц Если множители преобразования с„с,,..., с„связаны соотношениями И й а й+т= 1 (62) с =с' с 'т...с"" ьет=,' й ' * ь' где а с индексами означают постоянные величины, то функция' ~ имеет вид: где й — постоянная, Р— степенная, а Ф вЂ” произвользая функции своих аргументов.
Соотношения (62) называются обусловливающими уравнениями, а функции, которые становятся гомогенными вследствие соотношений (62), называются условно-гомогенными. Возьмем уравнение (63) ~ (х„..., х„),= О. Если зто уравнение остается инвариантным по отношению к преобразованиям \ х =с,х„ х„=с х„, причем между множителями преобразования с„..., с„существуют соотношения (62), то уравнение будем называть условно-гомогенным. 30 Если уравнение имеет вид: ' Ичх, р х„=— ,р ч л то оно дает следующее обусловливающее уравнение: с; с„=— е р Понятия об условной гомогенности и обусловливающих уравнениях, введенные Т.
А. Афанасьевой-Эренфест, являются основными понятиями теории подобия. В дальнейшем мы используем эти понятия и постараемся в некоторых случаях их уточнить. Переходим к изложению первой теоремы подобия. Введера понятие о гууппе подобных явлений. Возьмем Л~ отдельных (единичных) явлений, каждое из: которых состоит в изменении множества величин х1р, хрр, ... ° .. > х. р Р = 1, 2, ..., Л7) и определяется заданными системой. дифференциальных уравнений и условий однозначности.
Совокупность Л' явлений составляет группу подобных явлений, если величины х~р, хтр,..., х„р образуют подобную группу преобразований: х,р=с х„1 ~ ' '' ' ), -lх=1,2,...;в) (64) Ь=1,2,...,Л)' а заданные системы дифференциальных уравнений и условий однозначности остаются инвариантными по отношению к преобразованиям (64). Возьмем одно из дифференциальных уравнений системы определяющей группу подобных явлений: '~.~1 (х1р хррэ ' ' ' ~ хар) Это уравнение должно оставаться формально-неизменным (тождественным) при числовом значении р = 1, 2, ...,.М.
Если уравнение обладает таким свойством, то будем говорить, что оно допускает подобную группу преобразований (64). зь Уравнения движения вязкой жидкости, о которых мы говорили вйше, допускают подобную группу преобразований, при наличии определенных связей между параметрами преобразования. Эти связи будем называть, следуя Т. А. АфанасьевойЭрвнфест, обусловливающими уравнениями. Выведем обусловливающие уравнения для системы дифференциальных уравнений, определяющих движение вязкой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
