Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Эта система состоит из уже известных нам уравнений, которые мы выпишем здесь еще раз в скалярной форме: дз д (рв;) ,—,+ —,* =6, (5) Я$ д(р,.ьмд+ рмь) 'С" —.) де,. (12) ') р. Лт )~~1 2, '1й = 1,2, Продифференцируем уравнения (11) ~Ф) „..., ., "~" —,",) (12) по хо где 1= 1, 2, 3: дх дх дх~,дх дх дх~ + д р д~р— ( — ~ '=) йод'~ ( Йо~ ~ ~~т / (, Лт / д(раз) д(рР~) дх~ дхь дз~ дх~ 32 Из системы (65) возьмем уравнения, для которых 1+1. Сравнивая эти уравнения, получим: 1 де (В а) д („~~) дх;дха дх дха (66) ~'дизел и /дхзз'~а ИЯВ = ~/ 1 + ( — ) + ~ — ) ЫХ2зеехаз.
(67) дхаз~ дх2В) (р=1,2, ...,Л) Для исходного явления зто выражение принимает вид: Гдхва~ ~дхаа~ 2 (Ма хх 1 + ( — ) + ~ — ) Ыхза Ыхпь (68) (,д*„) Величины, стоящие под знаком корня в выражении (67), связаны с соответствующими величинами выражения (68) соотношениями: /2=1,2,3 ХаВ схса ХИ ~ Р = 1, 2,..., Ф/ Эти соотношения дают возможность переписать выражение (67) следующим образом: Сиззл,з Потребуем, чтобы правая часть выражения (69) была тождественна правой части выражения (67). 3 Кириииев и ноиаиов зз Система (66) образует уравнения динамической возможности движения. 'К уравнениям (Ь), (19), (11), (12) и (66) необходимо присоединить условия однозначности состоящие из четырех пунктов, о которых мы говорили выше.
Обратимся сначала к выражению (36), относящемуся к геометрической характеристике области, охваченной изучаемым движением. Назовем явление, соответствующее индексу ф = 1, исходным. Напишем выражение (36) для группы подобных яВлений: Указанное требование влечет за собой равенства: сх сх сх ' сх х!Р хзВ (70) Получейные равенства будем называть независимыми.
обусловливающими уравнениями, При их наличии из сопоставления выражений (67) и (69) получаем: с15, = 2Р 1Р .или Яв = с„с„Я, + р, Рв 1В Следовательно: ов = схзв схзв оз илн вв = 1. 'с с 2Р 1Р Написанное соотношение будем называть зависимым обусловливающим уравнением. Обусловливающим уравнениям мозкно придать другую форму.
Так как х св 'С хх —, в и' то независимые обусловливающие уравнения приобретают вид; *ЗВ 'З1 . х1В х11 ' хзз х31 хзв т. е. отношения — и — для группы подобных явлений *ЗР хЗР х!в х2В 34 ~где р '-.произвольная постоянная. Эту постоянную определяем из единичного преобразования, КОГДа Сх „,=Схзз 4: Р=оз — о,=О. сохраняют одно и то же числовое значение или иначе явля- ются инвариантными. Эту мысль записывают так: хзв .
. хзв — = !вч; — = пи. в!В х2В Зависимое обусловливающее уравнение переписывается следующим образом: .ср = '!пч. х!Рхзр Обратимся к уравнению неразрывности. Напишем его для группы подобных явлений: др д(ррссс ) — + * =О. дхр дхср (71) Для исходного явления это уравнение примет вид: др! д (Р1 а'1!) — + = О. дх! дхя (72). с„ сх сх — + др! д (р11Е!!) Рр В д (р! сх2!) + + с, с дх1 ср 1с!р дх дх21 с с хвр ю!Р !р д (21 схзр) + — 0 (73) с с хЗР х1Р Потребуем, чтобы первый и третий члены уравнения (73) были тождественны с первым и третьим членом уравнения (72).
Из этого требования, учитывая равенства (70), получаем независимые обусловливающие уравнения: сх с,„ 1Р . 2Р с с„с, = 1 — = 1. р !р !р (74) Зс 35 Предположим, что величины хо т, в, тв1 и тнр, входящие в 'уравнения (71) и (72),.-связаны между собой соотношениями подобия. Эти соотношения дают возможность переписать уравнение (71) следующим образом: из сопоставления уравнений (72) и (76) При их наличии будем иметь: д р1 — 1 < мзз ( ~хЧЗ/ д(р,э„,) дхзз дхзз или 'ззз рх с I сх1З где К вЂ” произвольная функция координат хм и хз,.
Из единичного преобразования, когда р = 1 и ссч = 1, получаем: Следовательно: И'зз = Сештд3$ или (75) — = 1. ' 1з ""зз Это соотношение будет являться зависимым обусловливающим уравнением. Перепишем полученные обусловливающие уравнения в инвариантной форме: мш'з .. мш . сззв = 1нт; — = пн; — = 1вч. ' ™~з ' сс1з сз е1з ср сх 'м ~в с с,„с„ сх Р или в инвариантной форме: мцР = шч. ~ 1з*1з рз сз1з хш м~з х1з = пн"; рз чз Напишем систему дифференциальных уравнений (66) для группы подобных явлений и единичного явления. Производя с этими уравнениями математические выкладки, аналогичные изложенным выше, н учитывая обусловливающие уравнения (70), (74) и (75), придем к независимым обусловливающим уравнениям: обусловливающие Кроме того, будем иметь уравнения: — =1 "грр ) Г1Р зависимые — =1 ~УРР ~Г1Р или р' — = 1ПЧ; с'1Р срр — = 1пч, й Далее, из уравнения (11) аналогичным способом получим зависимое обусловливающее уравнение: 'рр Р \ РР се1Р рр — = 1ПЧ.
2 РРЮ 1Р ' ЧР 'х1Р ст р Рр 'РР м1Р ж = 1ПЧ. рр срр х Комплекс величин — обозначается буквою а и называетрс, ся коэффициентом температуропроводности. Следовательно ' ЧР 'х1Р =1, сср Ю1Р х1Р Фр Все изложенное дает возможность сделать заключение о том, что для группы подобных движений вязкой жидкости нет необходимости требовать подобного преобрааовання всех зт Наконец, из уравнения (19) выведем независимое обусловливающее уравнение: величин, входящих в систему уравнений (5), (19) (11), (12) и (65). Достаточно потребовать, чтобы часть величин, входящих в указанную систему и выбираемых до известной степени произвольно, образовывала подобную группу преобразований, тогда другая часть этих величин будет также образовывать подобную группу преобразований.
Формулируем теперь предложение: Если совокупность явлений, определяемых системами дифференциальных уравнений и условий однозначности, об- Ф разует группу подобных явлений, то множители преобразования величин, входящих в определяющую дифференциальную систему, должны удовлетворять независимым обусловливающим уравнениям, которые являются следствием тождественности заданных дифференциальных систем. Это предложение можно формулировать иначе.
Если совокупность явлений, определяемых системами дифференциальных уравнений и условий однозначности, образует группу подобных явлений, то величины, входящие' в определяющую дифференциальную систему, должны образовывать компдексы, сохраняющие одно и то же числовое значение для заданной совокупности явлений. Эти комплексы называются инвариантами подобия.
Они могут быть независимыми и зависимыми. Формулированное нами предложение называется первой теоремой подобия. 5. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ Вторая теорема подобия для теории подобия имеет исключительно большое значение. Эта теорема говорит о том, что между иквариактами (Кри' териями) подобия существует однозначная аависимость.
Современные эмпирические формулы в области термокинетики и гидродик амик и построены при, помощи этой теоремы. И сожалению, вторая теорема подобия, имея солидное практическое основание, математически доказана лишь для кокечкых уравнений. Для краевых задач, которые определяются дифференциальными системами, эта теорема еще до сих пор ие доказана. Остановимся иа основных работах, посвященных второй теореме подобия. Вторая теорема подобия была формулирована и дока- 'вана для конечных ,уравнений Букиигамом, хотя до него етой теоремой пользовались Джинс и. Рябушинский.
э Предложение Букикгама в интерпретации Бриджмена'-" формулируется так: возьмем ряд физических величин х„ хз,...,х„. Пусть эти величины' удовлетворяют. конечному уравнению (76) Ф (х„х,..., х„) = О. Предположим, что уравнение (76) является полным, т. е., ' Академик М. В. К и р киче в. Теория подобия как основа экспе римента..Изв. АН, ОТН, № 4 — зр1945. 'з П. В. Брид жма н. Анализ размерностей. Пер. со 3-го анг изд. нсд ред. академика С.
И. Вавилова. ОНТИ, 1934. 39 оно остается формально неизменным (тождественным) прн любом изменении размеров первичных единиц. Тогда для уравнения (76) будет справедливо следующее предложение: Если уравнение Ф(х,..., х„) = 0 является полным, то его решение имеет вид: (77) Р(пампы...) =0, где П1(( = 1,2,...) †независим произведения аргументов, которые не имеют размерности относительно основных единиц.
Указанное предложение иногда называют П-теоремой. Доказательства этого предложения мы не приводим, отсылая интересующихся к книге Бриджмена. Ранее Букингама Федерманы доказал предложение, 'иа которого вторая теорема подобия для конечных уравнений выводится как следствие. На предложении Федермана мы остановимся подробнее.~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
