Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 9
Текст из файла (страница 9)
рдйдхд р Далее, из уравнений (11) будем иметь: (165) (7д = 1д 2, 3) В этой .зависимости символом Ма обозначен инвариант подобия Маха. Этот инвариант выводится 'из полученного выше инварианта — следующим образом. Р рй'дд Представим инвариант — в виде: Р рй'дд хР ддрйддд где дд = — ° У ад ' Из курса физики известно, что скорость распространения звука в сжимаемой жидкости а. определяется формулой: а,=~. Вследствие этого Р а,д 1 рхдд да Мад' где Ма й, Наконеп, из уравнения (19) получим: где дое = и — '** — инвариант подобия Пекле. а 78 6, (Но, Ма, Не, Ре, — '-, — '1 = О, 1' *1/ (167) Оаы '(Но, Не, — ', — ''-) =О (й= 1, 2, 3), (168) еоа ' ха/ о40 Но, Ма, Не, — ', — *'1 =0 (а=1,2, 3).
(169) 1' ха/ В условиях однозначности должны быть заданы числовые значения величин, входящих в систему уравнений (5), (19), (66), (11) и (12). Эти величины обозначим соответствующими буквами, с индексом О. На основании второй теоремы подобия можно утверждать, что отношение любой величины, входящей в рассматриваемую систему уравнений, к ее заданному числовому значению является ннвариантом этой системы. Вследствие этого зависимости (167), (168) и (169) приобретают вид: х. 6' (Но, Ма, Не Ре, —, —; —, —, ев во ха 0 Юа ЮЕ 0 О'х ' хра Е хо.у ов еово Ро То рв Р йв ( (170) —,—,— )-О, й'в р й'ЮВ Рв Ро,) й'еа хеа .
ювтй (Но,Яе, —, —;— 0' вор, ' хв,' 'х ~ (171) е ое — — — — '') =-о. „,,) (172) 79 ~ва хоа . таха (Ною, Мао Нео "'ва ей о о .Укажем а заключение, что уравнение (12) инвариантной зависимости не дает. Определим из уравнения (162) величину инварианта — ** и подставим его в зависимости (163), (164), (165) и (166).
Далее, решим уравнение (163) относительно инварианта — ' и й'а подставим найденное решение в уравнения (164), (165) и (166). В результате для жидкостей с одинаковым х получим: Подставим в зависимости (170) и (172) вместо — ~ их соевое ответствующие значения, определенные из зависимостей (171). Кроме того, выражение для —, определенное из зависи- Р Рв мости (172), подставим в зависимость (170). В результате получим: еев / — = еаы ~Нов, Все, —, —; —, —, —, — ), (173) м,х х, .
хв е р И '1 хов "'вв хвв *ее ее Рв Ре / — = о „~(Ное,Мае, Ве, —, —; —, —, —, — ), (174) хев хве. хе е р Рв вевв хев хе; ее Ре Ре ) Т / а х х» е в р и а1 — =бе~Но„Мае,ВеввРее,—, —; —, —, —, —,— ). в а'и хев хм хе Ре Ре ае ) (175) Частные интегралы (173), (174) н (175), справедливые для группы подобных явлений, определяют величину завир т симых инвариантов —, — и — в функции от величин еров Ре независимых инварнантов, стоящих в круглых скобках ука. ванных интегралов. Для стационарного движения жидкости полученные интегралы не должны содержать инвариантов, в которые входит время, вследствие чего они упрощаются и принимают вид: (176) веса ~ мм хм хрв Ре Ре / х=ц „(Ма,Ве, — ", — *~; — ', Р, И ), (177) Рв Укажем что процесс теплообмена между твердой поверхностью и движущейся жидкостью может быть формулирован при помощи закона охлаждения твердых тел Ньютона: — Лйтад Т = иЬТ, (179) где а — коэффициент теплоотдачи, 80 ЬТ вЂ” равность температур между жидкостью и твердой стенкой.
Напомним далее, что перепад давления движущейся по каналу жидкости Ыр определяется формулой: Ир = ь —— их рих И 2 (180) где ь — коэффициент гидравлического сопротивления, а( — определяющий размер канала, р — осредненная плотность жидкости, ар — осредненная скорость движения жидкости. Уравнения (179) и (180) дают инвариатные эависимости: (182) где Л1ии = †"а — инвариант подобия Нуссельта. Хо При экспериментальном изучении движения жидкостей в условиях внутренней задачи наиболее важными окааываются инвариантпые зависимости для Жив и ь, которые выводятся из уравнений (177), (178), (181) и (182).
Они имеют вид (величины а и ср осредняются по выбранному эакону): и, х,и ха р ~ = ь (Мав, йе„—, —; —, —, — ), (183) моа хов ха р 6 Кириичов и новаков 81 Пусть по трубе длиной )о и диаметром Ы движется сжимаемая жидкость. Термодинамические параметры жидкости во входном и выходном сечениях трубы обозначаем соответствующими буквами с индексами 1 и 2. Если движение газа будет обладать осевой симметрией, то зависимости (183) и (184) в этом случае примут вид: (185) где а — кинематнческий симплекс. Предполаган 1 = 7„будем иметь ! ~ = С (Мат, гтен а, +; в', — "' ), ~е .
Ве (187) Для изотермического движения несжимаемой жидкости формула (187) принимает вид: Ь = ф(гтее> а„,— '). (189) В области гидродинамической стабилизации, где величина о„приобретает постоянное значение, не зависящее от условий входа жидкости в трубу, и где — „.+со, будем иметь: ~е 1 т (Все)' (190) " Н. К.
К о н а к о в. Коэффициент сопротивления для гладких труб. Иэв. АН СССР, ОТН, га 7, 1948. 82 Формулы (187), (188), (189) и (190) используются при обра- ' ботке опытных данных. Применим метод осреднения интегральных уравнений к уравнениям движения вязкой жидкости. Рассмотрим двухмерное стационарное (в суммарно-статистическом смысле слова) турбулентное изотермическое движение несжимаемой вязкой жидкости в круглой трубе, диаметр которой обозначим через И„а длину начального участк»вЂ” через х в случае, когда величиной объемной силы можно пренебречь. 'т Расположим трубу в пространстве так, чтобы ось ее совпала с осью гг цилиндрической системы координат гОю а радиальная плоскость этой системы — с плоскостью входного сечения трубы. Движение жидкости в трубе определяется уравнениями: д, „д„, д „1-.др — "+ е„— '.+ и,—" = — — ~ + дт "дг' * дх р дг /'дьгг дтгг 1 юг е'гЛ д , . д , д , 1 др Гдъ , д — '+ е„— '+ е,— *= — — — + т~ — т'-+ '+ — — *), (192) дт "дг *дх,р дх (дг дхх г дг (193) Для одиозйачного определения функций е„, э, и р к уравнениям (191), (192) и (193) необходимо присоединить условия однозначности.
Рассмотрим движение жидкости в области гидродинамической стабилизации на отрезке трубы длиною 1э, непосредственно прилегающем к начальному участку трубы. Для этого отрезка условия однозначности формулируются следующим образом: — ~е„йт = — )1тг,г1т ~ =О, (19$) т, ~х. х х=х~+$ ! — ~ ах х(т = — ))хр, дт = й(г), (195) тх х=ха х г=х.+Ь (196) )е,~ з — — !эг~ з =О. Здесь через тс обозначен некоторый достаточно большой отрезок времени, а р представляет собою известную функ-' цию координаты г.
На математическом обосновании достаточности условий (194), (195) и (196) останавливаться не будем. Разделим исследуемый поток на две области: турбулентное ядро и граничный слой. В турбулетном ядре потока силами вязкости можно пренебречь, так как градиенты составляющих скорости движения жидкости е„и е, в ядре потока имеют достаточно малую величину. В граничном слое силы инерции пренебре6х 83 дггг ~Ъ г дй г 1 ~др — + йг — "+ й~т —" дт г дг * дз р дг' (197) дй дгг, дй, 1 др — +и' — + и' дт г дг з дз р дз (198) Кроме того, справедливо уравнение (193).
Продифференцируем уравнение (197) по з, а уравнение (198) — по г. Из сравнения полученных уравнений будем иметь: дзйг дй'г дггг д ~" г дггз дггг дьзг дтдз дз дг "дгдз дз дз — "+ —" — "+ и'.— "+ — — "+ и'* —" = д,* д'й'з д«» дггт дтггз дй т дйгт д'й'з = — '+ —" — * + и „вЂ” *+ — * — * + и, — * (199) дтдг дг дг " дгз дг дз * дздг или в интегральной форме: ~«т~ д дз«р+ ~«т~ д д «+ ~«т~ (зргд~а «Р+ Уз Уз т, УЗ +()«т~ д дг «1 + ~«т~ жз дт".«1 = ~«т~ д~д*«)г+ тт Уз тт Уз т, УЗ В +~«т~ддгЛ+~«т~йгдз«~+ Уз т, УЗ + ~«т ~ д* — *~Л'+ ~«т ~ 1рз — зд'«~', т УЗ Уз где у"з — объем турбулентного ядра потока.
Для стационарного движения первые члены обеих частей уравнения (199) равны нулю. 84 жимо малы по сравнению с силами вязкости, величина которых определяется довольно большими значениями градиентов составляющих скорости и „и ц,. При этих допущениях уравнения движения турбулентного ядра потока (191) и (192) упрощаются и приобретают вид: Обозначим через таз среднюю скорость движения жидкости на поверхности турбулентного ядра потойа, а через ж— среднюю скорость движения, жидкости в трубе. Так как поле скоростей в турбулентном ядре потока и его граничном слое, имеющем толщину 3, остается всегда себе подобным, то Фз отношение = представляет собою некоторую постоянную й' > величину..
е'аз Составим безразмерный комплекс Ж = †. Этот комплекс, имеющий структуру числа Рейнольдса Вв, можно считать также постоянной величиной, нбо по своей гидродинамической сущности он идентичен с критическим значением Ве, определяющим переход ламинарного движения жидкости и турбулентное. Рассмотрим более подробно движение турбулентного ядра 'Потока. Уравнение (198) для турбулентного ядра можпо переписать так: дд, 1 д(гд„з,) д(е,з) 1 1 д(гю ) дс, ~ 1 др г + г г + г г + г дг г дг дз ' ~ г дг дз ~ р дз или, учитывая уравнение (193): г де'г 1 д (ге'г й'г) д (е'*з) 1 дР дт + г дг + дз р дз ' (203) Написанное уравнение можно представить в интегральной форме: ~ 1.
~ '— ,* Л + ~ (. ~ — ''( „" *' 1 + 1з г, г'З + ~Н~~ д* Л'= — — ~ Ы~~ д сй1. (204) г 'Уз кв Для стационарного движения первйй член левой части уравнения (204) равен нулю. Второй член левой части можно представить следующим образом: ч тз г ~з Поэтому уравнение (204) принимает вид ~ Н~ ~ — * сУ + ~ йт ~ — ' с)Г = — — ~ Ы~ ~ ф" (Л~, (205) т, тт тт "т'З т, тз или после применения преобразования М.
В. Остроградского: 1т $ озж,* сов(л, г) йУ + $ (т 5 ж,~сов (л, з)~4У = т, 8 вв (206) = — — 1 дт1 рсоа(л, з)4Я, э,) ез где Я вЂ” поверхности турбулентного ядра потока, о †числов значение ннварианта о, относящееся Ф к поверхности Я . На основании граничного условия (195) можно написать.' дт ~ те,з сов (и, з) сЫ = О. т, ез Остальные члены уравнения (206) преобразованием при помощи теоремы о среднем значении: 6т ~ тетз сов (и, г) ЫЯ = жззв (Ыо — 23)1 ото ез 5 Ыт ~ р сов (и, г) НЯ = Ьр —, (Ы вЂ” 2В) т„ тт Еа где Ьр — разность средних давлений жидкости для входного и выходного сечений трубы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
