Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому на приведенное выше доказательство теоремы М. В. Кнрпнчева следует смотреть лишь как на метод, который может быть применен к конкретным дифференциальным системам. 8.' ПРИНЦИП ПОДОБИЯ В ДВИЖЖНИИ ЖИДБОСТБИ Возьмем Л каналов; каждый из них ограничивается замкнутой поверхностью Юз и имеет объем Кз(р = 1,2,...,Л). Пусть поверхность оз состонт.из поверхности Яс,м образованной твердыми стенками, и плоских сечений сЧЗ в оца, из которых первое является входным сечением канала, а второе — выходным.
Предположим, что уравнение поверхности Я,тз имеет вид лзз — Р (л~з, лаз), (130) при этом сечения со~а и ытз совпадают с плоскостями х~з = =Раз и хюз =Юзз где Етз — С~в =1оз является длиной канала. Площадь элемента поверхности ЫЯс,з определяется уравнением (67), Вектор скорости изотермического установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в каждом из описанных выше каналов в случае, когда действием объемной силы можно пренебречь, удовлетворяет системе уравнений: Йу тез = О> (131) Йез -+ Ф + — „, =(Ою дгаб)тлз+тзййз, (132) Ъ йз — — го1 тез (133)( ! К указанной системе необходимо присоединить условия однозначности, куда, как указывалось выше, входят следующие данные; 1.
Геометрическая характеристика областей Р'р, в которых изучается движение жидкости. Эта характеристика определяется уравнениями (130) и (67). 2. Задание физических величин, входящих в определяющую систему дифференциальных уравнений. К этим величинам относятся рр и чр, числовые значения которых и должны быть заданы. 3. Начальные условия формулируем так: 1звзр!' -з.=,а~за (хзр, хзр, хзр) (й = 1. 2 3). ° (134) 4. Граничные условия определяем следующим образом: тазы = тазрз(хзр, хзр, хзр, тр) для входного сечения зззр,' (й 1,2,3) (135) звзрз = терез (хзр, хзр, хзр,тр) для выходного сечения юзр. (й = 1, 2, 3) (136) Для твердой поверхности Лстр на основании гипотезы прилипания можно полагатж (137) Примем без доказательства, что формулированные выше условия однозначности действительно дают воэможность отыскать одну единственную функцию для каждой искомой величины терр и рр, определенной для любого момента времени тр в пространственной области Ур.
Потребуем, чтобы заданное множество явлений представляло собою подобную группу явлений. По теореме М. В. Кирпичева, множество .явлений составляет подобную группу явлений, если величины, входящие ч условия однозначности, составляют подобную группу преобразований, а инварианты этой группы, определенные из заданных дифференциальных уравнений и составленные из рзказанных величин, имеют одно и то же числовое значение. Покажем справедливость теоремы М. В.
Кирпичева для случая движения несжимаемых жидкостей по описанным выше каналам. ~тана.р=о = с !йии!.;о (й=1 2 3). фр ШАВ! = серр тары,'.йиррй = сюортдрйй (й = 1, 2, 3). (139) (140) Величины, входящие в рассматриваемые условия однозначности, нельзя выбирать произвольно. Уравнения (87), (131) и (132) накладывают на них определенные ограничения. Напишем последние два уравнения в интегральной форме: 81ч тдрдрр О, (141) тр дз А с Ф вЂ” ~1рр+ ~ (тдр нгай)) Прс~р ~ (Пр пгаб) шрНКВ + д'В тр тр "р + ор1 Да УР. тр Преобразуем их с помощью теоремы М. В.
Остроградского и перепишем в виде скалярных уравнений: Ъ л Г +л теор сор (лр, Хйр) Айова — ~ теАВ соо (лр Хйр) ~ЙЖВ = С (143) (142) (1=1,2, 3); дп Г .ьл — ~р Л'р+ ~ ПАшйрсоз(пр, хйр)доир— дчр чр Фр Пусть величины, входящие в формулированные вылив условия однозначности, составляют подобную группу преобразований, т. е. связаны между собой соотношениями: Хйр = 'САВХЫ> Хйр = САВХАА» Хор = Сортом (138 38) тр = с~р ГА~ рр = сорой~ чр = с~ртг Число таких величин в и.
7 было обозначено через д. Соотношения (138) справедливы для поверхностей Юр и для областей Ур. Пусть, кроме того, даны преобразования: '+» ь л 082В>ВСО8 (ПР> Х18) С>1828 — ) Чдььсзр СО8 (ПР> Х Р) 11181 2р хьр 'р 144) ( ь л >" даз Фл ~ звзгззр сор (пр> хзр) И>сзр+ ч ) — соз(пр, хзр) с>сс р— р) д., "28 ю 1Р 1 дв1, .Ьл — Зр ) д — СО8 (Пр> Х>Р) С>1828 »зр (Уа= 1,2,3) ' Отнесем уравнения (143) и (144) к начальному моменту времени и потребуем, чтобы эти уравнения, а также уравнение (67) были инвариавтнымн по отношению к преобразованиям (138), (139) и (140). Нетрудно показать, что зто требование осуществимо только при наличии следующих обусловливающих уравнений: — =1. "ЗВ с„ "18 сх 1 — =1 > И сх — =1 *зр > 28 (145) с,„ — = 1' зр с„ > 1Р с, с 18 Р с с„ 1; "18 "18 Р или в инвариантной форме: хзр — = шт; хзр хЗР ° .
>сзр — = 1пт; — = 1вт; хзр ' 8>18 818 хзр — = 1пт; = 1пи. хзр ' зр (146) с>зр — = 1пт 8>18 Следовательно, множители преобразования в условиях однозначности не могут быть выбраны произвольно. Они выбираются так, чтобы удовлетворялись уравнения (145). Напишем уравнения (131), (132) и (133), являющиеся уравнениями 6-го явления, в скалярной форме: д — 'Р = 0 (р = 1, 2, 3)..
(147) х>Р И4ЗаВ дх'цд да1423 га = 1, З„З~ — =ада =+чд ( ' " ~; (148) Н'В *В ' ах2 (.3=1, т, З~' *4В дав д2в дав. 'аав дада = — —. —; 1123 = — — —, дава = ахаз ' ахВВ ахВВ ахдВ а"2В ах'да ах!В дх23 * (149) Для исходного явления эти уравнения принимают вира — — — 0 (4=1,2,3); (150) х44 44йад даава д Йад — = Йад — + тд —; дх, ' ах., а ах' ' н (151) ах'ад . дасдд дх ад .
ааааа д4сдд —; йад= — — —; йад = — — —. (152) хад дхад дхдд ' ад дхп дхад ' 44'аВ ядав = сх — ° аа с вв (153) я вто выражение для наав в уравнения (147), и учитывая уравнения (145), получим: д~ 43) ав 0 (д =1, 2, 3); хаа (154) 1, 2, 3 1,2, 3)' (155) ,1., с д аВ хн ... '('=".,) '( — ".) ахад ааВ сх 23 с 2В д( — ) д( ~~) Ьм ах„ Уравнения (154), (155) и (156) показывают,'что фуйкции а ьа — удовлетворяют уравнениям (150), (151) и (152), отождеьз ' ствляясь в условиях однозначности с функциями твы. Так как частный интеграл для исходного явления может иметь только одно единственное значение, то в любой точке области Уг будем иметь: ж„з =с жы.
(157) аз Для р-го явления соотношения (138), '(139) и (140) также справедливы, а система дифференциальных уравнений (147), (148) и (149) тождественна системе уравнений (150); (151) и (152) для исходного явления. Следовательно, соотношения (157) будут справедливы также в области г з р-го явления. Отсюда можно сделать заключение, что в точках областей Г, и $'з исходного и р-го явлений, определенных соотношениями хм = с;з хп (сходственные точки области Гь и т'з), в моменты времени, когда т„=с, т (сходственные моменты з 'з времени), справедливы соотношения (157).
Эти соотношения и показывают справедливость теоремы М. В. Кирпичева для случая движения несжимаемой жидкости по описанным выше каналам. Напишем уравнение изотермического установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости для рассмотренной группы подобных явлений в векторной форме в случае, когда действием объемной силы можно пренебречь. ИРз 1 -э — — — йтай рз + чз~1тзз "'з за Это уравнение, определяющее р-ое явление, равносильно трем скалярным: ~Ю Для исходного явления будем иметь: Так как рассматриваемые явления составляют группу подобных явлений, то уравнение (158) может быть представлено в виде: ЙР21 1 1 дРр д'~Ы вЂ” + Чт — . (160) д~, с ст р, дх21 2 дсэ 'э ~аэ и Иэ сравнения уравнений.
(159) и (160) получим: 1 дрс др с с2 дэ21 д М РЭ ьа или, производя интегрирование: Рэ — =.р +К с ет 'В ьз где Ь' — произвольная функция. Иэ единичного преобразования находим: Следовательно Рэ 2 =Рт с с 'э ~ж т.
е. с =с с2 аз мзз' или е =* 1. с с2 эс мьа В инвариантной форме это зависимое обусловливающее уравнение можно записать так: — = 1ят. РВ Рэ и'ьэ Рассмотрим теперь неизотермическое, неустановившееся движение сжимаемой жидкости в описанных выше каналах. Это движение определяется системой дифференциальных уравнений (5), (19), (66),'(1'т) и (12), причем около каждой обозначающей ту или иную величину, входящую му, следует поставить индекс (3. казанной системе уравнений необходимо присоединить я однозначности, куда, как известно, входят следую- нные: ометрическая характеристика областей, в которых я движение вязкой ипщкости.
дание величин физических констант, входящих ляющую систему уравнений. Эти величины задаются ми (37), причем около букв, входящих в состав этих следует поставить индекс р. чальные условия формулируем равенствами; )ж 1 ° х ~аз 1 теьз (~4 ' хзз> хзз)р 1 з ~Тз~ =Т (х,з, язз, я ). 'з ничные условия определяем следующим образом: жьз = тв (явь язз язз тз) ) для входного Т Т ( ) / сечения 63!з.
огичные выражения следует написать для выходного изз. твердой поверхности Я„з, температуру которой бутать всюду постоянной и равной Т„з, иа основании ы прилнпания можно положить: ем без доказательства, что формулированные нами однозначности действительно определяют одно един- значение для каждой из искомых функций, входя- ассматрнваемую дифференцйальную систему. Пусть рассматриваемое множество явлений составляет группу подобных явлений. Тогда к нему применима вторая теорема подобия. Выше было показано, что уравнение (67) дает два инварианта подобия: хзв хзв — 1пт; — = пн.
х ' з На основании второй теоремы подобия можно утверждать: (161) Так как выражения, стояшие в круглых скобках уравнения (161), являются инвариантами, т. е, они имеют для группы подобных явлений одно и то же числовое значение, то индекс р в этом уравнении можно опустить и написать (162) Отсюда следует, что'"уравнение поверхности Я,з (130) для группы подобных явлений должно быть однородным первого измерения. Уравнение неразрывности (Ь) совместно с уравнением (130) дают инварианты подобия: е 1в ~в, мзв савв ззв ззв — = 1лт.
— = 1пт; — = 1вт; — в = ни~; — В = 1ач. взв язв ' езв ' ззв ' х „ На основании второй теоремы подобия можно написать: (163) где Нз = — — инвариант й'1'С хз Аналогичным способом гамохронно от и. иэ системы уравнений (66) полу- о Вз ~'в "'й "'в зз *1 ~ Лс, —,—,—,—,— ',— *)=0, "'г еЪ *з *з (Й = 1, 2, 3) (164) ЧЧ где йдд Рг= †' — инвариант подобия Фруда, Рдйд Ле= — — инвариант подобия Рейнольдса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
