Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 7
Текст из файла (страница 7)
-+ л Рассмохрим поверхностный интеграл ~ соз (и, ха) а(Яа вп Он представляет собою площадь проекции поверхности Яы на плоскость, перпендикулярную к оси х;. То же можно сказать относительно поверхностного интеграла ~ сов (п, ха) а(Я. Так как поверхность Я замкнута, то площади обеих проекций равны между собой. Обозначим площадь проекции поверхности Ю на плоскость перпендикулярную к оси хо через Я а Тогда уравнение (ИЗ) перенишется так: Рассмотрим величины, входящие в состав безразмерных комплексов уравнения (115). Осредненные значения величин ио 8 и ТП не могут быть вычислены при помощи формул (108), (109) и (110), так как функции У и ее производные в области г остаются неизвестными. Осредненное значение функции У в начальный момент времени, а также осредненные значения этой функции на поверхности Ю вычисляются при помощи начального и граничного условий.
Значение Г,, условиями однозначности рассматриваемой задачи не определяется и является искомой величиной. Представим величины эо р и ТП в виде следующих выражений: — а. и.= — иэо "о' ТП = ц ТоП~> — т~~ — ц О ~> тле Яэо К, и ТэУ, — известные числовые значениЯ этих величин в произвольно выбранных точках поверхности Ю, отнесенные к произвольно выбранному моменту времени, т. При помощи укаэанных выражений уравнение (115) переписывается следующим образом: =0 (1=1,2, 3), (117) или В~ьП;+ 1=0 (А=1, 2, ...), (118) 61 где 3» — отношени(Э неизвестного числового значения э-той осредненной величины к ее известному производьно'- выбранному числовому значению, т» — число, равное 1 или — 1„ П; — 1-тый безразмерный комплекс, составленный из иэ" вестных значений величин, входящих в уравнение (103).
Формула (117) отличается от общей формулы (102) тем, что имеет вполне конкретную математическую структуру. Если условия рассмотренной задачи таковы, что можно положить: 3» = сопзс» (й = 1, 2, ...); (119) то формула (117) дает конкретную зависимость между инвариантами подобия. Если условия (119) нет, то формула (17) превращается в общую формулу второй теоремы подобия: ф,(п„п„...; з„з„...) =0. Последнюю формулу можно было бы получить при помощи общего метода определения зависимости между энвариантами подобия, которые дает дифференциальное уравнение (103). Т. ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИИ Третья теорема подобия устанавливает достаточные условия подобия заданного множества явлений.
Впервые проф. В. Л. Кнрпичев формулировал и дока-' зал третью теорему подобия для упругих явлений. ы Он установил, что ч... два тела, сделанные из одного и: того же материала, которые были подобны до приложения к: ким внешних сил, остаются подобными и после действия их, если силы распределены подобным образом по поверхностям обоих тел, а величины соответствующих сил на единицу поверхности одинаковы в обоих телах». Доказательство проф.
В. Л. Кнрпичева основывается на. гомотетическом анализе дифференциальных уравнений упругости (анализ дифференциальных уравнений с помощью общей методики теории подобия), относящихся к объему и поверхности двух геометрически подобных тел. В общем виде третья теорема подобия была высказана, как предположение, М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом. 'а. Доказательство третьей теоремы подобия, основанное на логическом анализе условий подобия двух явлений, было дано академиком М.
В. Кирпичевым. " В. Л. Кири и чеа. О подобии приупругих нвленинх. Журн. Русск. физико-хинич. общ., т. т'1, 1374. ы М. В. Кирпичеа и А. А. Гухман. Приложение теорви по добин к опыту. Труды Ленинград. обл. теплотехн, ии-та (ЛОТИ), вып. 1, 1931. ы М. В. Кирпичев. Моделирование тепловых устройств, Иав, ЭНИЦ АН СССР, т. 1, 1933. Рассмотрим третью теорему подобия, исходя из основных представлений о непрерывных группах преобразований. Возьмем множество явлений, число которых обозначим через Х. Пусть каждое из этих явлений состоит в изменении п величия х1р,..., х„р, где р = 1, 2,..., Х. Наждый из процессов изменения этих величин протекает в областное, ! ограниченной замкнутой поверхностью ор, и определяется дифференциальным уравнением (120) Р(х1р, хтр,..., х„цз) = О.
Предположим, что нам даны условия однозначности, которые позволяют для каждого явления найти одно единственное решение дифференциального уравнения (120), называемое его частным интегралом. Определим достаточные условия того, чтобы данное множество явлений составляло подобную группу преобразований. Возьмем исходное явление, для которого р 1.
Допустим, что из величин х1р, хтр,..., х„р, где Р = 1, 2,.... ,..., Ф, р первых величин образуют подобную группу преобразований, т. е. для числовых значений этих величин в области Ур и на поверхности Яр справедливы соотношения: хср = сррх „ (121) хзр = стр хтр или им эквивалентные: х„= *1р срр (122) В основных уравнениях математической физики такими величинами могут быть переменные координаты точек и фи- 64 зические константы, входящие в состав дифференциального уравнения, определяющего рассматриваемое явление.
Пусть величины, входящие в условия однозначности для рассматриваемого множества явлений, образуют подобную группу преобразований. Это значит, что в условиях однозначности, помимо соотношений (121), возможны также следующие соотношения: х .~ц з = сч+ц з хц+ц ~, ) (123) хвз = сиз хы или им эквивалентные: хт+ц 1 = *ч+», з 'а+к э (124) х„~ =— ~аз сиз Величины х~з...., хзз, а также хч+ц з,..., х„з, взятые в условиях однозначности, не могут быть выбраны произвольно. Они должны удовлетворять уравнению (120) или ему эквивалентному.
Выберем константы преобразования сзз,..., с„з для величин, входящих в условия однозначности, так, чтобы уравнение (120) оставалось инвариантным по отношению к преобразованиям (121) и (123), Этот выбор возможен только в случае, когда будут удовлетворены (л — Ь вЂ” 1) обусловливающих уравнений (92), т. е. в случае, когда (и — й — 1) инвариантов подобной группы преобразований П, Пз,..., которую допускает дифференциальное уравнение (120), будут иметь одно и то же числовое значение. Из сравнения дифференциального уравнения (120) для исходного явления и такого же уравнения для р-го явления, в которое подставлены вместо величин х~з...., х„з их соответствующие выражения (121) и (123), убедимся, что (л — й)-ое будет также удовлетворяться.
З кэрэачев и новаков 66 Величины х ец р,..., х„р, входящие в дифференциальное уравнение (120), взятые вне условий однозначности, представим в следующем видар ар+к р х,+к р= се+к р — ' ~'ч+ц р (125) вщ$ х„р = с„р —. рвр Ю(хнах „..., х„~) = О. Напишем дифференциальное уравнение (120) для исходного явления: (126) Для р-го явления при соотношениях (121) и (125) и системе уравнений (92) уравнение (120) примет форму; ар+к р *пр1 ар+и р 'ар! (127) где р= 1,2,...,Л.
Предположим, что решение рассматриваемого дифферен циального уравнения существует и мы нашли частный интеграл дифференциального уравнения (126) для исходного явления. Условия однозначности 'для этого явления делают найденный интеграл единственным, Для р-го явления мы имеем тождественное с исходным явлением дифференциальное уравнение (127) и тождественные условия однозначности (122) и (124). Вследствие этого функции р+ ' р > ° ° — — "р будут также удовлетворять дифференсч+цр ' р циальному уравнению (126), отождествляясь с хр+ц р,..., х„~ в,условиях однозначности.
Так как частный интеграл для исходного явления может иметь только одно единственное значение, то в любои точке области У будем иметь: зи сс+1, В (128) хср хх1— схр т. е. два множества величин хр+с,р,...,х„1 и р+пв,... с+р в' хср ..., — будут тождественны, если всюду тождественны мно' ' ' ' схр *ш .
ха в жества величин'х „...,хс1 и — ° ° ° с — и справедливы в с1В срр условиях однозначности соотношения (124). Для' р-го явления соотношения (122) и (124) также справедливы, а дифференциальное уравнение для этого явления (127) тождественно дифференциальному уравнению для исходного явления (126). Следовательно, соотношения (128) будут также в точках области Ур р-го явления. Аотсюда можно сделать заключение, что в точках областей К, и Ув исходного и р-го явлений, определяемых соотношениями (121), имеют место соотношения (128). Эти соотношения переписываем так: хс+ц р = сс+1 р хс+ц ~, (129) х„р = с„рх„п Соотношения (129) показывают, что взятое нами множество явлений при сделанных выше предположениях представляет собою подобную группу преобразований. Получсарный результат можно формулировать в виде следующего предложения: Множество явлений, определяемых заданными дифференциальным уравнением и условиями однозначности, составляет подобную (непрерывную) группу преобразований, если величины, входящие в условия однозначности, составляют подобную (непрерывную) группу преобразований, а инва- 67 рианты этой группы, определенные заданным дифференциальным уравнением и составленные из указанных величин, имеют одно и то же числовое значение.
Это предложение и является третьей теоремой подобия, которую мы будем также называть обобщенной теоремой академика М. В. Кирпичева. Выполненный нами анализ показывает, что теорема М. В. Кирпичева предполагает знание условий однозначности, которые нужно присоединить к заданному дифференциальному уравнению для определения его единственного решения. Очевидно, нельзя формулировать условия однозначности в общем виде — они должны быть увязаны с конкретной математической структурой -данного дифференциального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
