Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Определим функцию ~(хыха,...,х„), которая удовлетворяла бы уравнению 1'(сахысзха,...,с„х„)=щ(с„...,са)1(хы...,х„), (78) где ы (сы..., са) — заданная функция величин сы..., сю и между величинами сы..., сю..., с„даны следующие зависимости: па+1 = па+1 (сы ° ° ° Ф са)~ 1 (79) с„= е„(см..., са) . Если х„..., х„, х„~~ являются некоторыми физическими величинами и равенством Ха+1 = ~ (Хы..., Х„) выражаетсн зависимость х„+1 от х, хз,..., х„> то функция "А. Фа дерман.
0 некоторых общих методах интегрирования уразкевий с частными производными первого порядка. Изв. СПб Политехп. и-та, 1911, т. ХЧ1, аып. 1. у, = с, х,; у, = с, х„...; у„= с„х„. Тогда 1 (у„у„..., у„) = сс (е„..., сс) 1 (х„..., х„). (80) Из этого равенства получаем: д1 а1 е; — =м— ' дус дх; (81) и д1 д1 дЪ+ д1 дс„д~ д х;+ — хе+1 — +... + — х„.— "= — 1, (82) адс+1 ас ' ' ' ад„"'ас, асс ' ' где 1' = 1, 2,...., й. Подставляя выражения для — иа (81) в (82), будем а1 двс иметь: ы д1 е асс+~ — х; — + —— ст ~ дх~ сз+~ дед д1 х дсх д1 ха+~ а х + ..
+ — — хх — = .дхз+$ ' .с д9 хдх— (831 Введем обозначения: )п 1 = ф Ь сс = Ф, 1л х = с, )и е = с. Тогда уравнение (83) представится в следующем виде.- дф асЗ+1 дэ дсс дсп дф + +....+ " — "= —. (8Ч, а~ а д(„+, ''' д, а~„ а ~ ' Пусть асс+1 дех — = сь а+1 ,аф д дф дсс дас 1(хп...,х„) удовлетворяет уравнению указанного вида. ! Введем обозначения: При этих обоаначениях уравнения (84) перепишутся так: дэ , дт д, +ак»+!д, + '+а!.-д, =Ф.
»+» о до дф дэ — + ат»~.» — +... + ат „— = ф», д1» ' д4»+» (85) — + о»,»Е» — +. х. + а»,о — += ф». до дт ' до дц»+, ' '' ° дт.„ Предположим, что имеется равенство: д=Ф,5,+Ч 1,+ +(.с»+ФЯ. В.,",1.) (86) дФ дФ - дф д» вЂ” + а,,»+1д» +... +оп„д» вЂ” — О, »+~ ' и дФ дФ дФ вЂ” + а», »~ ~ — +... + а» „— = О, до» ' д~»+~ ' ' . '" д~„ (87) дФ дФ дФ вЂ” +а», ».~» — +... + а»,о — — — О. д$» ' д~»+~ ' ' ' ' ' д$ Решая эту систему, найдем ее и — Ь интегралов: 1»+г — акщ.»со — ат,»~- $» — ° ° ° ° — а»,»~: ~» = = 1п х»+; — ак»+» 1п х, —... — а»»чл 1п х» = =1п чо»~; ~к».»» ~», »+» ' х, ' х» ' ...к» 1 = 1, 2,...., и — о'. Отсюда д»+» рА»+1'' ' а1~~ ~»о где Π— произвольная Функция.
-42 Тогда Функция Ф(сп..., $ ) удовлетворяет системе урав пений~ Так как то х„+ а э ''* "0~ а1,1+1... ма+1' ''' а1,, аа,а ~Х, ' ''Хх ' Х, ° ° .ХХ Так как ф=1п1а, а *1пс, то: о> = Мс("1 ° с'"... с™а 2 ''' й с„М„с, 'а...сх 1п ~ = ф, 1п х, + ф 1п х, +... + фа 1п ха +1п 0, Функция ~ не должна эависеть от с„с„..., с„, поэтому: ф1 = — = т1 (1 = 1,12,..., Ь). д 1+1 дав+1 а1, а+1 = — = т1, 1+ь ° ° ° ах, 1+1 = — = та, 1+ь дас. ' ''' '' даа даа да„ а1,„= — „" =т1 „,..., ах„= —" =та, да, дах где т с индексами явля1отся постоянными величинами Иа равенства (89) получаем: ф = т1а~+...
+ тхаа + т, ах+1 = т, 1+1а1 +... + тд ае1ах + таем а„= т1 аа1 +... тх, ах + 1П„ са+1 = Мх~тс1 ' "+1... сх " "+ где М и М с индексами — постоянные величины (89) ,1 1 1 1 ! ао1 и Для функции ~ получаем выражение: ~=ха *ха ~... ха а Х ха+а х хм а а+1 хв"а а+~ хв~1 в ~ва, А Равенство (80) дает возможность написать уравнение: с Ма+~ха+~ х'"1, а+1...
х™а, а+1 хвЧ, в... х~%, в ха ' ° ° ° ха Если положить ха+1 х~1 "+1... х~а» «+1 хв хвч. в...хна, в = т)в1 $ ' ''' а то для определения функции 0 получим уравнение: 0 (Ма+ма+и ° МвЪ) = М0 (т)а+о ° ° Ъ). Мы опять пришли к той задаче, которую формули ранее, но уже более простой, так как число пером теперь равно л — Ь. Положим: М„+,— М„,—...— М„=М=4. В этом случае уравнение (91) превращается в тоящ и функция 0 становится произвольной. Заметим ещ при й = н функция 0 обращается в постоянную и мы иметь: схГ~ахз а х Изложенное выше позволяет формулировать следу теорему, которую будем называть теоремой Федерман 44 Функция у(х„..., х„) может удовлетворять уравнению у (с«хм с«х«~, .
~ сдхд) -«е (см, э с«) ~ (хм ° ° г х«)~ где е«(с,..., с«) — заданная функция величин с„..., с«и с««« ~аа с«,ь«(см... р с«)> с„=с (с,..., с«) только в том случае, если с«е« =. М«<.«с« '«+"вз'"+' .. с«' "+' се М с7'"с7'" ° ° ° с«" ".
о«(с«,..., с«) Мс««сз т... с««, где буквы М и т с индексами означают постоянные величины. Если предыдущие условия выполнены, то е'«П«+«...с««,«+« ' ' ' с~~ч,«...с~«,« где функция 0 определяется из уравнения: 0(М«+«т)«+о М Ъ) = М0И«+м ° °, 'Ъ) в котором ~«чз с~к «+$... ~~«, «+' (1=1, 2,..., и — й). Если М«+« = М«+т =... = М« — М 1 то функция 0 становится произвольной. Если й = я, то функция 0 обращается в постоянную.
Из теоремы Федермана вторая теорема подобия для конечных уравнений выводится следующим образом. Возьмем н + 1 физических величин х„х«,..., х„, х„~.м из которых первые Ь величин нвляются первичными, а остальные я — й+1 — вторичными. 45 Предположим, что мы имеем основания полагать наличие зависимости: хп.1.! = /(х„..., х„) или Ф(х1,..., х„, х„+1) = О. Потребуем, чтобы вид написанных соотношеннй не зависел от величин первичных единиц измерения (это требова-- ние является весьма существенным), т. е.
потребуем, чтобы ! (С!ХМ ° ° Спип) = Сп+!! (Х1 ° ° ° Хп) где с„..., с„— постоянные числа, для которых справедливы соотношения: Сп+! =* С! ' "+'... СЬ " "+' (92у На основании теоремы Федермана можно нанисатьл ха+1 хп Х,„+! = Х! ' ... Х! " 0 т! ь+! п~п Ь+! ' ' ' ' п|1 и хтдп с х1 ' . хь х! ' ° ° . Ь Соотношения (92) показывают, что каждое из выражений, заключенных в- квадратные скобки, а также отношение являются безразмерными комплексами. х~1...х~п 1 - ° Ь Отсюда Х1П1 ~~1 ~ ха!.
!+1... х~А. !+1 х~! и'... х~й,п *1 . хь или т. е. функциональную зависимость между физическими величинами х„..., х„+! можно представить в критериальной 46 форме. Теорему Федермана использовала в своих работах Афанасьева-Эренфест. 'з Развивая теорию условно-гомогенных функций, Афанасьева-Эренфест обобп1арт теорему Федермана на случай, когда, кроме физических'величин х„..., х„, даны их частные значения х,п,..., хс ° ' П-теорема для этого случагг пишется указанным автором в следующем виде: р *+! ° *- *"' """1= О. (9З> вшг, В.1.1 шь, В.1-1 ~" 1вг, и и"'и, в тг в / .
Для этого обобщения в рассматриваемых работах не приводится исчерпывающих обоснований. За последние годы не появлялось теоретических работ, связанных со второй теоремой подобия, хотя эта теорема попрежнему широко применяется во всех случаях обработки данных экспериментального научения тепловых и гидродииамических, явлений. Сделанный лами обзор показывает, ' что вторая теорема, подобия доказана для п физических величин, удовлетворяющих конечному уравнеггию. Если этн величины удовлетворяют дифференциальному уравнению и условиям однозначности, то возможность представления 2акой дифференциальной системы в инвариантной форме нельзя считатьдоказанной.
Ниже мы даем более общее доказательство второй теоремы подобия, исходя из уравнений, которым удовлетворяют инварианты непрерывной группы преобразований. 'в Возьмем л переменных величин хг', хв'... ° . х„'. Предположим, что в пространственной области !г, ограниченной замкнутой поверхностью Ю, рти величины удовлетворяют дифференциальному уравнению: Ю(хг', х,'..., х„') = О. (94! "См. сноску нв стр. 29, в также: Т. Е!ггспгсвв-А!впав',в!си'и. 01шспв1опв! Апв!уз!в впб в!гс ТЬеогу о! 21ш1!1спдс. РЫ1оворЫ- св1 Мвдвв!пс, Липпису, 1925. гв Н. К.
К оников. О второй теореме подобия. Изв. АН СССР, ' Отн,.22! 2, 1949. 47 Докажем, что общий интеграл уравнения (97) для непрерывной группы преобразований может быть представлен в виде зависимости между инвариантами этой группы, определяемыми из указанного уравнения. Чтобы не осложнять доказательства, рассмотрим случай подобной группы 'преобразований, которая, как указывалось выше, определяется соотношениями: х =с,х; (ю=1, 2,..., л), (95) где с~ — произвольные параметры.
Предположим, что уравнение (94) допускает подобную группу преобразований (95). Это значит, что после замены переменных хь' переменными с;х~ уравнение (94) превращается в уравнение, тождественное прежнему, т. е. Р(х,', х,',.... х„')= — Р(х„х,,..., х„) =О. (96) Тождество (96) невозможно при ' произвольном выборе параметров преобразования с;. Математическая структура дифференциального уравнения 494) накладываеу на выбор величин с~ определенные ограничения, которые формулируются в виде обусловливающих уравнений.
Предположим, что тождество (96) возможно при наличии системы обусловливающих уравнений (92): сь~.~ с1 ь ь+зсз к а+1 с7ь ь+~ с„=* с1$ псз т в... сГь и. Допустим, что конечное уравнение определяет функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению (94). Тогда конечное уравнение Р (х,, хз, ..., х„) = О будет определять функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению." Р (х„х...
х„) = О. Но функции Р(х,', ..., х„') и Р(х„..., х„) отличаются только обозначениями входящих в них величин и поэтому должны считаться тождественными, т. е. Р(х,',..., х„')=Р(х„..., х„). Иначе говоря, функция Р является инвариантом подобной группы преобразований. Из изложенного следует, что для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения (94) необходимо найти инвариант подобной группы преобразований, удовлетворяющий системе обусловливающих уравнений (92), и приравнять его нулю.
Так как числовое значение инварианта Р не зависит от числового значения любого из параметров с;, то функция Р должва удовлетворять системе дифференциальных уравнений с частными проиэводнымн первого порядка, аналогичной (60): дд дР д., дР дх„ — + + + дс, д,' дс, дх„дсе др д'„, дУ дх ' + в+1 Π—,с — — +" + —,—— дхь+с дс дх„' дс дд дР дх, дк дх,' + + + дев дхе' дс„ дх„ дев + дд' дх„'+, дй дх„' О два+1 дс дх ' дс дР дЕ дс, дс дев др дев д,„+, д,,д,„+, + дс,дс,+, дР дР дс,, др дса 1 ) . и два+ дсС дсь+т дсэ дсь+З + + дев дев+1 ' ду дев +'' + е дев дои+э ' (98) Кариачев и Коиаиов 49 Система обусловливающих уравнений (97) показывает, что параметры сьес,..., с„являются функциями параметров см ..., сь.
Вследствие этого дР дР де, дР де дР де» де де! де„де» де де» де дР дх ' дР дх»+! дР дх ' 1 +, "+' + ° ° ° + — —" — О, дх! де! дх!,+! де! дх ' де! дР дхе' дР дх»+! дР дх„' +, — + + — —" — О, дхе' де» дх» ! де дх„' де» (99) дР дх»' дР дх»+! дР дх„' — — + — + ° + — —" — О д. „де» дх»' де„ дх»+! де» Эту систему можно решить способом последовательного интегрирования. Первое уравнение системы (99) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений: дх; дх»+! д, д„'+, ! дх»+з де, дх ' де! Решим уравнение: Ь1' гх»+! дх!' дх»+! д.; д, Учитывая соотношения (9Ь) и первое уравнение системь» (93), перепишем его так: е! !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
