Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 6
Текст из файла (страница 6)
»+! ет 2. »+! е»»»+! Их»+! Ых, е х т -! т Фй хе!»+! е! !. »+! ет 2. »+! е»», »+! х»е ! Уравнения (98) дают возможность сделать вывод о том, что последние и — й уравнений системы (97) являются следствием первых й уравнений этой системы. Так как параметры с, с,..., е» вЂ” независимы, то систему уравнений (97) можно переписать следующим образом: / Производя интегрирование, будем иметь: х, 1,А+1 Аналогично. получим другие интегралы системы (90): У1,т= ) . Ун -х= Введем новые независимые переменные: в следующем виде: ду др дх' дР дв1 1 — ', + дх1' дх ' дх1' ду~ ~ дх1' дзпз .
дх' дз~, -ь + + ''+ ду1 з дх1 дз1 Ь дхз дх ду1 ь дя дя дх, др дд,, ', + дх ' дх~' дх ' дт1 1 дх„' дтн -Ь дхх Тогда первое уравнение системы ~99) перепишется так: дэ' дд, х „дх,' + + дх, ) дх, дт1, х — 4 дР дх,' дР двз „ь дх„' + ° + + ( 0 дхх' дх дтЮ, — Ь дхх ) дс, или дФ дх, дх„' "+ дхх' дх„'~ 4х дх, (д, дс, Эти переменные исключают первое уравненке системы (~9), обращая его тождественно в нуль. Чтобы зто показать, представим частные производные дР дР дР ' дхь+$ дхх дР Г ду! „ь дх!' ьдх ) О + дх,' дс + + дх„' дсс д Так как дхе' дх~' дхе' дх ' дхс' дх! де, ' ' ' дх„де, де, 'ду! Ь дх,' ду! в а дхе' дуе,е-з де+'+ д„' д, д, дд дхс дд ду! ! дег ду! ь +, ' + ° ° + —, '" =О. дхе д6 ду! ! де! ду» в з де Производная — тождественно равна нулю, так как х дхс' с дс! не зависит от е,.
ду!, ! ду!, з- дус, ь дс, ' дс! ' '' ' дс Любая из производных тождественно равна нулю. ду',, Покажем, например, что — ' = О. Производя дифферендс! пирование, получим: ду! ! — =(т! ь(.! с, '"+! сз ~.ь+' с! " +'х~.~.сх,' .' +' дс! — тсду!х ' '"+! 'х е'"'"+'е"'з ь+! с еь,!ах„,) Зс ! ь+!с Так как х = — ', то выражение, стоящее в круглых е! скобках, тождественно обращается в нуль. Переписываем второе уравнение системы (99) следующим образом: д!г д. „др ду',, —,— + —, — '+ дхе дее ду дсс 1,! + д!с д У'"" О ду! „ь дее 52 то первое уравнение системы (99) принимает следующий вид: Нхаа ду1 1 д У, -а дса дх2 ду,к дс дс Решим уравнение дха ду1,1 дха' ду!,1 дса дса Соотношения (95) и система (92) позволяют переписать это уравнение следующим образом: с 1, 2+1 с 2. ас+1 с ю 2+1 ду11 Иха с1 1;а+1 Са — *= '7 ха ва ав -1 ав с1 1.2+1 хаа 2+1 сз 2 2+1 са 2.2+1 У1 1 с 1.
2+1 Производя интегрирование, будем иметьа Уа *2+1 ав х ав хт 2. 2+у- х1 1. 2+1 хз 2, 2+1 Аналогично получим другие интегралы системы (99): ха+2 хв У2,2 = 'уа, -ахв х 1.2+2 хз 2.т+2 х1 1 в.х2 2.в Указанным способом можно проинтегрировать все уравнения системы (99). В результате получаются следующие частные интегралы атой системы: ха У». 1 — т,в ав ха 1 2+1 аз 2 2+1 ха 1.2+1 *2+2 х'а 2— ва 1.
2+2 Х 2. а+2 Ха а, а+2 Это уравнение зквнвалентно системе обыкновенных диффе- ренциальных уравнений: ха Ух»! а т т х1 1,»х2 2.» хд й.» Общий интеграл Р системы (99) моя!но представить в виде произвольной функции от полученных частных интегралов: г. 2+1 » Р=Ь 1» ~ ф 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ а к и ! х 1,2+1» 2,2+1 х ма+1 Х 1»х 2» х„ц» 1» »1 1» тЛ т Функция Р и будет инвариантом подобной группы преобразований, которую допускает уравнение (94) при наличии системы обусловливающих, уравнений (92).
Приравнивая указанный инвариант нулю ха+1 < х» ') =о 1 1 учим общий интеграл диифференциального 'уравнепол ния (94). Полученные частные' интегралы системы уравнений (99) можно комбинировать между собою,. например, разделить или умножить их на какой-либо произвольно выбранный интеграл или определенную комбинацию произвольно-выбранных интегралов. Тогда произвольная функция от полученных таким обрааом комбинаций частных интегралов будет также общим интегралом системы уравнений (99), так как такая функция является в конечном счете произвольной функцией от полученных выше частных интегралов этой системы.
Пусть в области х' или на поверхности Я» ограничивают щей эту область, заданы числовые аначения переменных х„х„..., х», которые, вообще говоря, могут относиться к рааличным точкам К или Я. Обозначим зти значения через ° ° ~ хаа жем, что для, однозначного о а дифференциального уравнения инвариантную зависимость между иавестными величинами иж ~аз~ ' ' ~оп д ( —,) д ( — ~,) д ( — т) Написанные равенства и, показывают, что отношения Р 1 д1 хв' Хв — — — действительно удевлетворяют уравненисс~ *от *ов ям (99), являясь их частными интегралами.
Но тогда можно утверждать, что общий интеграл дифференциального уравнения (94) в случае, когда заданы величины х„, и з, ..., хс„, может быть написан в следующей форме: П»+~ з ь,ь+~ е на ез.~ца *с~ '*сс/ Ю! Определим произвольную функцию ф так, чтобы ссв т Фй сев 1,...,1 т» т (101) ' 55 т < *за+~ т и ь+~ ь,ь+~ о~ : . .
сь *оа+~ < ФИ хе~ н а+1 хсь В, а+1 Предварительно заметим, чте отношения —, — „...,— сс~ *се *о или им равносильные —,, —,, ..., —, являются частнысо~ 'ст ми интегралами системы уравнений (99). Это следует из с~ х„ 1 того, что числовые значения отношений —,, ..., —, не за'О~ *Ов висят от числовых значений параметров с„сз, ..., с„. Следовательно Тогда частный интеграл дифферевц иального уравнения (94) удовлетворяющий соотношению (100), приобретает следующий вид: ",~ '. . . сэь (102) В этом уравнении функция ф„удовлетворяя равенству (101), уже не является произвольной функцией, а однозначно определяется известной фучкцией й. Формулы (100) и (102), к которым мы пришли в результате выполненного анализа, дают возможность формулировать следующую теорему: Общий интеграл дифференциального уравнения для подобной группы преобразований, которая допускается этим уравнением, может быть представлен в виде зависимости между инвариантами группы, определенными из заданного дифференциального уравнения.
Частный интеграл диффереяциального уравнения для подобной группы преобразований, которая допускается этим уравнением, может быть представлен в виде зависимости между инвариантами группы, определенными из заданного дифференциального уравнения, и симплексами, составленными из величин, входящих в дифференциальное уравнение, при ьем эта зависимость должна удовлетворять заданной зависимости между инвариантами группы, построенными из конкретных значений 'указанных величин. Формулированная нами теорема и является второй теоремой подобия.
6. ОСРЕДИЕНИЕ ИН'РЕРРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ При выводе формулы (102) мы предполагали, что величины х„...,х„удовлетворяют дифференциальному уравнению Р'(х„..., х„) = О. Конкретная математическая струк- Ф тура этого уравнения оставалась неизвестной. К этому уравнению предъявлялось единственное требование, которое.
заключалось в том, что из него можно получить систему обусловливающих уравнений (92). Справедливость второй теооремы подобия можно показать также для многих видов конкретных дифференциальных уравнений. Ниже мы показываем справедливость атой теоремы для дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. Распространение излагаемого нами метода на другие виды уравнений затруднений не представляет. Пусть дана пространственная область Р (см. фиг. 1), ограниченная замкнутой поверхностью Ю, уравнение которой в декартовых координатах х„ хз и хз имеет вид (35). Возьмем непрерывную и однозначную функцию У четырех независимых переменных: координат х„х„хз и времени т, удовлетворяющую в области Р линейному дифференциальному уравнению первого порядка: а; — +~3 — + уУ =0 (1=1, 2, 3), (103~ ац ап где ип р и у — известные непрерывные и однозначные функ- ции декартовых координат и времени. ьт Для начального момента времени т = 0 функция У определяется начальным условием: (Ю4) ) У ! =с = (~с(ха> хз> хз)> 'а на поверхности Я вЂ” граничным условием: Уе= Уе(х„хз, хз.
т). (ЮЬ) Требуется определить при помощи днфференциальногоуравнения (ЮЗ) и условий однозначности (104) и (105) общую функциональную зависимость'между величинами, входящими в рассматриваемое дифференциальное уравнение. Заметим, что уравнение (103) должно удовлетворять принципу размерной однородности, т. е. отдельные члены етого уравнения должны иметь одинаковую размерность.' Напишем уравнение (103) в интегральной форме: 1.~я; —, Л +11 ~р —, Л +~ 1т~уМу=О, Ъ т~ У >> У (1 = 1, 2, 3) (106) тде т,— фиксированный отрезок времени.
Если частные производные функции У знакопостоянны, то каждый из членов уравнения (106) можно преобразовать .при помощи теоремы о среднем значении: к> ~ йт ~ ~ >1К + 3 ~ дт ~ — И$'+ 7(7Ктз = О, (107) где ~1 ~«,~~~ П (Ю8) (109) т ~ д ~тгдУ уС7 = т, У (ИО) Так как дт ~ ~ дт — ~ дП где Г,, — значения функции У в области У, отнесенные и конечному моменту времени т . Применяя к уравнению (1О6) теорему М.
Рм- Остроградского, получим: и. ~ йт ~ Ц со8 (л х') оо + р ~ (У У ) еу + уУГт = О. т, 8 (И1) (в' = 1, 2, 3) ~л г л Фл а; ~ нт ~ Усов(л,х~)Ю вЂ” ~йт ~ асов(п, х;)Ы + еы +(11(и..— П,)аР+ ~у(~Г;=О У (И2) или применяя теорему о среднем значении: -+л (7ы ~ 1т ~, сов (и, х ) йБ + тт ззт Рте=О (1=1, 2, 3). ' (ИЗ) 59 -Э л Функции соз (л, х~) — знакопеременны, так как поверхность о" замкнута. Разделим поверхностные интегралы, входящие в состав уравнения (1И), на две части так, чтобы -т.л функции сов(п, х;) в каждой из частей не изменили своего анака.
Тогда уравнение (1И) можно переписать следующим образом: ан (уы — ум) охата+ 'р (Ä— у,) р'+ уИ~та = О. (а=1, 2, 3) (И4) Разделим обе части уравнения (114) на один из его членов, например на аа,'(Ум — 7Тз,)Юх,та. Тогда: 'аа(~~1$ ~~аз) ~х Щй ~~ ) а я Паа) ах та — + ~Р, — и )~„~~(п те7Г ха Я~ — ~аа) 8х, (Иб) Так как уравнение (ИЬ) удовлетворяет принципу размерной однородности, то каждый из членов зтого уравнения является безразмерным комплексом. Если уравнение (103) содержит л членов, то, очевидно, число полученных безразмерных комплексов равно п — 1. Обозначаябезразмерные комплексыуравнения(И5)через Ц, окончательно получим: а х — 1 ,а', П,'+1=О. аея (Иб) Здесь функции с индексами 11 и 2( относятся к той части поверхности Я, на которой соответствующие направляющие косинусы не изменяют своего анака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
