Кирпичёв М.В., Конаков П.К. Математические основы теории подобия (1124028), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Вследствие изложенного озим'.е (нс 28) 1, = — "; (д~ — 23)'. (207) Разделим обе части уравнения (207) на квадрат средней 87 (208) 'эа ЙР и,— тз оз= в~ ~ эаФ ь~е ~р Величину = можно выразить через коэффициент сопро-. эр~й тивления ~: 1 М Сг. эюа т ие Тогда оа =' = — ~1 — 2 — ~. — э=8~ и) (209) жз Решая уравнение (209) относительно =, получим В последующих вычислениях будем пренебрегать членами, В содержащими — в степени выше первой. 4Ц, Поэтому приближенно: = — ~/ — (( — г ).
(2%с 3 Определяя из этой формулы величину —, будем иметь: 4,' 1 А'е' (211) 4в М~' мз где й — 2 = У2оз †числов постоянная. Ю Уравнение движения граничного слоя имеет вид: дю д г г — "ат~~ — Ир ч ~~йт~ — - + — * сй~, (212) а ° ~ т, эь где У, — объем граничного слоя.
скорости движения 'потока а~э. После приведения результата деления к безразмерному виду получим: ! Применяя к этому уравнению теорему М. В. Остроградского,, будем иметь: 1 с г з — ~ 4т ~ Р сов(п, г) НЯ= ч ~ пт ~ — сов (п, т) ИЯ + дг та вв та вв с де> + ч ~ дт ~ * сов(п, г) >1о, дг (213) ,вв' , де>ч. Нт )~ — * сов (и, г) ~Ы = О. >Ь Я в Остальные члены уравнения (213) преобразованием при помощи теоремы о среднем значении: Ит~ Рсоа(п> г) ~Ы = — ЬР р (Ыв~ (Ыв 23)ч1>тв = 3'~ = — вЬРЗг( (1 — — ~т, дч ам, !да> ! 6т ~ д 'сов(п>г) ИЯ ~ д ~ т [Но (с(в 23)11отв= =2т ~ — '~ 31 т,. Вследствие этого уравнение (213) приобретает вид: — 3по (1 — 1 ) = — 2» ~ д ~ 31о. Разделим обе части этого уравнения на тзвв.
После простых преобразований получим: где те,— постоянная с размерностью скорости.-. где Ю' — поверхность граничного слоя. в Яа основании граничного условия (195) можно утверждатьг Для этой постоянной из рассматриваемых величии возможно составить только одно выражение, равное х„-, где х — числовая постоянняя. Позтому Далее, приближенно можно полагать: аг - з Это равенство дает возможность переписать уравнение (214) следующим образом: ' ЗР аа ~ З ' 2 а~ь~~е Раса аа Иа ~т ~См Подставляя в левую часть етого уравнения выражение для а~а, получающееся из формулы (210), будем иметь:. млн Приближенно: З 1 ваа, 1 'ее 1+ — = — — 1п — ' — 2~ 1п = — — 1п —.
+Йа 2даа ч еа и ййа~ х ' Учитывая формулу (2Н), получим: За 1 м4, 1 ма 1 1 2 — — ' — —.— 1п —" — — 1п = — — 1п— 21теа т 2Паа щ 2Фаа х 1 ус — = с,1цВе+ е . (215) где с и е — числовые постоянные. 30 / 1 — =1 3 1 —— <~а "'а ®а~в а~, к~ При помощи этой формулы были обработаны результаты измерений Никурадзе.тв На фиг. 3 эти измерения представлены к координатах — и 1я.
Ле. 9 Номографический анализ изображенного графика показы- Фиг. 3 вает, что опытные точки вполне удовлетворительно располагаются на прямой, имеющей уравнение: ' 1 У~ — = 1.818 Не — 1.5. (216) Для расчетов это уравнение может ',быть преобразовано в формулу: (217)- (1.8 13 Ве — 1.$) Определим пределы справедливости полученной нами формулы.
Из сопоставления формул (2.15) и (216) следует: — = 1.5йо+ 1 — 1.8йе18Нс. (218') ос гв 1. 1%1ангадве. 0евеввшаэвв131ге11еа аег сагЬа1еатеа Ягошаад 1а н1асееа ВоЪгеа. РогвсЬаадвйей 336, 1933. Русский пер. сн. гдробленм турбулентностив под род. М. Л. Великанова и Н. Т. Швейкоаского. ОНТИ, 1936 91 Формула ( 16), разумеется, будет справедливой только з в случае, когда — (»гладкий» режим движения жидкости) ее ».мч+» Соотношение (218) показывает, что — ) О. если Ве(10 з ее з При увеличении Ве величина — уменьшается. Прн Ве= е» = Ве„р (критическое.
значение числа Ве) эта величина равна нулю. Числовое значение Ве, р, очевидно, может быть подсчитано по формуле: $.ьм+» Ве„р — — 10 Константа й» зависит от шероховатости трубы и определяется опытным путем. Величина Ве р и является верхним пределом, при котором еще справедлива формула (216). При Ве >Ве„р (»шероховатый» режим движения "жидкости) формула уже не будет верной, так как в етом случае на основании (211) будет иметь: (219) Ь = Ь»» = сопз1.
Приведенные соображения хорошо иллюстрируются известным графиком Никурадзе для шероховатых труб. В опытах Никурадзе с гладкими трубами значение Ве = Ве„р не было достигнуто и определение й из зтих опытов невозмощно. Тем не менее Ве„для гладких труб существует, так как,козффициент ь, являясь мерой необратимого преобразования энергии движущейся жидкости, должен стремиться к некоторой постоянной величине, когда Ве-» ео. 9. ПРИНЦИП ПОДОБИИ В РАБОЧЕМ ПРОЦЕООЕ ТЕПЛОВЫХ МАШИН Теория подобия может быть с успехом применена к из'учению рабочего процесса тепловых машин.
Остановимся на некоторых вопросах термодинамического процесса паровозной машины. ге Основными характеристиками рабочего процесса паровозной машины являются среднее индикаторное давление пара рт и расход пара на один ход поршня и,. Отношение р1 к предельному избыточному давлению лара в котле ра обозначается буквой 4 и называется коэффициентом индикаторного давления.
Таким образом: Реп га Величины 4 и и, являются функциями многих независимых переменных, к которым относятся начальные параметры пара, основные размеры цилиндра и золотника, параметры рабочего режима машины и пр. Для данного типа паровоза величины 4 и и, определяются степенью наполнения цилиндра а и скоростью движения паровоза тп в км/ч. Числовые значения 4 н и, определяютсй из опыта. На основании полученных опытных данных строятся графики функпии 4=у(а, тп) и и, =ф(а, тп)..
'е Н. Н. Новаков. Опыт применении теории подобии к исследованию рабочего процесса паровой машины паровоза. Изв. АН СССР, ОТН, № 9, 1945. 93 и, зз ЮУ чВ -о ю.гал~юл~ою рр р г/мха//ивам в/эч/ч в Мм/ч Фэг. Ь Фвг. 5 При рассмотрении состояния пара в объеме ч' будем пренебрегать работой объемных сил и сил трения; э также величиной кинетической энергии пара. При этих допущениях рабочий процесс паровозной машины будет определяться,'следующими дифференциальными уравнениями: — +у йи те=О, > Ъ (220) т „— = А „— + йи (Х ягай Т), ' Ив Ыр (221) (222) -э т йм — — = — ягай р Ыт У т= р(р,т), (223) Па фиг. 4 и 5 эти графики построены для паровоза серик СО". Они представля)от собой семейства кривых с параметром з.
Возьмем паровую машину современного паровоза. Пусть в момент времени т поршень машины находится в положении, определяемом координатой з. Этому положению соответствуют объем'цилиндра ч' и его поверхность Я. где у = ар — удельный вес пара, 1 — теплосодержание пара прн постоянном давлении Укажем, что уравнение состояния (223) здесь дается в общем виде; а уравнения (221) и (222) получаются иэ уравнений (18) и (10), если учесть сделанные выше упрощающие предположения.
Уравнения (220), (221) и (222) можно написать в интегральной. форме, а затем предположить, что величины, входящие в эти уравнения, а также их производные по времени в любой точке объема К в заданный момент временитимеют постоянное значение. При.этих предположениях уравнение (220) приобретает внд: Кду + уйт ~ тв„ЫЯ = О. (224). Юу + у~Л~ — Ыи+ с(и = О.
Вводя обозначение-. Ии = и (уК), будем иметь: (225). ди = пиа + Ыи-' Уравнение (225) показывает, что количество свежего пара, которое поступает в цилиндр паровозной машины за вре-. мя Ыт, расходуется на увеличение веса пара, находящегося в цилиндре, и весовые утечки пара через неплотностн в различных соединениях цилиндра. Очевидно: "" ='(-') где з — удельный объем находящегося в цилиндре пара, Второй член левой части уравнения (224) складывается из количества Вара Ни, поступающего в цилиндр за время пт, количества пара уЛ', который расходуется на заполнение объема цилиндра с(У, и весовой утечки пара Нит за то жевремя Ыт.
Поэтому уравнение (224) можно переписать так= Сделанные выше упрощающие предположения дают возможность переписать уравнение (221) следующим образом: Ыи~, = Ы(иа1) + Ии ю'+ Андр+ эйтан„ТЯс(т, (226) где ( — теплосодержание свежего пара в золотниковой коробке. Если движение пара через паровое окно считать одномерным и адиабатическим, то из уравнения (222) получим известную формулу: те=а/2г —" р„о, ~1 — Д)" 1, (227) где тв — скорость движения нара, р, и э — давление и удельный объем свежего пара в золотниковой коробке. Возьмем множество паровозных машин, число которых обозначим через Л.
Используя формулу (227), перепишем уравнения (225) и (226) для р-ой машины в виде: (228) (Кз (~,(хз (.з=«~ — Ь + 1в„з(з+ 1е (229) + АУз с(рз + Лз йтай„Таас Итз (Р = 1,2,...Ж). В зтих уравнениях кусочно-гладкие функции Уз и 1„з определяются следующим образом. Для периода впуска пара: х-1 (1в = 2 а т Раз'ваз ~аз ~аь~ где р1з — коэффициент расхода парового тракта, соединяющего золотниковую коробку с паровым цилиндром, при впуске пара, зз — констРУктивный коэффиниенг сУжениЯ паРового окна, аз — линейное открытие парового окна, пз' — удельный объем поступающего в цилиндр пара, пз — диаметр цилиндрического золотника паровозной машины.
Для периода расширения: с7з = О; („з = О. Для периода выпуска: з — ! — 2К вЂ” Рзиз (,з=Ь~ где рдз — коэффициент расхода парового тракта прн выпуске пара, Р,з — давление отработавшего пара в золотникой коробке. Для периода сжатия: У)7авнения (228) и (229) определяют термодивамический процесс р-ой паровозной машины. Условия однозначности для этих уравнений формулируем так. 1. Паровозная машина с геометрической точки зрения характеризуется своими основными размерами. К этим разме рам следует отнести диаметр цилиндра Юз, ход поршня Ез, диаметр и ход золотника Нз и 1з, коэффициент вредного пространства паз и пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
