Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Возможны случаи, когда производится сопоставление нескольких опытов, относящихся к явлениям, между собой не подобным. В этом случае получится, очевидно, разброс точек, и пх не удается представить в виде одной кривой. Точно тпк же может окязаться, что результаты опытов с одним явлением пытаются перенести на другое, ошибочно принятое за подобное первому. В таком случае выводы пз опытов получится не отвечающими действительности.
Отсюда следует, что надо иметь способ определять, подобно ли исследованному явлению какое-нибудь другое явление, т. е. надо уметь распознавать подобие между явлениями, надо обладать знанием признаков подобия. Ответ на вопрос, подобны лп между собой явления, дает третья теорема подобия. Казалось бы, самый простой способ убедиться в подобии ~ явлений — это произвести непосредственное сравнение всех ~алички, входящих в оба явления. Но это означало бы, что надо снова повторить для второго явления те эксперименты, которые были проделаны уже для первого.
Тем самым была бы обесценена возможность переносить результаты, полу- ценные из опытов над первым явлением, не производя снова эксперимента, на второе явление. Поэтому надо знать, какое наименьшее количество измерений надо произвести для второго явления, чтобы установить подобие его с первым. Иначе говоря, надо уметь находить н е об ходим ы е и достаточные условия для установления факта существования подобия между явлениями. Такая постановка вопроса обратна той, которая ставиласв до спх пор. В то время как первые две теоремы исходили пз существования подобия, как заведомо известного факта, который наперед задан, третья теорема, наоборот, устанавливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу.
Как и первые две теоремы, третья теорема исходит из того, что явления протекают в геометрически подобных системах, что известны уравнения, которые связывпот между собой величины первого явления, и что эти уравнения связи отвечают также условиям существования неограниченного числа подобных первому явлению, т. е. возможно существование группы подобных явлений. Далее, критерии подобия для этой группы, которые могут быть выведены пз уравнении, согласно первой теореме, должны быть одинаковы для всей группы явлений, подобных первому.
Это первое явление мы считаем изученным и свойства его известными. Известны должны быть н его условия однозначности, которые выделянп это явление из всей группы ему подобных. Пусть имеется второе явление, подобие которого с первым мы должны установить. Раз оно принадлежит к той же группе подобных явлении, что н первое, то оно должно протекать в геометрически подобных системах и подчиняться тем же уравнениям, которые характеризуют первое явление.
Поэтому г ометрическое подобие систем и буквенная одинаковость уравнений связи есть первое необходимое условие для существования подобия. Поскольку речь идет об определенном явлении, должны быть известны условия однозначности, выделяющие его пэ группы. Назовем нх условпямп моновалентности явления. Эти условия, очевидно, такие же, что и у первого явления, но только численные значения величин, входящих в них, у второго явления иные.
Будем называть этп величины „моновалентпми" явления. Совершенно очевидно, что подобие моновалентов второго явления моновалентам первого необходимо для подобия пх между собою. Условия однозначности определяют поведение некоторой части системы, в которой протекает явление; следовательно, если в этой части уже нет подобия, то явления неподобны друг другу. Значит, подобие условий однозначности есть второе необходимое условие подобия.
Однако этих условий еще недостаточно, чтобы утверждать, что явления, подчиняющиеся пм, подобны. Как было показано, выбор констант подобия в подобных системах не произволен, их нельзя выбирать как попало, так как существуют обусловливающие равенства, или условия подобия, требующие, чтобы индикаторы подобия, полученные из уравнений связи, равнялигь единице.
Среди индикаторов рассматриваемой группы могут оказаться такие, которые составлены только иэ констант моно- валентов. Онп также должны быть, согласно первой теореме, равны единице. 2 Следовательно, равенство единице индикаторов подобия, составленных из констант величии, входящих в условия' однозначности, или моновалентов, есть еще одно условие, необходимое для существования подобия. Последнему тре- бовзиию отвечает равенство критериев, составленных из мон ,оновзлентов.
Такие критерии носят название моновплентных, „д, определяющих, так как инвар!шнтность их входит в ус- ловия, определяющие подобие явлений. Третья теорема утверждает, что добавление последнего ус, :словия к предыдущим достлточно для того, чтобы явления окззплись подобными. Пля доказательства этого представим себе, что имеется явление, названное выше первым, своиства которого известны, и дино явление, удовлетворяющее всем трем поставленным выше условиям. Нпзовем его вторым.
Покажем, что оно подобно первому, Выше было принято, что существует неогрпниченное число явлений, подобных первому. Все они имеют условия однознячностн, общие с первым, с той только разницей, что кюкдому подобному явлешпо отвс чают другие константы подобия. Значения этих констант могут быть выбраны са- нями рпзлпчными, при одном только ограничении, что со- ставленные из них индикаторы подобия равны единице. Из этого множества подобных явлений выберем одно тп- кое, у которого константы подобия для моновзлентов тожде- ственны со вторым явлением.
Тпкое, подобное первому явление, которое назовем треть- пк, очевидно, существует, так как констзнты подобия его моновалентов подчинены требованию равенства единице со- ставленного из них индикатора, а остальные, не входящие з условия однозначности константы, определяются нз условия рзвенствз единице остпльных индикаторов. Заметим, что п зти, не входящие в условие однознпчности констпнты полу- чпт одни определенные значения, так как в противном слу- чае мы бы пришли к выводу о возможности существования двух подобных явлений с одинаковыми условиями однозначности, а это означало бы, что условия однознпчности сформулированы неверно. Сравним между собою второе н третье явления. Условия однозначности у ипх тождественны.
Следова- тельно, они представляют собой одно и то же явление, так кяк не может быть разных явлений, имеющих одинаковые 47 условия однозначности. Но третье явление подобно первому Следовательно, подобно ему и второе явление. Таким образом, третья теорема подобия гласит: Подобны те явления, которые происходят в геометриче ка подобных системах, подчиняются одним и тем же уравне. киям связи, у которых моноваленты находятся в численно постоянном отношении и составленные из них критерии равны, Так как свойство подобных явлений состоит в том, ~та в природе существуюз только такие, критерии подобия ко. торых равны, то можно под подобием моновалентов понимать и постоянство отношений между ними, и равенства составленных пз этих величин критергиев.
В подобие моповалентов можно включить и геометрическое подобие спстгм. При таком расширенном толковании слова „подобие" величии третья теорема получает следующую формулировку: Подобны. гне ниленггн, ыоноваленгнм нолгорых ггодобггы, Заметим, что условия однозначности часто могут быть формулированы разнымп способами. При перемене форму.
лпровки „определяющими" станут другие критерии. Поэтому понятие определяющие критерии, т. е. критерии, инварггаггтность которых определяет существование подобия, не есть свойство, присущее определенным критериям. Выведем третью теорему другим способом. Предположим, что уравнения связи Р,(х„..., х„) == О ( "5) преобразованы к относительным критериальным единицам Тогда, по предыдущему, уравнения г'25) преобразуются такие; Р/(Хь..., Х„) = О.
(25/ х; В них Х, =-, где аг--избранные относительные едини ггг цы. Некоторые из величин Х,. содержат критериальные еди ницы измерения Х(гз ~! ° Для подобных явлений Л, = гЫет,..., Х„=- Ыегп,... Хг~) == Ыет. Присоединим к уравнениям (25) условия однозначности; ,:сть их моноваленты будут оо...,в,. Для уравнений (25') „щ примут вид -д =- 1~„Ыеш, а, — ' = 1~, =- 1бсш; а, ,де ао..., а, - соответственные относительные единицы. раковые могут быть выбраны пз самих моновалентов. Уравнения (25') одинаковы для всей группы подобных явлений.
Поэтому условия подобия моновалентов уравнений (25) превратятся в условия единственности решения (25'), е, их моновалентамп являются 1г„..., 1;. Иначе говоря, тля подобных явлений должно быть 1; = Ыеш,..., 1l = Ыет. (1Ц) Г,= Е~ нт.д., или откуда о, и" --, -- —, =-. г,. г~ л~ Среди величин Х1~~ могут оказаться такие, которые содер.кат только моноваленты. Так как Х~ =- Ыет, то .<и л'"" Х; =Х; или- <„у — -1, ри гак Х(Ф) С)м = 1. е. Сг — индикатор подобия, составленный только из константы ич чодобия моновалентов. з ~.. зиьоа фэ Это и есть у с л о в и е и о д о б и я явлений, описываемых 1равнеппями (25).
Из (Ш) следует Следовательно, выбор констант подобия моноваленто~ ограничен обусловлпвающим равенством С; ' =- 1. Выполнена~ (и этого требования выделяет реально существующие подобньи яв.тения, выраженные уравнениями (25'). Условие С,' = 1 равносильно условшо Л', =- 1бепь Итак <ы и) явления подобны, если их выраженные в относительны~ единицах моноваленты и моиовалентные критерии одина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
