Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это соображение имеет значение п для каналов сложных форм, хотя и в меньшей степени, поскольку в нпх сопротивление турбулентного ядра сильнее превалирует над вязкостным сопротивлением. Приведенные трп примера должны служить показателем того, что, кроме выводи уравнений связи и получения пз иих критериев, всокно ие терять из поля зрения физической з~,, ммз1 65 стороны явления и уметь, исходя из нее, надлежащим образол, применять теорию подобия к каждому конкретному случакх Рассмотрим еще один прилтер, который разбирает возмож.
ность моделирования не отдельного узла, а целого техниче. ского устройства. Поставим себе задачу смоделировать условия движения воды в открытых руслах: при переливе через плотины, в различных водостоках и т. п. Для нахождения условий подобия надо обратиться к только что выведенным уравнениям Навье-Стокса для усред- ненных скоростей, добавив к ним еще член рисова, где соза-- угол между направлением силы тяжести и осью ОХ, для проекции на ОЛ', и аналогичные члены к двум другим проекциям'. Индтткаторы подобия, выведенные из уравнения Навье- Стокса, будут следующие: После деления всех членов правой части на константы с с„, подобия — —, представляющие множитель левой части уравст пения, получим: с~с С, -- — к- =- 1, где С, получен из первого члена правой части, срс ,л сл Се — — -л- = 1 получен из второго члена правой части, сес,я — =- 1 получен из третьего иена 1вязкостный член), срстс С, — —, -- 1 (пульсационный ч.лен) также получен нз с„' третьего члена.
' В закрытых каналах в уравнении Навье-Стоксз можно объедпиюь член, представляющий объемные силы лп соя а с поверхностными сплаьи1 д,о . В самом деле, пола~ ая скорость равной нулю, получим статическое дл дро давление р, в некоторой точке кзиала ассояч —... Подставлнл это зиздх чение в уравнение Навье-Стокса, видим, что разность (р, — р) есть пьезо. метрическое давление, непосредственно показываемое волиным манометром на водяных моделях, на которых изучают сопротивление газового потоьа в газоходах котлов и печей. 66 Константы для всех пульсацнонных членов принимаем одиж,ковымн. Поскольку модель находится на земном шаре, то реальная возможность ограничивает выбор с единицей.
Если в „одели течет та же жидкость, что и в натуре, — вода, то с,, = 1 и сн —. 1. Остаются четыре величины констант сь ср, с и с-'~, связанные четырьмя уравнениями С„С,, С„С,. Из нпх получаем: (С,') = 1, (С,')-". = 1, (С,') с„, = 1. с~ с,„- Перемножая (С,') на (С,'), получим с — 1. Из (С„') следует, что с, —.— 1, из (С,'), что с„= 1, из (С4) что с 'х =- 1. Значит, в данном случае имеем тот частный случай, когда пба явления тождественны.
Таким образом, приходится исследовать саму натуру, так как уменьшение ее масштаба исказит подобие. Для того чтобы модель была меньше натуры, следовало выбрать для модели жидкость большей плотности, например ртуть, у которой плотность в 13,6 раза больше воды. Но ртуть имеет ряд недостатков: пары ее ядовиты, опа непрозрачна; ртутная модель требует прокачки через модель весьма значительных количеств ртути. Поэтому она мало пригодна для моделя. Изменение ускорения силы тяжести я' помещением модели водослпвэ на центрифугу трудно осуществимо. От обоих этих путей приходится отказаться.
Гораздо прогце и плодотворнее оказалось использование «рпближенной автомодельностп течения. Приближенное иоделнрование позволяет наблк>дать в модели с прозрачными стенками все ха(зактерные особенности течения через водо- слив и с вполне достаточной точностью определять потери напори от местных сопротивлений. Приближенное моделирование водой получило всеобщее 67 распространение и применяется во всех гидравлических лабораториях. Опыт показал, что значительное уменьшеннс натуры мало изменяет подобие в ней. Предел уменьшению ставит требование не понижать скорость ниже критической.
Для этого иногдп вводят аффинное преобразование, изменяя высоту в меньшей степени, чек ширину и длину кзнала. Последние трн примера показывпют тот путь, на который неизбежно должно было стать моделирование — переход к приближенному моделированию, когда осуществляется не точное подобие, а „похожесть" модели натуре. Оправданием такого направления в теории подобия слу. жит тот факт, что в эксперименте никогда не получшотся точные знпчения величин, а пх степень точности определяется совершенством измерительных приборов п условиями эксперн. ментзльной установки.
То же самое имеет место и прп теоретических исследованиях. Для решения технических задач большей чпстьк~ можно ограничиваться приближенным их решением Поэтому приближенное моделирование вполне отвечает целям исследования, если степень приближения к действительности находится в допустимых пределах.
С другой стороны, как показывает только что разобранный случай, приближенному моделированию оказываются доступнымя те области техники, которые точная теория подобия держала под запретом, Широкое распространение метода моделирования в технпкг обязано, главным образом, разработке приемов пргпблпженного моделпровзнпя.
Для того чтобы не перейти границы допустимого приближения, необходимо первое время контролировать степень расхождения модели с натурой. Поэтому распространение приближенного моделирования на новую область техники должно всегда сопровождаться подробным исследовпнпея одновременно и модели, и натуры и српвненпем полученных результатов. Указание на возможность отступать от тех пля иных условий подобия дается нсслсдовпнпем каждого пз нпх в отдельности.
бз Всякое исследование представляет собою целую серию „тдельных опытов, в которых та или иная величина получает ряд последовательных изменений, или, говоря языком теории подобия, оно есть переход от одного явления к другому, н е подобному ему. Часто можно установить, что такой последовательный переход от исследованного явления к смежному ему обна;>я>кивает чрезвычайно медленное изменение его отдельных свойств. Если зтп свойства составляют цель исследования, то вполне допустимо изучать их на смежных, не подобных глучанх явлений. Само собою разумеется, что при этом в отношении степени отклонения модели от образца должен вестись количественный учет, который и устанавливает степень „неподобия" вежду ними, а, значит, и приемлемость приближенного моделирования.
Рассмотренные выше случаи движения жидкости прп числах Рейнольдса, ниже и выше критического, были яногократно исследованы для случая различных конфигурации каналов. Они дают возможность не только установить точность опытов на модели, но и внести в нее поправки, учитывающие несоблк>дение равенства критериев. В технических расчетах различных сооружений применяются часто упрощенные формулы, в силу того, что решение дифференциальных уравнений удается получить только в простейших случаях, нс представляющих интереса для практики.
В такие упрощенные формулы различные величины входят как усредненные; так, скорость т>> есть средняя скорость потока, причем способ осредненпя ее может быть различен. Например средняя скорость может быть средне- расходной и находится по пзмереншо расхода жидкости '>срез устройство в единицу времени, или может определяться иным способом. При всех таких осреднениях точных формул онп подчиняются теоремам Коши, хотя часто составители формул п не '>тдают себе отчета в этом.
69 Как известно, первая теорема Коши выражается так: а ~ т (х) Их = й (Ц (ха — х,), ! и вторая— т 2 ) л (х) у (х) Их =; (л) ) у (х) Фх, 1 1 где 1 — некоторое промежуточное значение между х, и х,, Теорема применима для случая, когда выводимая за знак интеграла функция конечна, непрерывна, знакопостоянна между значениями х, и х,; если она мало меняет свою величину, то вместо ."- можно подставить х среднее. Осреднение величин, входящих в критерии подобия, осредняет и эти последние.
Критерии, как известно, могут подвергаться. любому осредненпю, прп сохранении единственного условия, что оно одинаково у. всех подобных явлений натуры и модели. Прп усреднении уравнений гидродпнамики система уравнений становится разомкнутой. Нахождению критериев подобия нз нпх это не препятствует, но условие однозначного решения уравнений и выполнения всех условий однозначности требует добавления определенных условий подобия потоков, Этп условия, как было показано выше, осуществляются начальным стабилизирующим участком, подобным у модели и натуры. В заключение обратим еще раз внимание на связь, которую устанавливает теория подобия между теорией и экспериментом. Составление дифференциальных уравнений н нахождение условий их однозначности, состоящее в выборе краевых условий и доказательства единственности решения, с которого теоретик начинает интегрирование уравнений, в одинаковой мере необходимы и экспериментатору, так как онн позволяк1т привлечь теорию подобия к правильной постановке и обра.
ботке опытов и к установлению границ допустимой экстраполяции полученных из нпх результатов. 70 Теория подобия может объединить их работу и в дальч,ншем, когда теоретик преобразует уравнения в безразмеригз и вводит в них критерии подобия. Преобразования гравнений, которые облегчают ему получение дальнейших выводов, одновременно открывают и новые пути для поста- нонки моделирования в тех случаях, которые до этого казались невозможнымп. Возможность применения теории подобия к опыту почти бсзгранпчна. Она начинается с той степени малости объектов, когда молекулярная структура тел делается незаметной, и прп составлении уравнений их можно рассматривать, как сплопшые, и для нее не являются препятствием такие крупные размеры объектов, каковыми являются атмосферные течения, солнечные протуберанцы и дагке звездные туманности, динамику которых она может помочь разгадать, строя модель по картине их состояний.
Роль теории подобия равным образом важна как для обобщения глубоких научных изысканий, так и для проектирования новых сложных конструкций п предвидения характера работы самых различных технических устройств и сооружений. Наконец модель незаменима как средство получить .юглядную картину происходящего явления, которую можно изучать непосредственно, визуально, с такой подробностью, которая недоступна в натуре. Теоретическое решение не умаляет значения наглядного изображения явления, ибо правильно сказал Ленин, что жизнь богаче теории, и последняя никогда не сможет ее заменить. Глава 8 АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТИ Жозеф Фурье (12), в гл. 2-й, раздел !Х, стр.
137) обратил внимание на то, что у физических уравнений, выраженных в гауссовой системе единиц, все члены суммы имеют одинаковую размерность, а аргументы трансцендентных (тригонометрических, логарифмических и др.) функций безразмерны. Это свойство однородности физических уравнений носит >щзванпе правила Фурье. Жозеф Бертран [101 в своем докладе Французской Академии наук дополнил правило Фурье указанием, что условию однородности физических уравнений должны подчиняться все формулы, в том числе и еще не известные, и если известны физические величины, которые в них входят, то вид формул часто может быть вскрыт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
