Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Все члены однородного уравнения имеют одинаковую размерность и, значит, уравнение может быть приведено к безразмерному виду. Поэтому, группируя величины, входящие в него, по признаку составления безразмерных компонентов, можно отыскать простую закономерность между ними. Применяя этот прием к случаю охлаждения п>ара, Бертран устанавливает зависимость между критериями Фурье и Бпо.
Афанасьева-Эренфест показала, что открытая Бертраном возможность выводить для подобных явлений зависимость между критериями подобия из анализа размерности величин, о которых известно, что они связаны определенной зависимостью, е с т ь с л е д с т в и е математической аналогии. 72 Замена одних единиц измерения другими в абсолютной системе единиц н переход от одного явления к другому, ему подобному, выражаются одной и той же формулой (40) а' == са.
В случае изменения единицы измерении а число г указывает, во сколько раз новая единица а' больше первоначальной. При переходе же от одного явления к другому, ему подобному, число с указывает, во сколько раз величина а' нового явления больше одноименной величины а прежнего явления. Всякая система единиц должна основываться на самом общем законе природы, охватывающем весь класс рассматриваемых явлений. Поэтому система механических единиц основана на самом общем законе механики, на втором законе Ньютона. Вывод зависимостей, существующих между подобными явлениями, нз правила размерности должен состоять, следовательно, в перетолковании перехода к новым единицам измерения на язык теории подобия, на переход к новому, подобному первому явлению.
Но вывод, сделанный Бертраном в 1848 г., о свойствах подобных явлений, основывался на том же втором законе Ньютона. Поэтому идти кружным путем, сначала выводя правило перехода к новым единицам измерения, а потом истолковывая эту операцию как переход к подобному явлению, нет никакого смысла, поскольку имеется для этого прямой путь. Выше были изложены два метода получения теорем подобия: 1) из общего уравнения, охватывающего весь класс явлений, и 2) пз частного уравнения, приуроченного к определенному виду этого класса явлений и дополненного условиями однозначности, выделяющими из этого вида одно определенное явление. При всей важности умения формулировать основные положения в самой общей форме, применимой к любому явлению природы, второй метод является единственно правильным, если решается задача об использовании теории подобия для обобщения конкретного опыта или построения модели, подобной определенной, заданной натуре. Отсутствие условий однозначности в первом методе н излишняя общность уравнений связи делают эту задачу неопределенной.
В результате этого могут быть привлечены к ее решению лишние величины и получены неверные выводы. Покажем на примере применение теории размерности к разысканию критериального уравнения. Пусть разыскивается зависимость перепада давления Лр по трубе от определяющих его величин. Искомая зависимость должна быть представлена в виде безразмерной зависимости между первичными велнчинамп— длиной 1, массой гл и временем с и вторичными — скоростью тс», плотностью — р, коэффициентом вязкости и, характерным размером трубы, ее диаметром сс.
Искомая зависимость должна иметь вид т (тс, р, р, 4п, сУ, 1, т, ) — — О Множители преобразования единиц связаны между собой соотношениями , из которых получаются пять индикаторов подобия; С~ С~ С СР С С С„,» или соответствующие пм критерии подобия юс р»Р р»сср ас» Е Ра р, рсс» Но решение задачи долнсно дать зависимость или Н мп Поэтому члены — и — ' — являются лишними. Первый гн член есть отношение диаметра трубы к единице длины, второй — отношение массы р1а к единице массы, эти члены всегда постоянны. Они появились ввиду привлечения в фор- мулы первичных единиц.
Условия однозначности„делающие решение задачи опре- деленной, здесь игнорируются, Для нахождения критериев подобия, входящих в крите- рпальное уравнение посредством теории размерности, было предложено несколько методов. Они носят название метода анализа размерности. Как правило, они привлекают к рас- смотреншо только те величины, которые должны входить в уравнения связи. Дополнительное включение в число этих единиц первичных величин, не содержащихся в них, не делается. Первый способ, осуществленный в упомянутой работе Бертрана, состоит в попытках комбинировать между собою эти величины так, чтобы получились безразмерные произве- дения.
Согласно Бертрану, легко показать, что коэффициенты внутренней теплопроводности ~тела) А', внешней теплопро- водности (коэффициент теплоотдачи) 1~, удельной тепло- емкости тела г и его плотности й должны фигурировать Ф а в уравнении только в виде отношений --- и .
Далее, для с)з того, чтобы тела нагревались по одному и тому же закону, необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело вид та а,,ча свл т~а' а) где 1с' — диаметр шара, а д, и й — температуры, начальная и в данный момент, в определенной точке тела. Или, по современному наппсаншо: 9 ( ~ Б 1 ) Как видим, руководящей нитью в рассуждении является физическое чутье и догадка.
Этот метод применялся затем Апеллем и рядом других ученых. Метод А пелли. Отметим прием, который применен в кратком курсе механики Апеллем и Дотевпллем [12~. Разыскивается формула для времени колебания маятника. Делается предположение, что время двоякого колебания маятника Т зависит только от длины маятиика (, массы и его груза и от ускорения силы тяжести д". (41) Т. — — й ((, и!, д). П ри изменении величины един п ц измерения формула' должна остаться неизменной. Пусть прп замене едпнпц Тстаиет х7; ! И, т -- йп!; что ! лапая 1 касается е', то так как его размерность — - ~ ' ' — '-~, тод станет ~время..! х д. Получим (42) Прием Апелля состоит в таком выборе множителей 1, ", и, что 1 ! х =--- —; и =- —; -, = ~''дЛ ! гя ! илп, подставляя л— ! Тогда все величины, входящие в функцию а, станут равными единице и Тх l ® =- ~(1,1,1) =я(сопз1), ~/ ! откуда В 1912 г.
была опубликована вторая теорема подобия А. Федермана, доказанная им в 1911 г. Она была получена пм как частный случай более общей теоремы, не имеющей отношения к подобию явлений 13). Для частного случая теорема гласит: Функция у(х„ ..., хп) может удовлетворять уравнении> у (С!.к„..., сп лап) = с,"' ... с,',"пу(к„..., хп), если =-= с'и' " ' с"""ь! 'л.~-! "! '' ~ 'и с =с'пьп ... с "'". и !» !. Если это условие выполнено, то у и ъ '" п Фп п3п ъ >гп-! лп 'п>,п>-! Мл!! ' ' ' ' ' '"! и и!ь,п Ьх! ...ль ' х, ...хь где й — произвольная функция. В применении к физическим уравнениям эта теорема говорит, что они безусловно плп условно однородны, п указывает, как обусловлпва ощпе однородность равенства, плп индикаторы подобия, получаются из степенных комплексов, из которых составлено уравнение.
А именно, чтобы полух!па ! чпть их, надо в комплексах — — — ' — — --- и т. д. заме~л~ >!„! и!и лй '" ...л, " нить х иа с п резульгпт приравнять единице. На пяти задачах Федерман показывает, как применять его теорему для получения крптерпального уравнения. Рассмотрим его 2-ю зада >у. В сосуде, наполненном жидкостью, на глубине ) сделано отверстие в стенке. Определить скорость истечения жидкости кй предполагая, что и зависит только от ) и ускорения силы тяжести ь.
Полагаем св =у(), д) 77 Применяя теорему, видим, '!То В данном сз»учае » л =- 1, л! = я, г, = '>ч г! =- — — ' ! гч лч ° и, Г Х »"'* з ) 1 ,т, т, Очевидно, т! =- т! = --- и '! ' са ' --- ~''г! г, . 2 Следовательно, обусловливающее уравнение есть; и! 3 щ2,3 !л ~ » )п2л г, =- и г„- =- — = и з.— 3 т,2 Отсюда заключаем„что с, ' ' с,, 'л должны быть ~' с, с! Следовательно, у»х„х!) =)»)7 л»х! нлп получаем формулу Торричелли для истечения из сосуда: ти =- К1' 1д. Результат получился бы проще н быстрее, если бы критериальное уравнение было дано в симметричном виде; М е т од Тол м э н а. Сущность предложенного Толмзном в 1914 г.
метода 113) закан!чается в том, что Толмзи предлагает выбирать переходные множители первичных величин численно одинаковымп. Тогда выражение измеренных новыми единицами величин через старые получается для первичных величин: 1 =..»1, т =- л;, щ' = †, а для вторичных; площади 5' = х'5; объемы Г' --- х! Г; скорости тг' =- тп; ускорения а' =-- †; плотности р = ---; силы Г = - ; давлей У, Х Х и ния Р = --; температуры Т --- -- и т. д.
Р Отсюда следует способ получения зависимости между разлпчнымн величинами. Пример. Идеальный газ. Получение уравнения состояния пз закона 1)о!!ля-Мариотта: Р11= ~(,Т), Р' à — — ~(Т') впд функции э — тот же. 78 Но Ь" =: ха К, Р' =- —, 7' = —, х' х следовательно, откуда РР = ~ ( 7') == х ~ — ), что возможно только, когда следовательно, Метод Букин гэ ма. В 1914 г. двумя годами позднее Федермана, Букингэм опубликовал свой вывод второй теоремы подобия [4~. Исходя из самого общего вида физических уравнений 7' Щ,... б)в... Я„, г', г"...) == О, где Ям Я„..., С7„величины разного рода, г', г"...
— отношения между ними, Букингэм допускает, что г',г"... не меняются во время рассматриваемого явления; затем он вводит дальнейшее упрощение уравнения и берет за основу уравнение, состоящее пз суммы степенных комплексов. Приведенное к безразмерному виду, оно записывается им так: где Ю вЂ” безразмерные множители, а показатели а„..., а„ таковы, что размерность каждого члена суммы есть единица.
Далее он вводит существенное ограничение, заключающееся в том, что в каждом члене содержится только одна вторичная величина, которую он обозначает через Р. Таким путем Букпнгэм приводит физическое уравнение к виду ~Л~П+ [ = 0, [4з[ где П безразмерны: Число П равно, согласно принятому допущению, числу вторичных величин. Таким образом, П вЂ” теорема о числе критериев есть не теорема, а допущение, правда, подтверждающееся для многих частных случаев, а весь вывод 2-й теоремы относится только к частному виду уравнения (43) и не распространяется на общий случай функции у, как это получено Федерманом. Далее Букпнгэм применяет свою теорему к ряду случаев.
Особенность его метода анализа размерности состоит в том, что он составляет, в соответствии с принятым допущением, выражение для стольких П, сколько вторичных величин. Проследим его метод на его примере теплопередачи между стенкой трубки и потоком жидкости. Букингэм выбирает следующие величины, как участвующие в теплообмене; диаметр трубы й, средняя скорость жидкости та н разница между температурой стенки и средней температурой жидкости ЬЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
