Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ковы. 7 лава 7 ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ, КАК ОСНОВА ОПЪ|ТА Трудности, возникающие прн интегрировании урзвиений теоретической физики, ззставплп во многих случаях перейти зт ях полных решений к приближенным, состоящим в прп- нптзп многих физических величин за постоянные.
Теория подобия не нуждается в этих упрощениях для выведения критериев подобия, которые получаются, как мы видели, одинаковым образом, независимо от того, постоянные или переменные величины входят в физические уравнения связи. Поэтому термин физические коистзпты заменяется в теории подобия более правильным — физические параметры. Однако трудность соблюдения всех условий подобия, которые получзются из третьей теоремы, заставляют теорию подобия в большинстве с,лучзев также стать нз путь приближенных выводов. Тзк возьшк метод приближенного подобия, значительно ~ Рзсширившпй область применения теории подобия к экстра- : полпровзнпк> физических опытов и к моделированию технических устройств.
Развитие теории подобия ш.ло в направлении все боль- '"его обобщения его выводов. Трудами главным обрззом советских ученых теоремы подобия выведены для самого пбн1его случая суьцествовзния подобия для любого явления природы, Однако при всем значении получения общих выводов о сзо"- зойствзх подобных явлений применение пх к изучению от т11ельных случаев подобия прзвильнее вести нз основе не 51 общих уравнений определенного кчасса явлений, а исход„ из частных уравнений связи, выведенных из общей тсориа явления применительно к тому шстному, конкретному слу. чаю, к которому относится исследуемое явление. Явление определено однозначно только тогда, когда а нему присоединены условия однозначности, делающие задач! решения уравнения определенной.
Между тем, общие урав. неиня оторваны от такой постановки вопроса, что можа>~ привести к неопределенности постановки и неправильноста' решения задачи. Поэтому, как правило, следует: 1) для получения обусловливающих уравнений рассматривать все уравнения связи, вместе с пх условиями одно. значности; 2) не присоединять никаких других обусловлива«ици> уравнений, не вытекающих из уравнений связи. В случае, если условия однозначности выражены в форм~ уравнений, пх надо включить в уравнения связи.
Точно так же очень существенно ие упускать из пол> зрения физическу>о сторону явлении и учитывать при обработке пх методами теории подобия реальную картину явле ния со всеми ее особенностями. В дальнейшем на нескольких примерах будет пока п>а~ значение теории подобия как научной основы эксперимента роаания и моделирования. В качестве не р во го и р и м е р а выберем самый просто> случай течения вязкой жидкости. Г!редставим себе, что несжимаемая вязкая жидкость те чет между двумя бесконечно простирающимися параллель ными стенками, расположенными на расстоянии Вй друг а> друга. Скорость движения жидкости примем меньше крптпче ской, так что в ней не образуется вихрей, п движение са. храняется прямолинейное струйчатое.
Уравнение !1авье-Стокса, которое описывает двпжена' вязкой жидкости, в этом случае принимает очень простои ви1 Если выбрать начало координат на равном расстоянии а' стенок и направить осп координат так, что ОЛ направлеФ поль течения, ОхС параллельно плоскости чертежа и перпев„,икулярно направлению течения, а От' — перпендикуларно дд др плоскости чертежа, то -- и — — окажутся равными нулю. Если ду дх «впжение стационарно, то дм дса дга д1 дх гИ поэтому также д""в д'в длх д1" Исходя из этого, уравнение Навье-Стокса примет такой простой вид: дд д""ю (26) дх ' д--" Уравнение сплошности им:ет вид: да дх (27) Так как, но предыдущему, зависит только от х, а дд дх д'ю —; — только от г, то уравнение (26) может существовать ы только при том условии, если и в правой п левой ее частях члены постоянны.
Следовательно, др -- =- сова!, дх (28) сив ---- --- сопай дхл (29) ,о' = с„п; ю' = с гв; 1д = с„и; я' = с,а; х' = с,х. (30) В условия однозначности входят величины 'и' в начальном сечении (х =- О), й и р, Применим к уравненшо (26) первую теорему подобия. Пусть имеется явление, подобное данному, и подобие его выражается следующими равенствами: Подстановка этих выражений в уравнение (26) приведет его к виду; ср сй др д'ю — =- Р ( 26' с„с„, дх др' '- ') откуда, согласно первой теореме, получается (з() или К вЂ”.
— — =- 1бет. тн (З2) которая постоянна, и линейный размер с„ за который удоб- нее всего принять Ь, преобразуем уравнение (26) '(дР) Ф В' (зз) В нем Еа, = - — — адромный критерий струйчатого тече. Ров но мо ния, так называемый критерий Лагранжа (Аа), ~ — ) = сонэ(. 54 Критерий К содержит, кроме величин, входящих в уело. вия однозначности, еще р, в них не входящее. Поэтому К вЂ” не определяющий критерий. Следовательно, определяющих критериев в нашем случае нет, и выбор констант подобия не ограничен никакими условиямп. Мы, следовательно, имеем случай „автомодельности" явления.
Обратимся к выявлению вида критернального уравнения. Применение относительных единиц измерения должно дать, как было показано, не только критерии, но и симплексн этого уравнения. Выбрав в относительных единицах давление в начальнон сечении р„ в том же сечении осевую скорость та„ вязкость ио, Приведенный пример показывает преимушества применения метода относительных единиц при выводе крптериального уравнении по сравнению с методом констант подобия, Первыи вводит в рассмотрение не толгиаэ комплексы, но и те симплексы, которые надо включить в критериальиое уравнение, между тем как метод констант подобия теряет их, устанавливая только критерии, входящие в крптерпальное уравнение. В связи с этим возникла даже тенденция вводить в это уравнение симплексы подобия на основании общих логических заключений, не связанных с анализом уравнений связи, что вносит некоторую неопределенность и произвол.
Между тем дифференциальное уравнение, преобразованное к относительным единицам, уже содержит в себе все комплексы и снмплексы критериального уравнения, за исключением лишь моновалентов, которые войдут в него в результате определения постоянных интегрирования. Конечно, приведенный пример не нуждается в проверке опытом, поскольку он допускает теоретическое решение задачи. Но уже неболыцое усложнение примера, например, предположение, что рассматривается вход в плоский канал из резервуара, усложнил бы вид уравнения (26) и обусловил оы изменение распределения скорости во входном сечении в зависимости от большей или меньшей вели шны скорости входа. В этом случае пришлось бы обратиться к эксперименту, а теория подобия дала бы возможность обобщить его на все подобные явления. Экстраполяция же опыта на неподобные случаи была бы незакономерна и привела бы к неверным выводам. Вторым примером выберем общий случай струйчатого (ламинарного) движения жидкости в заполнении канала, имеющего переменные сечения и направления.
Уравнения связи для этого случая будут: 1) уравнение сплошиости и 2) уравнение двимсения потока Нивье-Стокса. Имея в виду, что интегрирование их не производится, удобно применять их в векторной форме. В декартовых координатах они имеют вид: Уравнение сплошности сер д(р "), с)(рту) д(р~ — ') -О д~ слх дт де (38) гс уравнение движения Навье для оси Ол.: л)а др, да... дао, дл,.л см ' ' дх дл да дх где ч„„, алу, ал, — составляющие тензора напряжений вязкой жидкости, являющиеся линейными функциями от кь Аналопгчиые два уравнения можно написать для осей 0)' и Ол, Подстановкой выражений для напряжений через производные от скоростей Стокс привел их к виду для оси ОХ Аналогичные два равенства можно написать для осей О)' и ОЛ.
В векторной форме онп представятся так: '- -1- с)па(рге~) .-. О, се сна 1 р — + р(варгас)) га — ря — лгпбр ь — рягабб()гта+ дг 3 + р с(1ч егс1с( ас Особенно удобно писать уравнения в векторном виде, применяя оператор Гамильтона: с=( -- -';/ +й---, д,, д д дл дя дл г!1 так как в нем видна размерность ~~] ==- ц. Ы 57 Ес)мл сем,.
дев„ ,дг 'дл Уду др, р д дм, дну, дж'„-) дх 3 Ме) д.с ' ду де! д~в с (39) с с3'хю,, д'вя д'и~ л Л (, дл"- ду* ' дел ~ Оператор Гамильтона в применении к вектору те (скорости) дает игам ьу = ( -- +у + й — = ои (аффпнор) .дю .дм ды дх ду дл в применении к скаляру 1 (температуре): йгай у =- ( — + у — + й -- = у1 (вектор), . д~ д~ , дг дх ду д г(1утв -- --л+ -«+ ---- =- Ги (скаляр), д~у д~г дх ду дю Тогда уравнение сплошности получит вид у+о.(ра~) = 0 дс (38) и уравнение Навье-Стокса: Р +Рта'7тд = — РК---ЧР+ — Р77 ° та+ Р7'амтв (Зй') Подставив в уравнение сплошности вместо р — срр, вместо т — с,т и т. д., получим ~р др с откуда с,с '-- = 1 с~ Это так называемый критерий гомохронности гто, указывающий промежутки времени, в которые явления подобны между собой. Отметим упрощенный способ получения критериев: уравнения приводятся к безразмерному виду и затем у каждого одночлена отбрасываются знаки дифференциалов.
Таким путем из уравнения»Павье-Стокса найдутся кри- терии подобна '. а критерий Фруда — — = Ег, я» критерий Эйлера -- =- Еи, »> ыа ы»у критерий Рейнольдса — = И»с Легко заметить, что Еи >; »се =- Еа — критерий Лагранжа, встречавшийся в первом примере. Теперь получим те же критерии методом относительных единиц.
Выбрав за тако- вые »'„ ша, т„, р„ да, р,, и обозначив через у, получим: 7 л ~ + ту (рФ) =- О, »»о, ат — —: — 1)у.~»Ю' — -= —. 0 Е»»ат»Р )- — -) — тугу %+с1 ту%1 . »уоа дт с"сч у»еа [ 3 Как видим, критерии получались те же, но в адромном виде. Эти обычно употребляемые критерии подобия можно заменить другими, производными от них, например умножением всех членов уравнения на Йеаа. Тогда вместо Но получится Но' =--'-'--, ра»ам» ,а»з вместо Ег-- Оа = — - (Галлилей) Йх ррп и вмсс о Еп»х» =-- »Теа»Кирхгоф). Критерии Оа н К» часто представляют преимущества, как ие содержащие в себе скорости. Присоединим к уравнениям (38') и Г39') условия однозначности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
