Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Они позволяют сделать уравнения связи между физическими величинами общими для всей группы подобных явлений, Уравнение связи (14) б у к в е н н о одинаково для подобных явлений. Выведенные пз него критерии ч и с л е н и о одинаковы для всех подобных явлений. Преобразованное пз (14) уравнение связи (17) состоит пз величин Г, Л, )Х' и т. д., которые, как было показано ч и с л е н н о одинаковы у всех подобных явлений. Это инварианты подобия, безразмерные „спмплексы", составлениы из отношений одноименных величин, типа Р— -, прпче — 7 Ую г == 1г(еш, а 7 и 7, различны для каждого единичного) явления группы подобных явлений.
Входящий в уравнение (17) адромный критерий К„==- — "' также ч и с л е н и о оди- УП,Ю„ иаков во всех подобных явлениях. Это инвариант подобия, безразмерный „комплекс", составленный из нескольких величин разной размерности. В целом само уравнение (17), очевидно, также ч п с л е н н о одинаково для всей группы подобных явлений, оно охватывает всю группу одной формулой. Это свойство обобщенного уравнения связи (!7) будет использовано для дальнейших выводов. Перейдем теперь к выводу первой теоремы подобия, данному Т.
А. Афанасьевой-Эренфест для самого общего случая, подобия любого явления природы [5, 6). Предположим, что рассматривается некоторое явлени . Если известно„что существует группа явлений, подобнь; ему, то они обладают следующими свойствами. 1) Явления протекают в геометрически подобных системах и величины, характеризующие явление, во всех точках системы, в которой протекают процессы данного явления, относятся к одноименным величинам из группы подобных явлений, в сходственных точках системы как постоянные числа.
Каждой величине отвечает свое число, различное для каждой пары явлений. 9) Величины, характеризующие рассматриваемое явление, вообще говоря, не независимы друг от друга, а между ними существуют определенные связи. Если эти связи могут быть выражены в виде математических зависимостей, то последние для подобных явлений буквенно одинаковы. Наличие этих двух условий, из которых первое представляет математическую формулировку понятия подобия, а второе- необходимое условие его сохранения при протекании процессов, налагает определенные ограничения на вид уравнений связи.
Можно показать, что уравнения связи должны быть однороднымц по отношению к подобному преобразованию входящих в ннх величин. Пусть связи между величинами, характеризуя щие явление, даны в виде т уравнений между их величинами: ~! —.-и т,,(х„..., х„)=О~. (18) где 1 последовательно проходит все значения от 1 до лк Напишем его для какой-нибудь пары подобных явлений, для которой У и х1 .=. с1х,..., х„=- с„х„. (19) Для первого явления уравнения будут т,.
(х,',..., х„') = О (18') и для второго з,. (х,",..., х„") = О. (18") Подстановка в (18") равенств (19) преобразует уравнение (18") в р,(с,х,',..., с„х„') = О. (18"') Одновременное существование уравнений (18') и (18'") возможно только в том случае, когда все константы подобия , с„выйдут из-под функций т в виде одного общего множителя з Зэк.
25/233 зз Тогда, отбрасывая множители у(с„..., с,), будем иметь уравнения с,.== 0 инвариантнымп по отношению к произведенному преобразованию. Функции ть обладающие указанным выше свойством, называются в теории подобия п одаб но родны ми (гомо- генными), а отвечающие им уравнения (1), — о д н о р о дн ым и (моногенными).
Свойством подобнородностп обладают функции типа степенных комплексов л', х",..., х"с, в которых степени сл а,,..., а„— отвлеченные числа. Подобнороднымн могут быть и суммы степенных комплексов при том условии, что появившиеся после подобного преобразования их сомпожптели, составленные из констант подобия, все будут равны друг другу. ! =ФИ Например, если ~~ Х,. (х,",..., х„") - сумма степенных с=1 комплексов, то подстановка х,с — — с,х,'...
и т. д. приведет сумму к вид,у ~' Х,(с„..., сс) Х,.(х,',..., х„'), где функции Х, у обоих множителей одинаковы. Гомогенность сумм в этом случае обусловлена равенствами: Х,(с„..., с„) =- Х,(с„..., с„) = Х (с„..., с„), или, деля эти равенства на какое-нибудь одно пз нпх,— (20) Хс~(с„...,с„) Х~с (с„..., с„) Последние равенства есть условия, прп которых написанные суммы делаются подобнородными. Они называ|отся условно подобнородными, а равенства (20) — обусловлнвающимн равенствами. Поскольку онп определяют возмомыюсть существования группы подобных явлений, им присвоено также, как сказано выше, название индикаторов подобия.
34 Индикаторы накладывают на константы подобия опреде„епные ограничения. Возможно существование только таких „одобных явлений, у которых индикаторы равны единице. Все изложенное представляет содержаняе первой теоремы подобия. Подобные явления описываются буквенно одинаковыми равнениями, которые условно или безусловно инвариантны ло отношению к нодобным преобразованиям входящих в ник величин. Везусловно инвариантными называк>тся уравнения, когда ипожптели Х,(см..., с,), Х (см..., с„) сами собой непосредственно сокращаются.
В этом случае выбор констант подобия ничем не ограничен. В противном случае они называются условно инвариантными и тогда могут существовать только те подобные явления, константы подобия которых подчиняются условию равенства единице индикаторов подобая. Легко заметить, что получение условия подобия (20) аналогично выводу, в главе 2-й, условия инвариантности уравнешш при перемене ед~шиц измерения. Причина этому та, что оба условия суть условия однородности физических уравнений. Из этой аналогии вытекает, с одной стороны, возможность существования подобия физических явлений, так как физические уравнения однородны, а с другой,— возможность выводить свойства подобных физических явлений путем анализа размерности характеризующих их величаи. Оба эти вопроса будут разобраны в следующих главах.
Глава 5 ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ Рассмотрим сперва случай, когда уравнение связи не со, держит дифференциальных операторов, Как было показано во 2-й главе, физические уравнешпа связи, написанные в системе единиц, могут быть представлены как зависимость между безразмерными степенными комплексами величин, входящих в уравнение. Они могут быть сделаны инвариантными по отношению к подобному преобразованию величин а" = с,а', ]2]) если константы подобия подчинить обусловливающим урав] пениям, которые являются условиями однородности для урав" пений связи. Математически это свойство выражаетси, как мы виделии так, что каждый безразмерный степенной комплекс вида а' ... а"~ обладает свойством после подобного преобразова' ния выделить все константы подобия в один множитель, составленный из констант подобия так, как сам комп:и кс составлен из величин с„",'... с„' Н Условие однородности уравнений, влекущее за собоп ~.
го инвариантность, заключается, следовательно, в приравнивания этого множителя единице; (22) На подобное преобразование мои<но смотреть как на „фор мальное", когда одни единицы измерения заменяются дру ими, и как на „материальное", когда от одного явления ,ереходят к другому., ему подобному. Математическая сторона преобразования от этого пе ме„яется.
Поэтому условия однородности (22) можно считать условиями подобия и рассматривать их как формулировку первой теоремы подобия: для подобных явлений индина,воры равны единице: С,=-1,..., С =1 122') али же, переходя от индикаторов подобия к критериям, дать другую формулировку первой теоремы: „Критерии подобных явлений одинаковы": К, =- 1беп1... А" =- Ыет.
Заменяя в равенстве (22) индикатор критерием, будем иметь аРа~'... а' = — 1бет. Иначе говоря, члены безразмер- ного уравнения суть критерии. Таким образом, для случая отсутствия в уравнении дифференциальных операторов преобразование его к безразмерному виду переводит уравнение непосредственно в критериальное, в уравнение, составленное из критериев подобия.
Поскольку критерии подобных явлений соответственно равны друг другу, уравнение связи становится единым, численно одинаковым для всех подобных явлений. В случае дифференциальных уравнений такой простой результат не получается, так как знаки дифференциалов являются барьерамп, препятствующими объединению множителей безразмерных комплексов в одночлены-критерии, составленные из конечных величин. Однако и для этого случая можно ожидать, что вид и число критериев, выведенных из дифференциальных уравнений, окажутся теми же, какие будут найдены из уравнений после их интегрирования, В противном случае это означало бы, что перемена порядка операций нахождения критериев и интегрирования может привести к разным результатам в установлении условий подобия )8, 9) 37 Ведь дифференциальные уравнения связи не приурочена к одному определенному месту системы, а одинаково года| для всех точек системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
