Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эта система вносит в определение физических величин новое понятие о размерности. Напомним в двух словах содержание учения о размерности величин. Измерить какую-нибудь величину значит сравнить ее с одноименной ей величиной, избранной за единицу измерения, и отношение между ними, полученное в результате сравнения, выразить числом. При перемене единицы измерения изменится и это число. Следовательно, выражая какую-нибудь величину числом, надо именовать и единицу, выбранную для ее измерения. Такие числа называются именованными. Правило изменения числа, выражающего размер рассматриваемой величины, при переходе к другой единице ее измерения, как легко показать, устанавливается путем присоединения к именованному числу символического сомножителя, именующего единицу измерения. Он обыкновенно ставится в прямоугольные скобки.
Переход к новою единице измерения сопровождается подстановкой в скобки численного выражения и р е ж н е й е д и н и ц ы ч е р е з н о в у ю. 10 Например, 5 метров напишутся так: 5 [м). Переход к единице длины „сантиметр" осуществляется подстановкой 1 м = 100 см: 5)м) .= 5 )100 см) = 500)см).
Для того чтобы единица измерения во всех случаях была одинакова, ее образец устанавливается международным соглашением п хранится в государственных палатах мер н весов. Ему присвоено название э т а л о н. Род величины, которая измеряется, называешься ее размерностью. В приведенном выше примере символический сомножи~ель 1м) имеет арифметический смысл и служит для численного определения величины. Но ему можно придать и алгебраический смысл и рассматривать, как определение размерности величины; в данном случае такой размерностью является длина, что определяется символом )Ц. Гауссова 1абсолютная) система единиц измерения состоит в следующем.
Явления природы представляют собой протекание различных процессов, которые характеризуются изменением различных величин. Этп величины могут быть независимыми друг от друга или, наоборот, находиться между собой в определенной постоянной связи, которая выражает закон природы. Математически это постоянство связи между величинами выражается уравнением, связывающим их между собой. Например, движение всех материальных тел подчиняется законам механики, в частности второму закону Ньютона, который устанавливает пропорциональность между силой 7, действующей на тело, его массой ш и ускорением а, сообщенным телу силан: 7= Агла.
Здесь А — множитель пропорциональности. В зависимости от того илп иного выбора единиц измерений для величин у, гд и а он будет получать каждый раз иное численйое значение. Абсолютная система единиц устанавливает правило выбора единиц так, чтобы А всегда было равно единице: 7 == та.
Для выполнения этого условия единицы измерения для двух величин, входящих в равенство (1), можно выбирать произвольно, но раз они уже выбраны, то для третьей величины единица измерения не может быть выбрана произвольно. Она определяется условием, что Л =- 1, иначе говоря, для лт =- 1 и а. = 1 должно быть п у =-1. Это значит, что единица измерения силы подчиняется правилу: (2) Тем самым устанавливаются единицы первичные, или основные, выбор которых произволен, и единицы вторичные, или производные, величина которых определяется равенством (2), устаиавливак>щим выражение пх размерности через размерность первичных величин. Размерность у", таким образом, становится равной размерности комплекса величин, стоящих в правой части уравнеиця (1), Отсюда следует, что все члены уравнения (1) имен>т одинаковую размерность.
Это правило отметил еще Фурье (11!. Основное свойство гауссовой системы состоит в том, что предложенная система единиц должна удовлетворять тому условию, что ири перемене единиц измерения уравненис остается неизменным. Это условие налагает определенное ограничение иа вид уравнений, выражающих вторичные величины 1> через первичные а. Для того чтобы показать это, перейдем в уравнении (1), являющемся основой механической системы единиц, к новым единицам измерений. Пусть единица измерения т делается в г раз меньше первоначальной и единица а в г. раз меньше. Определим, как изменится величина вторичной величины у'. 12 Согласно изложенному выше правилу перехода подставляем в равенство (2)' вместо т' с„т', вместо а' — с„а' и вместо г' — г,)".
Получим; г [у'[ = с„,г, [ир[ [а'[. (2') Так как коэффициент пропорциональности должен быть попрежнему равен единице, то г =г,„г,. Мы видим, что уравнение (1) при переходе сохраняется неизменным потому, что множители г в левой и правой частях уравнения вышли в виде общих множителей и затем взаиипо сократилпсь. Легко убедиться, что таким свойством обладщот только формулы, представляющие степенную зависимость между величинами, например: й =- йа[' а "'... а""' я ' где и, ч„ аа,.,., а отвлеченныс числа. В самом деле, в этом случае подстановка вместо а величин г,а, приводит к выделению всех множителей г в один сомножитель, на который умножено первоначальное выражение г, д = й (с~'...
с',„"') а ~'... а'"', откуда определяется са -= г,'... с'"', Функции, обладающие таким свойством, носят название „подобнородных" (гомогенных). Свойса вом гомогенности, кроме степенного одиочлена, обладает также сумма степенных комплексов одинаковых размерностей, так что сомножитель, составленньш из чисел г, выйдет вз суммы их в виде общего множителя. Такова, например, сумма членов в правой части уравнения Фурье для теплопроводностп твердого телец (4) Очевидно, для выполнения этого правила трансцендент- ная функция должна иметь аргументом безразмерное число, например, ь в котором размерность числителя Ь равна размерности знаменателя а1',..., а."".
Подстановка в него вместо Ь, аь па и т. д. величин с Ь, г, а»... п т. д, даст выражение аргумента Трансцендентная функции останется неизменной только тогда, когда сомножитель (5) При таком частном случае гомогенности, когда сомножитель С = 1, функции называются однородными (моногенными), а равенства (5), обусловливающие их однородность,— условиями однородности (моногенностп) функции. При наличии равенств (5) функции условно моногенны. Если же условие С --! получается само собой и надобности в обусловливающих моногенность равенствах пет, то онп безусловно моногенны. Последнее имеет место, в частности, в том случае, когда безразмерная функция представляет отношение одноименных величин„например, отношение скоростей тг,/ц~.; в этом случае, при подстановке вместо ш, и и,, в отношение их величин с та, и г ш., пх множители с автоматически сократятся и в условии (5) нет надобности.
В этом случае' функция безусловно моногенна. Таким образом, абсолютная система единиц может быть применена только в том случае, когда законы природы выражены уравнениями, содержащими гомогенные функции, пли, что то же, когда эти уравнения моногенны (однородны). Такие уравнения носят название полных уравнений. 14 Следствием гауссовой системы является то, что отношение любых одноименных величин остается неизменным при перемене единиц измерения, так как прп такой перемене в числителе и знаменателе появятся одинаковые множители перехода к новым единицам, которые автоматически взаимно сократятся.
Например, отношение скоростей двух автомобилей, движущихся с определенными скоростями, останется тем же, будем лп мы измерять их скорости метрами в секунду илп километрами в час. Единицы измерения для величины тепла и внутренней энергии в технических уравнениях термодинамики определяются не как вторичные величины„выраженные через абсолютную систему (сантиметр, грамм, секунда); единица их выбирается независимая -- калория.
В дальнейшем, при изложении теории подобия потребуется определять размерности отдельных членов уравнений, описывающих явления. Прп этом надо не терять коэффициентов, появляющихся вследствие отхода от абсолютной системы единиц, так как без них размерности величин буд) т определены неправильно. Первый закон термодинамики в технической системе единиц пишется так: Я =- М/+ АА. Так как в пем (1 и У измеряются в килокалориях, а работа Š— в килограмм-метрах, то размерность А есть икал/кг м и все три члена получают одинаковую размерность (ккал). Таким образом, правило однородности физических уравнений, написанных в системе единиц, связано не только с абсолютной системой, но может быть распространено на любую систему единиц. Это так называемое правило Фурье, которое гласит: „Физические уравнения, выраженные в сисгпеме единиц, не изменяют своего вида при перемене единиц измерения".
Однородные уравнения обладают еще одним важным свойством: Всякое однородное уравнение может быть представлено в виде зависимоппи между безразмерными степен- 15 ными комгглексамгг, составленными из величин, влодящик' в уравнение. Согласно предыдугцему все физические явления выра- ' жаются через однородные уравнения. Пусть (6) р (а„..., а, Ь„..., Ьл) = О есть такое уравнение, где через а„...,а ооозначены первичные величины, а Ь„..., ܄— вторичные в какой-нибудь системе единиц. Прп этом некоторые пз этих величин могут, быть постоянными, так называемыми именованными коэффициентами.
Таковыь! может быть коэффициент а в уравнении (4). Таким образом, в уравнении (6) должны быть перечислены все именованные величины. Рассмотрим сперва наиболее распространениып стучай, когда уравнение (6) состоит пз суммы степенных комплексов одинаковой размерности. Разделим все члены этого уравнения на олин какой-нибудь из пнх. Тогда все члены уравнения станут безразмернымп. (/гЬ!" . Й*...
а!'... а""') + 1 =- О, (7) где представляет один из безразмерных членов этой суммы. В него, вообще говоря, могут входить не все, а только некоторые из величин Ь„Ь.,', а„ал., ., содержащиеся в уравнении (7). Здесь /г, (!„(глг х„..., и — отвлеченные (безразмерные) числа, а Ь„Ьл, а,... — именованные числа, имеющие размерность. ' ради упрощении выкладок примем, что в нем только две вторичных величины — Ь, и Ь,. Легко, конечно, распространить вывод на любое число их. 16 Согласно систсме единиц, выбраннои для уравнения (7), вторичные величины имеют размерности, представляемые символическими равенствами (9) причем некоторые пз показателей 7, о,..., могут быть равными нулю. Равенства (9) показывают, что если величины Ь,, Ь,, разделить иа степенные комплексы а)',..., а.""', а~",..., а"'", то полученная дробь будет безразмерным числом.
Произведем такое деление в рассматриваемом члене суммы (8), а чтобы не изменять его значения, умножим одновременно его на те же комплексы. Получится (10) где 1, = ~3,.0+ ~9,,он 1,, = 3,;а — ' Гаоа и т. д. Выражение (10) оезразмерно. Поскольку И,— ) " Г, П.,=-( —, ', )а', согласно только что сказанному, безразмерны, то, следова- Е, с тельно, п комплекс а,',..., а тоже безразмерен. 1-!о так как он составлен пз одних первичных величин, то безраз- мерным он может быть только в двух случаях: либо, когда каждый пз показателей 1„'.а... н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
