Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 3
Текст из файла (страница 3)
д. равен нулю, либо, когда множители а„а,,... и другие суть одноименные (п '1е ! величины и представляют собой симплексы 5, = ~ — ] и (,ад, т, д Итак, рассмотренный член суммы, равно как и остальные, представляет произведение комплексов и симплексов, т. е. он равен произведению /гП,!1,5~' $~' 51'... (1 1) .. ммм ьар://вам.амгоРгамнвплатод.ги/рньеагев-ымо~у.ьвп 17 сс )В ! св (Г5- ) с„"...с„"') ) с,",'...с,"') (12) уравнение (7) останется инвариантиым по отношеншо к сделанной подстановке, т.
е. требование, предъявстяемое системой единиц, будет выполнено. Условие (12) о равенстве индикаторов единице равносильно тому условшо, что величины, входящие в уравнение (12), подчинены абсолютной или иной системе единиц. Предположим теперь, что в состав выражения (б) входят множители, представляющие трансцендентные функции. В таком случае все, что было сказано выше по отношению к одному из членов суммы (6), может быть повторено по отношению к аргументу трансцендентной функции, в результате чего этот аргумент получит такой же впд, какой имеют члены уравнения (П), а условие однородности (12) приведет его к безразмерному виду.
То, что сказано о трансцендентных функциях, может бып, очевидно, распространено на любук функцшо с1с(уи ~г...), в которой под знаком чс с~опт однородные функгпсп с„ Итак, уравнения физики, подисснс нные еситевсе единия, лсогут быть иредетавленьс в виде зависимости всежду комплексами сс гсгмсгленсами, соеисавленннми из велссчнн этого уравнения: %'(7с,,..., 5,', 5,",...) = О, ( й) где А; =11, Пв и 5,'=--', 5,"=-У' ..., а %' — люс. функция.
Число комплексов К в уравнечши (13), очевидно, равно числу членов суммы (7) без одного, плсос число аргументов где число 5,', Я,",... -- число одноименных „напарников" величин а„... При этом В „Пв — гомогенны, а 5,', 5,",...— моногенны. Поэтому после подстановки вместо Ь, Ь„а,ав... произведений е Ьм г„ дг, с, а,... и установления условия, дчя всех членов суммы, что трансцендентных функций, входящих в эти члены. Число спмплексов 5, как Г>ыло указано, равно числу одноименных напарников, входящих в уравнение (13). Полученное выражение (13) представляет обобщенный вывод теоремы Федермана 13). Для частного случая, когда трансцендентные функции не входят в уравнение (13) и в каждом его одночлене К„,...
К„, содержится только по одной вторичной величине йц..., 6», число комплексов К, очевидно, будет равняться числу вторичных величин Ь. Это так называемая и-теорема Букингэма 14~. Для обц1его случая она, конечно, неверна. булава 3 ПОДОБНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПРИРОДЕ Всякое явление природы представляет собою с и с т е м у материальных тел, которая претерпевает определенное изменение состояния, поскольку в ней протекают различные процессы. Явлениями, подобными друг другу, называются системы тел, геометрически подобные друг другу, в которых протекают процессы одинаковой природы п в которых одноименные величины, характеризующие явления, относятся между собой как постоянные числа.
Иными словами, можно определить подобие явлений так: явление, подобное заданному, может быть получено путем такого его преобразования, когда размер каждой его величины изменяется в определенное число раз. Такое преобразование называется подобным преобразованием явления. Понятие подобного преобразования первоначально возникло в геометрии, где таким путем получаются подобные фигуры и тела; отношение любых сходственных отрезков в них равно одному и тому же постоянному числу вь так что можно сказать, что тело, подобное первоначальному, получено путем изображения его в ином геометрическом масштабе.
Понятие „механическое подобие" прежде всего включает и себя геометрическое подобие систем, затем — кпнематическое подобие: подразумевается, что в любых сходственных точках систем скорости движущихся тел параллельны и про- 20 порциональны друг другу, т. е. что отношение между их скоростямп одинаково во всех точках системы. Если система состоит из отдельных дискретных частиц, то у подобных явлений массы их тоже относятся между собой как постоянное число; если же имеет место течение сплошного тела, капельной или газообразной жидкости, то плотности и коэффициенты вязкости во всех сходственных точках подобных систем имекат постоянное отношение. Далее понятие механического подобия включает в себя динамическое подобие, т.
е, параллельность и пропорциональность сил в сходственных точках. Тепловое подобие подразумевает пропорциональность друг другу всех характеризующих тепловые явления величии: температур, тепловых потоков, теплоемкостей, коэффициентов теплопроводиости и т. д. Обозначая отношение расстояний между геометрически подобными точками, т. е. сходственных отрезков длин двух подобных систем, через г» скоростей — с, масс-- с, сил-- г, и т. д., можно дать математическую формулировку понятию подобия в виде следующей системы равенств: и ы" гн" = г, — ===с; — =.
г =- с и т, д., где одним и двумя штрихами обозначены первое п второе подобные явленив. Коэффициенты пропорциональности с„с„и т. д., называются константами подобия. Для каждого рода величин онп имеют свою особую численнука вели шну; поэтому константы подобия имеют соответственные подстрочные значки, показывающие, к какого рода величинам они отноятся. Обобщая сказанное„можно подобие явлений определить, как пропорциональность друг другу всех величин, характеризующпх явление, причем коэффициент пропорциональности сохраняет постоянное значение во всех точках системы для определенно~о наименования величин, но является различным тля величин разного наименования, В общем виде переход от х,',..., х„' величин одного явления к х,",..., .т„" величинам другого, ему подобного, может быть выражен уравнением П1 Это первое ос н о в н о е уравнение теории подобия.
Константы подобия сохраняют свое значение для любых случаев отношения сходственных величин, Например, если Р и 1" — сходственные отрезки двух подобных систем, > о имеют место равенства: — .— —. го й' й' й' и, следовательно, отношение величин 1 !' = с, можно заменить отношением лк>бых других отрезков при условии, что замена эта для любых подоГ>ных явлений делается одинаковым оГ>разом. Это так называемое правило замещения одних величин другими того же наименования. Такую замену можно делать для всех других,велич;ш, например ж",1та' п т.
д. В дальнейшем часто будут встречаться дифференциалы величин. На них также можно распространять правило замещения величин. Это правило можно применить, когда рассматриваемая среда предполагается сплошным телом, т. е. когда наблюдатель имеет дело с такими размерами тела, которые в очень большое число раз превосходят расстояния между молекулами Гч так что дискретное строение тела незаметно и может не приниматься во внимание. По определению, дифференциал функции а>у равен ее производной, помноженной на дифференциал независимой, переменной с1х: Иу =- У'(х) а г. Здесь а!х произвольная величина, которая в физик! должна лех<ать в пределах й <г,ух с .>,т т, е.
быть значительно больше расстояний между молекулами, для того, чтобы можно было рассматривать тело сплошным, как континуум, и одновременно настолько махым, чтобы к нему с достаточной степенью точности можно было применять формулы дифференциального, а не разностиого исчисления. Таким образом, в физике ~х есть хотя и очень малая, ио конечная величина и, следовательно, должна рассматриваться, как разность ха — л>. Поэтому к," л,' .т,' - - л," чх» — с„ х,' л. ' .тсл- хр ял' Подобиыи же образом ду =- уа у, и, следовательно, >ч — \'~" л>'" к нему применимо .
— — -.- --.. — = г„, у --у1 ах Воог>ще говоря, подобных друг другу явлений бывает не два, а значительное количество. Мы будем говорить, что опи составляют г р у п и у подобных явлений. Сравнивая все члены группы с одним явлением, которое служит образцом для них, замечаем, что прп переходе от одного, подобного образцу явления к другому, к третьему и т. д. константы подобия каждый раз получают друго~ зиаченще, сохраняя в то же время свое свойство-- быть постоянными во всех точках каждой системы, подобной образцу. Объедпияя переход от явления образца ко всем подобиым ему, мы можем рассматривать его выражение х," = г,.х,.' как групповое п ре образован ие явления, подразумевая под константой г,, последовательно ее значения для всей группы подобных образцу величин.
Подобие явлений можно выразить и другам способом: не константамп подобия, а посредством так называемых ииварпантов подобия. Перейдем от абсолютной системы единиц, оГ>щей для всех явлений данного класса, к относительной системе, пригодной только для одного явления этого класса.
Для этого выберем за единицы измерения величин рассматриваемой системы значения этих величии в каких-нибудь точках самой системы. Отметим их подстрочным индексом (О). Тогда все величины /', мг, т' и другие для первого явления получат численные значения: — =Е'; — "=- )Г; "'- = ЛР ее "о ела ит,д. Если во втором явлении за единицы измерения величин выбрать пх значения в сходственных первой системе точках, то пх значения в относительных едшпщах буду1 , == Е,"; — = 1Г' ~ао Мо" пт д.
Очевидно, Е", %'" и т. д. будут те же, что и Е', Ю" в первой системе. В самом деле, пз (2') следует ~а — пт. д. Го Представляя члены пропорции, получим г — — илп Е" =- Е'. й ~е То же самое получится для любых других величин, характеризующих подобные явления. Поэтому значки, отмечанццие, к какому пз явлений относятся величины Е, В' и т. д., можно отбросить, так ка при переходе от одного явления к другому, ему подобно му, все величины, выраженные в относительных единица измерения, останутся численно прежними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
