Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Поэтому и выведенные пз них крин терни должны быть пригодны для всей системы в целом., Несмотря на эти убедительные рассуждения, теор |4| подобия все же нехватало общего вывода второй теорема для случая, когда уравнения связи даны в виде дифферей циальной зависимости между величинами, характсрпзу|ощи м| явление. Этот вывод был дан Г1. К. Конаковым в 1949 г. [7~ Мы приведем другое доказательство, основанное НН преобразовании уравнений связи к так'называемым „крптера альным относительным едпниш|м измерения. ! Величины, входящие в уравнения связи, как мы видела получак|тся при этом в виде безразмерных симплексов. Кра ме того, в уравнении появляются адромные критерии, спз ставленные из постоянных величин, которые выбраны в ка честве единиц измерения.
В общем случае, когда дана система дифферснциальны уравнений Р,.(л;,...,х„) =О, (23 допускающая подобное преобразование, ее всегда можнн преобразовать в групповую: РАКРХ„..., К |'Х„,Х., „...,Х„) =-О, 12Х в которой К,м',..., К пв -- адромные критерии, составлеи ные пз единиц измерения а,,..., а„, Х, =- '-,... — снмп и, лексы, выражакпцне величины х,,...,х„в относительны| единицах. Так как уравнение (23') содержит только величины, один паковые для всех подобных явлений, то оно численно одщ наково для всей группы подобных явлений.
Лдромные критерии стоят в нем множителями прп соот ветственных одночленах уравнения. Поэтому адромные кр|и терни путем соединения их с спмплексамп можно перевест| в монодромные, содержащие одну переменную величину, | остальные — постоянные. Так, например, уравнение (17), выражающее второй закон Ньютона, оооо ч 11 лВ~ ма~о Йт (17) содержит в левой части произведение симплекса — на ад- У Уа ромный критерий — — . Сокращая у них ~а, будем иметь ааааа оаама — -- =- Ку — монодРомный кРитеРий, так как в нем 7' — пе- У'о лаагна ременная величина. Если теперь заменить избранную для измерения 7' прежнюю единицу 7'„выбранную произвольно, новой Л~»', выбранной так, что Я"' = ' ', то К~ можно оо .1" представить в виде снмплекса глав = -- — .
на ' Л' На основании вышесказанного, уравнение (23') можно перевести в (23") В нем все адромные критерии переведены в монодромные пу'тем соединения их с множителем — симплексом, а затем подбором новых акритериальных" единиц — в критериальные симплексы Х,И~,..., Х„(а'. Легко видеть, что крптериальную единицу можно получить, приравняв адромный критерий единице, В нашем примере К, == ~' а-. Из К, = 1 как раз и получим "оо~о с 1а) аооооа хо оа з9 Что можно произвести преобразование уравнения к виду (23а), следует из того, что число критериев и в случае существования группы подобных явлений меньше числа величин и, входящих в уравнение. Следовательно, выбор единиц а,,..., а„может быть сделан произвольным образом.
Очевидно, лг критериям будут отвечатыл критериальных симплексов Хгмг,...,Х гм Остальные и- — т симплексов останутся выраженными в простых относительных единицах. Заметим попутно, что адромные критерии подобия, вытекающие из уравнения (23'), сейчас же приводятся к полид ромным умножением их на симплексы, отвечающие единицам входящим в адромные критерии. Таким образом, и мета относительных единиц приводит к первой теореме: У нодобньгх явлений критерии одинаковы. После сделанных предварительных замечаний приступим выводу второй теоремы для случая, когда уравнения связ даны в ниде системы дифференциальных уравнений. Система дифференциальных уравнений в частных произ водных второго и выше порядков является наиболее часты случаем уравнений связи, описывающих физические явления Решение их связано большею частью с непреодолимым трудностями, и даже само существование их решения н может быть установлено. Поэтому доказательство второ теоремы применительно к системе дифференциальных урав неннй приходится оговорить рядом ограничений н допуще ний.
Допустим, что для системы уравнений (23') можно сфо мулировать условия их однозначности и показать, что пр дача этих условий к уравнениям позволяет установить су ществование решения их и его единственность. Пусть р шение системы дифференциальных уравнений (23') привод к системе уравнений (о4) Ф,(х,,..., х,) =- О, которые содержат только конечные величины. Уравнения (24) есть частные интегралы, отвечающие заданным условиям однозначности. Уравнения (23') дают возможность найти критерии подобия, как это сделано вышс, 40 я преобразовать уравнения (23') в уравнения в относитель- „ых и критериальных единицах (23"). О (Х<м, Х<м, Х,,... Х ) =- О, (23") Такое преобразование оставит неизменной математическую структуру уравнений (23').
Замена в них обозначений х„..., х„на Хач,..., Х<~', Х„,,..., Х„, пРедставлающаЯ перемену единиц, подчиненных гауссовой или иной системе единиц, не изменит их решения. Следовательно, можно утверждать, что уравнение (24') будет решением уравнения (23"), причем вид функций Ф, будет у (24') тот же, что и у (24). Одновременно (24') являются решением уравнения (23'), так как (23") есть то же (23'), лишь преобразованное к новым единицам измерения. В уравнении (24') дифференциальные барьеры отсутствуют. Поэтому в тех случаях, когда критериальные величины Х <м стоят сомножителем с Х, онн могут быть объединены в полидромные критерии с одновременным исчезновением части симплексов. Учитывая, что при интегрировании в уравнениях (24) появятся постоянные интегрирования, численное значение которых определится из условия однозначности, величины, входящие в последние, войдут в уравнение (24), чему будет отвечать появление в (24') отвечающих им адромных критериев и адромных симплексов.
Поэтому уравнения (24') получат вид <Р,(Х<м,... К„... Х.+„, К„„„... 5,...) =-О (11) Это выражение представляет вторую теорему в том обоб<ценном виде, в котором она получена Т. А. АфанасьевойЗренфест. Итак, система уравнений (23'), буквенно одинаковая для группы подобных явлений, может быть преобразована в систему уравнений, численно одинаковых для всей групп между критериями и спмплексами переменных величин постоянных, входящих в условия однозначности. Единичн явления выделяются из уравнения ([!) условиями одиозна ности, различными для каждого единичного явления.
Таким образом, доказано, что уравнения (24), предста вляющие решение уравнений (23'), имеют одинаковые с н |ма критерии подобия. Как и должно было полу.шться, операци интегрирования не изменяет условия подобия. Следовательно, все выводы теории подобия можно пол чать пз дифференциальных уравнений, если решение поедставляет нелегко преодолимые трудности. Это оче важный вывод, позволяющий переносить во всех так случаях данные единичного опыта на все явления, подобн ему, и обобщать результаты опытов прп помощи теор подобия, составляя крптерпальные уравнения.
Однако для того, чтобы распространять критериальп чравиеиия иа подобные явления, надо уметь расцазиават подобно ли явление данному. Ответ на этот вопрос дает третья теорема. Е'лаза б ТРЕТЪЯ ТЕОРЕМА ЛОДОБИЯ Всякое экспериментальное исследование какого-нибудь явле'шя имеет дело с одним определенным объектом. Однако задачей исследования является вовсе не изучение одного лишь исследованного случая, но и перенесение полученных данных опыта на целый ряд явлений, аналогичных данному.
Теория подобия дает указание, на какую область явлений могут быть распространены результаты единичного опыта. Согласно первой теореме подобия, данные, полученные прп исследовании какого-нибудь явления, могут быть перенесены только иа явления, подобные ему, т. е. на явления„ которые описываются одним и тем же уравнением. Вне этой области установленные в опыте зависимости терякзт свою силу, и выводы, сделанные из них, разойдутся с действительностью. Согласно второй теореме подобия для того, чтобы данные, полученные из о ыта, можно было непосредственно распространить иа подобные явления, пх надо обрабатывать в виде зависимости между критериями подобии.
Другими словами, надо стараться установить зависимость не между отдельными величинами, характеризующими явление, а между их комплексалий представляющими критерии подобия. Вид последних можно установить, как следует из предыдущего„ только в том случае, если установлена математическая зависимость между величинами, характеризующими явление. Особое знпченне приобретает теория подобия, дающая метод постановки опытов и обработки лх результатов, когда удается составить дифференциальные уравнения, описывпющие явление, но решение их в настоящее время представляет непреодолимые трудности. В этом случае приходится обращаться к эксперименту.
Теория подобия определяет, существуют ли подобные данному явления и каковы их критерии подобия, указывает экспериментатору, какие величины надо измерять в опыта~ (а именно, те величины, которые входят в состав крптерпе~ подобия) и кпк обрабатывать результаты опыта ~а именно,-- надо устанзвлпвзть зависимость между критериями подобия' в форме критериальных уравнений).
Тзк как, по предыдущему, все подобные явления охваты~ ваются буквенно одипзковыми уравнениями, которые должны! быть однороднымп, то естественно искать степенную завися-~ мость между критериями. В случае, если имеются только~ два критерия, нанесение опытных точек на бумагу, на которой абсциссы и ордпнаты отложены в виде логарифмической сетки, весьма часто обнаруживает линейную зависимость между логарифмами критериев и тем самым приводит к нп-, хождению степенной ззвпснмостн. В более сложных случаях приходится делать ряд поисков, которые не поддаются изложению в виде общего правила.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
