Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Иными словамн, онп являются инвариантами подобия( Ьудем обозначать это свойство их слонами й1н. (инвариант) илп 1ос1п (то же самое). Следовательно, Е =- п)ет, Ю'=- й)егп плп для общеыо случая " =- Х =-1бепь ()у .ео Следует уметь хорошо отличать понятия еконстанта псдобин" и „инвариант подобия". Константа сохраняет постоянное значение во всех точках системы, но она делается другой, когда одна пара подобных явлений заменяется другой.
Инвариант подобия, наоборот, различен для разных точек системы, поскольку он изображает одну нз величали этоп системы, имекицую разное численное значение в разных точках системы; но ои не меняется при переходе от одного явления к любому другому, подобному ему. Иначе говоря, ои сохраняет одно и то же значение в сходственных точках всей группы подобных явлений. В дальнейшем мы будем пользоваться определением подобия и через константы, и через инварианты в зависи- мости от того, какое определение при рассмотрении раз- личных вопросов оказывается удобнее в смысле простоты изложения, Возвращаясь к определению подобия через константы подобия, отметим, что на первый взгляд выбор всех кон- стант подобия может казаться произвольным.
На самом деле это не так. Величины, характеризующие различные явления, не являются независимыми друг от друга. Часто между ними существует определенная связь. Эта связь, называемая законом природы, во многих случаях может быть выражена в математической форме в виде уравнения. Наличие такого уравнения, делающего одни величины зависпмымп от других, налагает п на константы подобия определенные ограничения. Нахождение зависимости между констаитамп подобия, вызываемой существованием уравнения, связывающего между собой характеризующие явление величины, составляет содер- жание теоремы подобия, которая будет изложена в следую- щей главе.
Уравнения, описывающие различные явления природы, можно рассматривать, как имеющие различную степень общности. Наиболее общие уравнения, выражающие общие законы природы, такие, как общие законы механики, закон сохра- нения энергии, можно назвать уравнениями, охватывающими делый класс явлений. Таковы были уравнения, представ- ляющие второй закон Ньютона н первый закон термодинамики, упомянутые во 2-й главе настоящей книги. Эти общие уравнения могут получать различные частные виды в зависимости от того, к каким частным видам явлений данного класса онп будут прилагаться. Так, общие уравнения механики принимают впд уравнения Навье-Стокса в применении к течению жидкости, впд уравнений колебания упругой среды и т.
и. Эти виды явлений содержат отдельные семейства однотипных явлений, отличающихся друг от друга только заданием различных условий однозначности явления. И, наконеп, единичные явления выделяются пз семейства численным заданпеи условий однозначности, которые для каждого единичного явления семейства буквенно одинаковы, но численно отличны друг от друга. д дальнейшем свойство уравнений связи, которое налагает на нпх подобие явлений, будет излагаться сперва для самых общих законов природы и для них будут выводиться теоремы подобия. Однако не меньшее значение будет иметь приложение общей теории подобия к частным случаям и к единичным явлениям, так как только таким путем окажется возможным вскрыть наиболее важные стороны учения о подобии.
Глава. 4 ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ Существование уравнения, связывающего между собой различные величины, характеризующие изучаемое явление природы, составляет необходимую предпосылку для возможности формулирования основных теорем подобия. Без этого утверждение о су|цествованпи подобия явлений свелось бы к простой констатации того, что подобные явления в геометрически подобных точках имеют подобие одноименных величин. Наличие уравнений, связывающих между собой величины, накладывает определенную зависимость на константы, через которые выражается подобие этих величин. Выявление этой зависимости составляет содержание первой теоремы теории подобия. Прежде чем вывестн ее для общего случая, покажем, как эти зависимости получаются в частном случае механического подобия.
Такой путь облегчит изложение первой теоремы п сделает общие выводы более понятными. Для частного случая подобного течения двух жидкостей первая теорема подобия была высказана еще И. Ньютоном в 1686 г. в его „Ргшс1р1а" 11]. Однако строгое доказательство теоремы было дано только 250 лет спустя, в 184я г., Ж. Бертраном [2). В своем доказательстве Бертран исходил из самого общего уравнения механики, д'Аламберова начала: ~.[~Х гн )вх ~1' гп ) ау+~~ щ ) 1- О, -+ сав у' =- и~ 1Й П4) Это уравнение буквенно (алгебраически) одинаково для обеих подооных систем.
Отличаться они будут численным (арифметическим) значением букв, входящих в уравнение (14)1 Для какой-нибудь материальной точки первого явлений будем иметь для сходственной точки второго явления соответственно будет — лю" у' .== И" - — . (14") ит" 28 смх где Х, Г, Л вЂ” проекции сил, действующих на массу, а Лч-" ~Ру — ---- и т. д.-- проекции ускорений их. сй' л-."- Мы повторим вывод Бертрана, но вместо формул ана,штпческой механики возьмем за исходное уравнение си ып второй закон Ньютона, выраженный в векторной фор,ь-. Так как в теории подобия не дается решения дифференцигчииых уравнений, а делаются выводы пз них о свойствах подобных явлений, не требуюгцие их интегрирования, т~4 векторная форма обеспечивает значительно болыпую просто. ту изложения и сокращает выкладки.
1!так, предположим, что имеется случай подобного дви1 жения двух механических систем. Оба явления должны описываться одним и тем же уравнением, так как в про, тинном случае, если бы подобие п существовало в началь; ный момент, оно затем сейчас же нарушилось бы, поскольк) изменения разных величин определялпсь бы различныма м»тематическими зависимостями. Поэтому. к побой материальной точке каждой системы приложим второи закон 11ьютона: „Раанодействукгщая всех сил, действующих на массу, равна по величине массе, умно1 женной на ускорение, а по направлению совпадает с по~ следним": Существование подобия между явлениями налагает на 1пх следующие условия: Подставим выражения для величин второго явления через „личины первого, даваемые равенствами (15), в уравнение ~14").
Получим (14"') уравнения (14') и (14т), и те же величины у', сл', только при том условии, Таким образом, имеются два связывающие между собой одни ж', т'. Эти уравнения совместимы если ссс, — ' =1. стст (16) Уравнение (16) показывает, что константы подобия не могут выбираться произвольно. Поскольку величины ); т, ссй -. связаны между собой уравнением (14), константы подобия тоже оказываются находящимися в определенной связи, даваемой уравнением (16), 'так что только трп из них могут быть произвольными, а четвертая определится из равен- ства (16), ссс, Выражению С:=- — ' присвоено название „индикатора" стс подобия, а равенство (16) называется „обусловливающпм подобие равенством", или „условием подобия".
Существуют только такие подобные явления, константы "одобпя которых подчиняются условиям подобии — уравне- "не (16). Подобные явления с иными константами подобия реально не существуют. Например, нельзя представить себе подобные движения, вызванные одинаковыми силами, если отношение их масс ст =-2, а отношение УскоРений ст1с„= 3. Реальный слУчай "ожет отвечать только отношению сил с = 6. г Равенство (16) представляет математическое выражение' первой теории подобия, которое гласят: У подобных явлении индика!поры подобия равны еди-, н!вие. Равенству (16) можно придать друтой виД.
Подставляя в него выражение для констант подобия из выражений (15), получим Это равенство указывает, что комплекс -- одинаков для) им всех подобных между собой явлений. Употребляя выбранв ное выше выражение 1бегп (одно и то же), можно равенство (16) представить в виде (16') К =- — == !4е!и. в! м Комплекс К называется пнварпантом подобия, плп критерием, и первая теорема может быть формулирована так: У подобных явлении крьнперии численно одинаковы, Найденному критерию механического подобия обыкновенно придают несколько иной вид, псклк>чая из него время.
Так как стсв = ---, «! в~ то бт ==— сч! счев Поэтому Этот критерий назван начальными букнамп имени Ньнь „„на Д/е1Хеъ 1оп). Критерий подобия может быть получен прямо пз уравения (14), без посредства индикаторов подобия. Цля этого следует перейти к относительным единицам подобия. Пусть /и жм м~„т, — такие относительные единицы, выбранные в определенных точках системы. Обозначая через и, м р =- —, М = —, 1Г ==, Т =- — силу, массу, скорость /0 ло ма ".и и время, выраженные в относительных единицах, получим /а '0 /:,и ма, ' )т' 11/1 г с„, Как было показано на примере замены критерия — кри/= тм терием — —, в выводе критериев имеется некоторый произ- /1 тм-" вол, Если имеются критерии К; =- 1с1еп~ и Ка = й1ев, то, очевидно, и их пРоизведение А; /~а = 1бет и частное К,/К,= 1бе~п то'ке инвариантны и ими можно заменить первоначальные.
31 Здесь г", /И, Цт, Т одинаковы для всей группы подобных /- явлений, а в"'- =- К0-- инвариант подобия, выраженный че~ао~о рез единицы измерения; для того чтобы уравнение (17) было Одинаково, дОлжнО быть Кв = 'и1епп Это так называемый „адромньш" критерий, сохраняющий постоянное значение, если обежать всс точки системы. /г Умножая его на — — =- Нет, получим — -- = К= 1с1еш, „ногаю вкк лидромныи" критерий, меняющийся от точки к точке системы, в соответствии с переменными величинами, из которых он составлен. А'" Полагая для двух подобных явлении К' =- К" или — =- 1, д' можно обратно вывести уравнение Введение в учение о подобии относительных единип измерення имеет большое значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
