Кирпичёв М.В. Теория подобия (1124024), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Затем поток тепла зависит еще от коэффициента тепло- отдачи х, коэффициента теплопроводиости жидкости >, и ее вязкости н, теплоемкостп С и плотности р. Из этих 8 величин Букпнгэм выделяет четыре первичных — р,ьу, тв и Ьв и ищет четыре критерия, содержащих каждый по одной вторичной величине а, й, и, С, подбирая для них комбинацшо первичных, образующих безразмерный комплекс. В этом его первая ошибка, так как, например, критерий Нуссельта ~ составлен из двух вторичных величин а и Л, В резуль/ ,те он получает критериальное уравнение аа н лап с аа1 у~! — 1 — 0 амв ' рм ' р~в' во „четырьмя критериями вместо трех, Ии, Ре и лте, как полжно быть. Соединяя первый критерий с третьим путем пх деления друг на друга, Букингэм получил бы Ми и пзбавился бы от лишнего критерия.
Вместо этого он считает, ~то в турбулентном движении второй критерий лте „можно ао учитывать", и вычеркивает его. Это вторая ошибка. Букингэм здесь смешивает гидравпаческое сопротивление с теплоотдачей. Далее автор пытается идти по пути упрощений, говоря, что опыт дает о,в в — = те ", и начинает подгонять степени других критериев и показателю 0,8. Нет возможности изложить здесь всех хучительпых поисков, в конце концов приводящих автора все-таки к сносному результату: о,в о,в Лод Со,а а=А в рол Если бы автор умножил обе части равенства на — то р Л получил бы — =- А — —, т. е.
Лли =- А Рво'а. л л г:а Этот пример достаточно убедительно показывает ошиоочность предположения, что критерий содержит только одну вторичную величину, а одновременно и ошибочность вывода Букингэмом 2-й теоремы, основанного на этом предположении. Метод Р зле я. Гораздо более удачным представ. ляется пешенпе аналогичной задачи Рэлеем. Зоо. Мдва ВЛ для показателей времени 1 =т+Ь, (б) для показателей температуры (в) для показателей теплоты (г) и для показателей плотности (д) о=О, (а') — 2 = ~+-~ — Зч — 9, 1 = "1+а, 1=4+ й. (б') (в') Из (б') и (в') следует 1= й и й=! — У. Учитывая это и складывая (а') с (б'), помноженным на 2, получим о=~+о или Р =-Т вЂ” 1 Таким образом, Ч, Н и р выражены через т.
Подставляя их значения в уравнение (23), получаем т. е. уравнение (д) исключило р, и плотность не входит в уравнение (44), а (в) и (г) оказались тождественными. Таким образом, для определения четырех величин (1, у, ч, 9 имеются три уравнения. Исключая З, имеем: Заменяя — через температуропроводность а и группируя с 1 и 1 с а в левой части, окончательно будем иметь: (45) или д!и .= С. Ре!. (45') а = С1~ и!! р' еч ), ~'.
(46) Соответственно уравнение размерности пополнится членом [э[ Поэтому уравнения показателей изменятся — 2 =- ~~ + т — - Зт! — Ь + 2а, 1=Т й+а' (а") Гб") остальные уравнения останутся без изменении. В результате складывая (а") и (б") получится, — -1 = р+ т — йт+ 2а, т=1 й и! = 1--9.
Подставляя ( и !) в уравнение (а") будем иметь Отс!ода Эта формула неполна, так как Жи зависит также от кинематпческой вязкости ч, которую Рэлей забыл включить в уравнение (44). Восполним недосмотр Рэлея и введем в уравнение еще один множитель !'! Группируем множители так, чтобы получить критерии Ми, 17е и Рг =- —. Ре ке получим: г-9 пли (47) М =- Сгге'" Рг", где гл =-1 — а — 0 и=1 — 6=я+я, Метод, примененный Рэлеем для нахождения критериального уравнении, наиболее простой и удобный.
Таким образом, оказывается возможным в отдельных случаях находить критерия подобия, не имея математического вида уравнения связи, а лишь зная, какие величины в него входят. Анализ размерности является единственным методом для разыскания критериев подобия в том случае, если уравнения связи не могут быть написаны.
В этом — большое его значение. С другой стороны, в некоторых случаях анализ размерности может привести к неверным заключениям. Перечислим этп случаи: 1. Можно ошибиться не добрав величины, которые характеризун>т рассматриваемое явление. 2. В уравнениях связи встречаются иногда размерные постоянные величины. Их трудно обнаружить при подборе величин для анализа размерности.
3. Величины нулевой размерности выпадают из контроля анализа размерности. 4. В анализ размерности могут быть ошибочно включены величины, не относящиеся к рассматриваемому явлению. 5. Анализ размерности не может провести разделения величин одинаковой размерности, но имеющих разлпчнын физический смысл в уравнешш связи. 6. Анализ размерности не учитывает условия однозначности явления и поэтому не вводит моновалснтов в крптернальное уравнение.
7. Анализ размерности бессилен проверить соблюдение двух основных правил теории подобия: а) включать в рассмотрение все уравнения связи данного явления; б) не вводить никаких других уравнений, не относящихся к рассматриваемому явлению. Мы уже видели, как Рэлсй не включил коэффициентов вязкости жидкости в число величин, характеризующих теплообмен твердого тела с потоком жидкости (случай 1-й), Точно так же, чисто случайно он избежал ошибки, так как в уравнение связи не должны были входить размерные константы (случай й-й). Вскоре после опубликования статьи Радея ([14], стр.
66) появилось письмо Рябушинского (Хайте, 1915, стр. 591), оспаривающее полученную формулу. Рябушинский писал, что если температуру рассматривать не как первичную величину, а как вторичную, выразив ее через среднюю кинетическую энергию молекул, то анализ размерности позволил а! Ж бы вывести зависимость не от одного аргумента — —, а от х а двух -'-- = р ~- -, гР ) (в механических единицах, избранных Рябушинским, размер' ность [г] = Н и [Ч = — Ц) .
В своем ответе Рзлей не сумел опровергнуть рассуждения Рябушинского. Убедительное разоблачение парадокса Рябушинского дала Т. А. Афанасьева-Эренфест [6]. С точки зрения теории подобия ошибка Рябушинского очевидна: он нарушил основные правила теории подобия. Во-первых, Рябушинский присоединил к уравнениям связи выражение температуры, связывающее ее со средней кинетической энергией молекул, т. е. с величинами 1молекулярная скооость и молекулярная масса), которые не встречаются нп в каком пз уравнений связи. Из этого уравнения получается добавочное обусловливающее уравнение и, следовательно, добавочный индикатор подобия, который и фигурирует в уравнении Рябушинского (нарушение правила 6).
Во-вторых, не существовало никаких оправданий для приравнивания друг другу констант подобия величин одной размерности, но разной природы, какими являются скорость жидкости и скорость молекул. Онн никак не связаны друг с другом. Скорость жидкости может стать равной нулю, что не отразится на скорости молекул, и, наоборот, скорость жидкости может поддерживаться постоянной, а нагрев жидко, тн увеличит скорость молекул. Связь между ними воз~икает только в сопле Лаваля, когда беспорядочное движеше молекул координируется расширяющейся частью сопла н организуется в направленное движение.
Тут мы имеем случай пятой ошибки анализа размерности. Представляется удивительным, что после такого исчерпывающего анализа ошибок Рябушинского, сделанного Т. А. Афанасьевой-Эренфест в 1925 г., семью годами позднее, в 1932 г., Бриджмен в своей книге „Анализ размерности" снова и безуспешно пытался объяснить парадокс 1эябушинского. Мы сейчас покажем, что решение задачи о теплообмене между телом и жидкостью методами теории подобия исключает самую постановку вопроса, сделанную Рябушинским. Уравнение связи для случая конвективного теплообмена в жидкости, так называемое уравнение Фурье-Кирхгофа для стационарного процесса, имеет вид (тэ пгад 7) = айч птах 7, где а — коэффициент температуропроводности, или в гамиль- тоновом обозначении 87 Преобразование его к относительным координатам прн даст ему вид: ~' ~ Ж';7 Т =- ~' ' А ту' Т 1„~о или Ра, 18'~7Т=- А~у'Т, где Ра, = --'-'- — критерий Пекле и Т --- - — безразмер.
Ио ный температурный симплекс, Г, — температура входи и 1х — выхода жидкости. Следовательно, в крнтериальное уравнение должна войта функция т(А, Ю; 7; Ре,). Однако это лишь одно из системы уравнений, описывающих явление. Движение жидкости определяется уравнениями Навье-Стокса и сплошности, кроме того, войдет уравнение, определяющее граничные условия. Полагая, что поток турбулентен и обращаясь к уравненнк~ 3-го примера главы 7 и др.„вндим, что решение должно содержать еще критерии Еи и Ре. Ввиду того, что уравнение энергии для капельной жидкости распадается на два— механическое — живых сил и тепловое 1первый закон термодинамики), можно ожидать, что и решение системы уравнений даст два уравнения: Еи =- р, (77е), Т= ~,(Ре). Явление теплообмена не определено однозначно, пока не будут сформулированы краевые условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
