Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В этом случае, составляя турбомомент и первый тепловой вектор, найдем с= О. а=О, Отсюда следует, что тепловые условия выполняются и что стереоскаляр Х, а такнсе стереовектор д обращаются в нуль (см. формулы (22) и (23)). Следовательно, выполняются такжеи объемные условия, а первое из равенств (й) показывает, что удельный объем будет постоянным: Итак, общее нормальное движение вращающейся нсидкости будет движением несжимаемой жидкое т и. Этот результат значительно уменыпает интерес к рассматриваемому движению.
В атмосферных движениях мы имеем дело не с движениями неограниченной жидкости, но с движениями жидкости, ограниченной 14'. 212 ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ с одной стороны поверхностью Земли,а с другой поверхностью разрывности атмосферы (например, поверхностью инверсии). Отсюда, очевидно, следует, что изучаемое движение может быть моделью только такого атмосферного движения, верхняя граница которого находится на некоторой средней высоте (нижняя инверсия), так как только в этом случае можно с достаточно хорошим приближением пренебречь изменением оо с высотой и считать удельный объем постоянным.
Давление в случае общего нормального двиноения определяется равенством г '~н юоу =- — ",," ((т — хо)' + (У вЂ” Уо)') — о (хо + Уо) — Уг — 2то ~ Ь'ох+ Ро (1), (68) о где 2тДг — о1 (1) хо ч, (ю) Уо (69) д„оо, ро — произвольные функции 1; Ь определяется по второй формуле (61). Назовем динамическим центром точку с координатами У =Уо| г = го. х = х„ Динамический центр может двигаться произвольно. Д и н а и и ч ее к о й осью будет прямая, параллельная вторичной кинематической оси и вторичной оси вращения. Зная движение динамического центра, мы найдем функции д, и до и, следовательно, общий характер перемещения кинематического центра и центра вращения.
Формула (68) показывает, что изобары на поверхности Земли (для з =- 0) представляют концентрические окружности с общим центром в динамическом центре. Итак, изучаемое движение жидкости является подвижным циклоном или антициклоном; центр циклона или антициклона совпадает с динамическим центром и будет изменять свое положение со временем; радиус круговой изобары, соответствующей заданному давлению, изменяется со временем. Очень легко детально проанализировать различные случаи, когда динамический центр движется прямолинейно и равномерно или по окружности, или по параболе.
Однако не будем этого делать, так как по нашему мнению полученное условие постоянства плотности не позволяет считать изучаемый случай моделью некоторого реального движения атмосферы. Заметим, что изучаемый случай дает циклон при отрицательных и положительных ~ больше чем — 2то, в интервале (О, — 2то) имеет место антициклон. Мы докажем зти положения в следующем параграфе после подробного изучения стационарных циклонов или антициклонов. Легко убедиться, проведя соответствующие вычисления, что случай Специального нормального движения вращающейся жидкости невозможен; таким образом, мы рассмотрим только случай полуконсервативного твогия движения сжимьнмой жидкости 243 движения, для которого а' и Ь' зависят только от г.
В этом случае уравнения (60) показывают, что д, и дв не зависят от 8 и, следовательно, они постоянны; а' и Ь' будут выражаться через эти постоянные следующим образом: Ь'= — — +— 2тДв Ш РВ ва ° Чв а —.— — —, /В (7О) Изучаемое движение будет, очевидно, специальным полуконсервативным, так как дС/д~ обращается в нуль. А так как г = т = О = О и до/дг также обращается в нуль, то в этом случае, очевидно, выполняются все условия динамической возможности специального полуконсервативного движения (равенства (я)). Определяя обычным образом удельный объем и давление, получим после некоторых упрощений формулы э ==- ь (х — х„), й =- О, = — 1 (у — у.), =д(), (7() Р .—...— — ' — — П (О) + Р, (й), Ь + 2тв где О = ~'! (х — хв) + (У вЂ” Ув)') — — ь~хв, и т тв 2т, ш ь+ ив ь(ь+ 2тв) ' в Г(Г 2г) П(~) д Г(с) (72) Р и рв — произвольные функции своих аргументов, а а, — некоторая произвольная постоянная.
Легко непосредственно проверить, что кинематические и динамические элементы, определяемые формулами (71), действительно будут удовлетворять динамической группе уравнений гидромеханики. Назовем и в этом случае динамическим центром точку с координатами х = хв, у — ув, г = гв. Легко видеть, что изобарами в этом движении будут концентрические окружности с общим центром в динамическом центре, который будет в этом случае н е п о д в и ж н ы м.
Таким образом, мы бу'- дем иметь так называемый стационарный циклон или антициклон. Удельный объем в рассматриваемом случае не будет постоянным; напротив, его изменение с высотой позволит нам определить вид произвольной функции Р. Ввиду того, что по нашему мнению рассматриваемая картина распределении давлений может служить моделью некоторых атмосферных дви- динАмическАИ метвОРОлогия и ФизикА АтмосФеРы 214 нсений, последний параграф нашей работы мы посвящаем детальному анализу этого случая движения вращающейся жидкости.
В заключение сделаем еще одно замечание. Мы нашли, что во вращающейся жидкости динамически возможны только баротропические движения. Мы видели также, что подвижные циклоны и антициклоны, т. е. наиболее интересные случаи, могут существовать только в несжимаемой жидкости. В баротропическнх жидкостях, удельный объем которых изменяется с высотой, допустимы только стационарные циклоны и антициклоны. Причина этого ограничения состоит, очевидно, в том, что мы предположили ~ постоянным, не зависящим от высоты и времени.
Предположив, что ~ — функция высоты х, мы увидим, что это — бароклинические движения вращающейся жидкости, которые динамически возможны. В этом случае можно построить циклоны и антициклоны с центром, перемещающимся некоторым произвольным образом, с криволинейными изобарами и, конечно, с переменным удельным объемом, зависящим от высоты. Ивменение удельного объема с высотой будет связано некоторым образом с изменением ~ в зависимости от высоты *. К сожалению, за недостатком места мы не может входить в детали этого вопроса.
1. Перейдем теперь к более подробному изучению движения вращающейся жидкости, полученного в конце предыдущего параграфа зз. Из формул (71) следует, что давление есть некоторая функция удельного объема, и поэтому мы имеем случай движения баротропической жидкости, при котором изобарические и изостернческие поверхности совпадают. Как мы уже сказали, изобары на высоте з будут в этомдвижении концентрическими окружностями, общий центр которых есть динамический центр, соответствующий заданной высоте. Произвольную функцию Г' (а), которая входит в формулы (71), можно определить с помощью аэрологических наблюдений, которые дают удельный объем, как функцию з; произвольную функцию р, (1) можно определить, если есть барограмма в каком-нибудь месте области жидкости, охваченной рассматриваемым движением.
Ввиду того, что эта функция не оказывает никакого влияния ни на барометрический градиент, ни на характер движения, мы для простоты будем считать ее равной константе, выбранной " Случай вращающейся жидкости, когда ~ зависит от з в от д подробно исследован Н. Кочкяым, сотрудпнком Главной физической лаборатории з петрограде, которыи получил бароклнпяческое двнжепнв (циклон нлн антициклон с полян>ссным центрои). Статья Н. Е. К о ч н н а «Теоретическая модель подзкжвого циклоне> опубликована з ясуркале Геофизики я месзорологкя, 1924, 1. *' В дзльцейжем мы пользуемся системой геофпзнческпх здввнц — сяТВ. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 215 соответствующим образом. Переносом начала координат всегда можно свести д и О к нулю.
В дальнейшем мы используем это упрощение. Принимая указанные упрощения, получим для О выражение з =- ~з (хз + у*) + з'г' — 2~гхг — — зг, (73) где 2т1В ь+ 2тз (74) Придавая а постоянное значение, мы получим некоторую изобарическую поверхность; пересекая ее плоскостью, параллельной горизонтальной поверхности Земли, мы получим некоторую определенную изобару.
В частности, полагая г =- О, мы получим изобары на поверхности Земли; зги изобары определяются уравнением ~з (тт + уз) = с и представляют систему концентрических окружностей с центром в начале координат. Посмотрим сначала, при каких условиях изучаемое движение образует циклон нли антициклон. Так как изобары на поверхности Земли — концентрические окружности, то мы будем иметь циклон, если давление возрастает вместе с радиусом изобары, и антициклон в в противном случае. Обозначая через г радиус какой-нибудь изобары, найдем, что условие др/дг)О определяет циклон, а др/дг (Π— антицвклон.
Так как г' = = х' + у', то формулы (71) и (72) при г = О (на поверхности Земли) дают откуда следует, что циклон имеет место, если ~ (ь + 2тз) > О, антициклон — если ~ (ь + 2 г,) <" О. При выбранной системе координат (ось Оз направлена вертикально вверх, ось Ое — на север вдоль мерцдиана, ось Оу — на восток вдоль параллели) будем иметь Т,=О, тз = тз1ЕЧ' т, = — тсоз~р, где у — высота центра циклона. Другими словами, для северного полушария 2т, будет отрицательной величиной, и можно высказать следующее предположение. Изучаемое движение будет циклоном при значениях В, лежащих в интервале ( — оо,О) и ( — 2т„оо), и антициклоном при ь, лежащих в интервале (О,— 2тз). 216 динлмичвскАя метвогология и ФизикА АтмосФкгы График функции ф = ь (~ + 2та) и интервалы изменения ь, соответствующие циклону и антициклону, изображены на рис. 1.
В пункте наблюдения у = 60' с. ш., следовательно, 2т, = — 1,26 10 '. Из сказанного следует, что циклон будет как при отрицательных ь" (циклонное вращение), так и при некоторых положительных Ь(антициклонное вращение). Назовем н о р м а л ь н ы м ц и к л о н о м циклон с отрицательным ~ и а н о ы а л ь н ы м — циклон с положительным Ь, лежащим в интервале ( — 2т„со) е. Рнс. 1 В табл. 1 приведены значения зр, соответствующие различным значениям ~. Итак, как мы видели выше, линии тока в рассматриваемом движении— концентрические окружности с центром в динамическом центре. Движение частиц воздуха вдоль этих линий тока будет циклоническим при ~ ( 0 и антициклоническим при ~(0 (рис. 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
