Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010)
Текст из файла
Труды Александра Александровича Фридмана могут быть в основном подразделены на три группы (первые две из которых во многом перекрываются): механика сжимаемой жидкости и теория турбулентности, динамическая метеорология я физика атмосферы, релятивистская космология. Статьи аго разбросаны в малодоступных журналах и до сих пор не были собраны в отдельном издании; значительная часть их появляется на русском языке впервые. В настоящем издании объединены основные работы А. А. Фридмана. Чтобы дать представление о не вошедших в книгу статьях, нами помещены авторские резюме этих статей или краткие их аннотации.
Так как научная биография А. А. Фридмана мало известна, мы сочли уместным поместить в приложении некоторые материалы о его жизни и творчестве. Научное творчество Фридмана так близко современной науке, что вряд ли было целесообразно увеличивать объем примечаний к публикуемым статьям. В целом книга дает достаточно полное представление о важнейших результатах научного творчества Александра Александровича Фридмана, пролагавшего принципиально новые пути во всех тех областях науки, которыми он занимался.
О ВИХРЯХ В ЖИДКОСТИ С МЕНЯЮЩЕЙСЯ ТЕИ11ЕРАТл'РОЙ ' ди Ю Ж др ' а дч <~~ ~Ы 7 —— др Ш дз а др дх О= — + — + — =— да ди дм д1лм дх ду дт Введем обозначения 6, =-. Х вЂ” -"-"-,-, ~й ээ йо С,=-У вЂ” —, Се=а —— ж™ сю сй ~ ~ ~~дх ~ду+~ др( з~ду дг)' 1.
Условия, полученные Гельмгольцем для вихрей, можно рассматривать как результат исключения из уравнений гидродинамики давления р. Прн этом предполагается, что давление р есть функция удельного объема ю. Мы покажем, что и в том случае, когда р не есть функция ю, когда, следовательно, в общем случае при движении жидкости меняется температура, исключение функций р и ю из уравнений гндродинамики приводит к ряду условий, содержащих только составляющие внешних сил Х, у, я, действующих на единицу массы, и составляющие скоростей и, и, и~ с их частными производными разных порядков по времени 1 и координатам х, р, 3. Эти условия необходимы при разыскании различных частных случаев движения жидкости с меняющейся температурой и позволяют решить, в случае ее возможности, задачу об определении р и а по скоростям и, о, ш при условии удовлетворения уравнениям гидродинамнки. 2. При сделанных выше предположениях уравнения гидродинамики будут ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ «о Ы~ / дш йо йо З 1 зду дХ~ Н, = — +В~ — ~~~ — +) — + ~ — ) — —,~ — — — ) аз ~ д ау а) 2'1а ау) с Сзи + С,о -1- Сзи ' с, — с, +сз +с, с, ~)з — — с и+с,+с„, даз даз даз даз т = — — — +~з — — 1з —, дз ду дз дз дбз дбз дбз дбз б,= — — +14 — 2,— дз ду ' дз дз даз даз даз даз тз == — + язв дх дз дЗ до дбз дбз дбз дбз бз = ' +~1з ~1з дх дз дз до,' да, даз ааз даз тз =' — + ~1з — рз ду дх дз дз аб, аа, аб, бз = — — — +~з — — ~)о —, ду дх дз дз о».
= ' ' а'тз (1=1, 2, 3). б, В этих формулах — суть составляющие вихрей в жидкости. При этих обозначениях условия возможности определения р и оз из уравнений гидродинамики (1) будут СзНз + СзНз + СзНз ==- О тз тз тз 6 бз бз ' аозз дозз аооз дозз дз дх ' дз ду 12) дЛ доз, ал дх дЗ ' ду Если условия (2) выполнены, то оз дЛ аозз дз дз аозз дз и р определяются квадратурами е — с +и — и си+с, +с,. а — 2 Сз+ Изи — Иди а,= с„и+ сзо+ сух * а 2 С+И* — И аз = —,— Сзи + Сзо + Сзх т ~~ +тз аз+ бз+ бз в=-~ — — — ) 1 дзо дз ' 2,ду дз )' д~о~ аозз ду дх ' 1 Сдо дио 2 '1а ду1 О ВИХРЯХ В ЖИДКОСТИ С МЕНЯЮЩЕИСЯ ТЕМПЕРАТУРОЙ 11 г ) т,ех Р с ССТ- саг+ТЮ в — -е Р дс дгс ~ дс (дс1г дс дгды/ дг (дс) где с — постоянная, д — ускорение силы тяжести; 1 дгс с с+ —— 2 дгдс с в„= О, вг = — > вг =— ) = — — Р, дс дс р и в определяются уравнениями (3). Другой случай может иметь приложения в динамике атмосферы: и =.
— ~ Р (1+ г), с с;г гс — С+г 1 Р(со Ст в =- е Р'О+ г1 2сг ,Р = Р С,д +С,дую+С,дг (3) Формулы (2) справедливы в общем случае, когда ни один из знаменателей, входящих в них, не обращается в нуль; те случаи, когда зто обстоятельство встречается, приводит к условиям, аналогичным условиям (2), но при атом в определяется не квадратурой, а линейным уравнением с частными производными первого порядка.
Введенные нами обозначения и условия (2) принимают весьма простой вид, если их выразить в векторной форме. Как следствие одного из условий (2) мы получим предложение: Вектор С с составляющими 6„6„6гесть вектор незакручивающийся, т. е. он ортогонален своему вихрю.
Как частный случай мы получаем условия Гельмгольца, выражающиеся в том, что вихрь вектора 1' равен нулю. 3. Укажем несколько приложений условий (2). 11оложим, что мы рассматриваем движение тяжелой жидкости, скорости частиц которой параллельны между собой, ортогональны направлению силы тяжести и зависят только от 1 и з, причем ось х направлена противоположно действующей силе тяжести. Решение вопроса о движении жидкости при указанных предположениях распадается на следующие частные случаи.
1. Р удовлетворяет уравнению дгс д ( дга дгс с дп + 2С ~дгдг дР ГидгомехАпикА сжиыАкмой жидкости 12 где Р выражается через дробную Бесселеву функцию и определяется уравнением Ря = 2РР' + — ' с 11. г = Рге~г + е, ~ (1) + с, э =- у' с, г + его (й (у — уе,г + сг ~ 1бс1 — с1) + — 1г е, г + ся); О здесь с„ся, с — произвольные постоянные, из коих с1 не равно нулю; Ф вЂ” произвольная функция своего аргумента; Д1) определяется соотношением д~ 1г г «) =- е31 + ее где .с д(х) = ~ е-с'Ых; о ее, се — произвольные постоянные; величина я определяется равенством й = ~'(О)/д. Так же просто решается задача и в остальных случаях, в коих 0 есть функция одной только переменной 1 или г или в коих о=с,г — — 1в(сг1+ее), г е1 где сг, е,, е, — произвольные постоянные и е1 не равно нулю.
Деасп~еутисая иряия, 10 сентября 191б г. О ДВИЖИНИИ СЖИМАЕМОЙ ЖИДИОСХИЯ Классическая гидромеханика рассматривает обычно или движения несжимаемой леидкости, когда плотность жидкости р есть физическая постоянная, или же такие движения сжимаемой жидкости, при которых плотность р есть наперед заданная функция давления р. Таким образом, в классической гидромеханике мы имеем дело с четырьмя неизвестными: тремя составля1ощими по координатным осям вектора скорости те и давлением. Четыре уравнения классической гидромеханики, состоящие из трех уравнений динамики и одного уравнения неразрывности, очевидно, достаточны при известных начальных и граничных условиях для определенности решения той или иной задачи гидромеханики.
Дело коренным образом меняется, когда мы переходим к рассмотрению движений снимаемой жидкости общего вила, играющих большую роль о движении сжимхемон х1идкости гз в динамике атмосферы, в которых плотность не есть функция давления. Четырех уравнений классической гидромеханики становится недостаточно, и для возможности ре~нения задачи о движении сжимаемой жидкости нам приходится к этим четырем уравнениям прибавлять пятое, известное под именем уравнения притока энергии.
Сложность построения уравнения притока энергии является причиной малой успешности решения задач о движении сжимаемой жидкости; представляется поэтому чрезвычайно полезным изучить свойства двих<ений сжимаемой жидкости, пользуясь тремя уравнениями динамики и уравнением неразрывности и обращаясь к уравнению притока энергии лишь в крайнем случае. Внимательное изучение классических работ Г е л ь и г о л ь ц а по теории вихрей указывает путь, при помощи которого может быть практически осуществлен только что упомянутый процесс.
В самом деле, Гельмгольц получил свои три уравнения, из которых следуют его две фундаментальные теоремы о динамике вихревых шнуров, с помощью исключения из уравнений классической гндродннамикн давления. Обобщая эту идею Гельмгольца, разделим неизвестные величины, входящие в нашу задачу, на две группы: 1) к и н е м а т н ч е с к и е э л е м е н т ы— в зту группу включим составляющие скорости и их производные по времени и координатам н 2) динамические элементы, отнеся к ним давление и плотность, а также их производные по времени н координатам. Исключая из четырех уравнений гидродинамики динамические элементы, мы получим ряд соотнон~ений между кинематическими элементами, аналогичных уравнениям Гельмгольца.
Эти соотношения будут служить необходимыми и достаточными условиями того, чтобы для око. ростей, им подчиняющихсн, можно было найти давление и плотность, удовлетворяющие четырем уравнениям гидродинамики. Эти соотношения можно назвать условиями динамической возможности данного движения сжимаемой жидкости, ибо они из бесчисленного множества кинематически мыслимых движений сжимаемой жидкости содержат те, которые возможны на самом деле. Практическое значение этих условий весьма значительно. Очень часто обстоятельства исследуемого вопроса позволяют указать некоторую общую кинематическую форму движения, содержащую ряд произвольных постоянных или произвольных функции; применяя условия динамической возможности, мы в большинстве случаев будем в состоянии определить эти постоянные и произвольные функции.
Кроме того, процесс получения условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости дает всегда метод, позволяющий определить давление и плотность жидкости, совершающей данное, динамически возможное движение. ГидгомехАникА сжимАкмой жидкости !4 ыА — + гоь [А, аг! + гг д1ч А =- О, ш где [А, тг[ означает векторное произведение векторов А и гг, а остальные обозначения общеприняты.
Кинематически обе теоремы Гельмгольца совершенно друг от друга независимы, и даже, более того, динамически возможны такие движения сжимаемой жидкости, при которых одна теорема Гельмгольца имеет место, другая — нет. Выражение, стоящее в левой части равенства (1), имеет большое значение как в вопросах о кинематике векторных линий, не подчиняющихся теоремам Гельмгольца, так и в вопросах об условиях динамической возможности движений сжимаемой н<идкости. Обозначив левую часть уравнения (1) особым символом Ье1ш А:[ Ье1ш А = —, + го1 [А, аг) 4- аг Йпг А, ЫА нетрудно убедиться, что этот символ обладает следующим свойством: (2) дс го! — = Ье1ш го1аг.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
