Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В этом случае гг является функцией х + гг1 (гг = — — сопз1) и задача решается с помощью цилиндрических функций с дробными индексами. Можно было бы выразить гг формулой и =.: — 1' (1+ з). Тогда функция г'(х) на основании уравнения (21) определяется следугощим образом р'(х) -- —— ,'Дг+ ..~ 'А ~,6611 где а, Д, Рг — известные константы, ߄— общее решение уравнения Ьесселя с индексом пе. С помощью функции Г согласно уравнениям (20) давление и удельный объем определяются следующим образом: 1 ее те — и-~- 1 Гмме-~-ег о ш —.— шее де р'(г+ е) р -' — 4 - —, + ро(1)е где ше и а — постоянные; р, (г), напротив,— произвольная функция времени "*.
Недостаток места не позволяет нам изложить еще несколько случаев движения сжимаемой жидкости, которые могут быть изучены с помощью изложенного выше метода. Ноябре 1922 г. Петрогрегд * 1 а 11 и хе Е. цпй К ш е(е Р. РцпкггопепгеГе1п ш11 Рогше(п цпе1 Кцгтоп. 1п1рсгя, Вег1вм 1909, 6. 167. ее О таком дпкжевкк см, мою заметку в Сошрг. гепб. Ране, 1916, 163, р. 219; стр. 9 настокщей кккгп. О РАСПРОСТРАНВПИИ ПРЕРЫВНОСТИ В СЖИМАВМОЙ ЖИДКОСТИ 37 О Р»хСввРегСАРЛвввьНИИ ПРЕвеЫВИОе.
ХИ в сйииййлкмой жидкости' При решении многих вопросов приходится иметь дело с явлением образования разрыва непрерывности на некоторой поверхности тех или иных элементов (или их производных), характеризующих движение жидкости. Поверхность, на которой имеет место образование упомянутого разрыва непрерывности,не остается, вообще говоря, неподвижной, а определанным образом перемещается в жидкости; равным образом уравнения гидро- механики налагают на указанные разрывы особые ограничения, а именно: связывают между собой разрывы скоростей и разрывы давления и удельного объема (или, что сводится к тому же самому,— температуры).
Задача изучения поверхностей разрыва непрерывности, образуюп»ихся в жидкости, была, сколько нам известно, рассмотрена А д а м а р о м (Найагваг»1)е для случая несжимаемой идеальной жидкости, а также для случая идеальной сжимаемой жидкости частного типа, в которой давление есть функция удельного объема. Целью настоящой заметки является рассмотрение вопроса об образовании поверхностей разрыва непрерывностей в идеальной или в вязкой сжимаемой жидкости общего типа, когда, следовательно, давление пе будет функцией только удельного объема.
Так как число функция, подлежащих определению в рассматриваемых нами случаях, увеличивается до пяти (три составляющие скорости, давление и удельный объем), то четырех уравнений классической гидродинамики становится недостаточно и приходится обращаться к пятому уравнению — к уравнению притока тепла. При этом необходимо сделать определенные предположения о характере притока тепла. Мы ограничимся в дальнешпем следующими случаями: 1) приток тепла задан наперед как функция координат и времени (например, адиабатическое движение); 2) приток тепла происходит за счет теплопроводности; 3) он сосгоит из превращенной в тепло работы диссипативных сил внутреннего трения и из притока тепла, являющегося наперед заданной функцией координат и времени, и, наконец, 4) приток тепла образуется из двух частей: а) из превращенной в тепло работы диссипативных сил внутреннего трения и б) из тепла, притекающего в силу процесса теплопроводности.
Для идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости третий случай, очевидно, совпадает с первым или со вторым; для вязкой жидкости мы будем в третьем случае иметь дело с псевдоадиабатическим движениемг коль скоро наперед заданная час»ь притока тепла равна нулю. * Н в г! а ~п а г»1 1. 1,есопв внг 1а ргораяа1!оп 1!ев опйев. Раг1в, 1903. Р» некоторых случаях уназанлжя ваавчв била рассмотрена )1юэмсм (!» и !» е ш. Весйегс!»ев ваг Г!»у»!го»1у»»а»п!»!ае. Рапв, 1903). ГИДРОМВХАНИКА СЖИМАБМОЙ ЖИДКОСТИ Прежде чем перейти к решению поставленной выше задачи, мы считаем необходимым указать вкратце на методы решения ее и на обозначения и термины, которые будут нами в дальнейшем употребляться.
1. Пусть х, у, г — прямоугольные, прямолинейные координаты какой- либо точки, а ~ — время. Рассматривая многообразие четырех измерений М» с координатами х, у, з и ц назовем гиперповерхностью Х в М» совокупность значений переменных, удовлетворяющих условию У (и, у, з, й) = О. Область аначений переменных, находящихся в непосредственной близости к значениям, образующим гиперповерхность Х, распадается на две части: в одной части / ">О, мы назовем ее положительной о б л а с т ь ю относительно гиперповерхности Х, в другой части ~( ( О, эту часть мы назовем о т р и ц а т е л ь н о й о б л а с т ью относительно гиперповерхности Х.
Рассмотрим какую-либо функцию Ф времени и координат; положим, что зта функция будет обладать непрерывными производными всех порядков в положительной области и непрерывными производными всех порядков в отрицательной области М» относительно гиперповерхности Х. Продолжим функцию Ф в отрицательную область так, чтобы ее производные разных порядков по координатам и времени были непрерывны во всей области М„заключа»ощей в себе гиперповерхность Х. Образованную таким образом функцию обозначим через Ф,; очевидно, что в положительной области Ф, будет со своими производными совпадать с Ф и соответственными ее производными. Точно так же продолжим функцию Ф в положительную область при условии, чтобы ее производные были непрерывны во всей области М„заключающей в себе гиверповерхвость Х.
Обозначим полученную таким образом функцию через Ф; очевидно, что в отрицательной области Ф совпадает с Ф. Если Ф, и Ф и все их производные не совпадают друг с другом на Х, то.мы говорим,что Ф имеет разрыв непрерывности на гиперповерхн ости Х; если производные Ф, и Ф до т порядка включительно совпадают на Х, а все или некоторые производные (т +1) порядка этих функций не совпадают друг с другом, то говорят, что Ф имеет разрыв непрерывности (т+1) порядка на г и п е р п о в е р х н о с т и Х.
Гиперповерхность Х называется в о лной или гиперповерхностью разрыва непрерывн о с т и. Сказанное только что о разрыве непрерывности скалярной функции Ф может быть аналогичным образом распространено на разрыв непрерывности векторной функции Ф, образующей, вообще говоря, не- стационарное поле векторов. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПРЕРЫВНОСТИ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ЕЯ 2. Условимся обозначать символом [Ф] разность [Ф] =Ф вЂ” Ф, взятую в какой-либо точке гипорповерхности Х; эта разность называется величиной разрыва Ф на гипсрповерхности Х.
Таким образом, будем иметь равенство дггдуадггдаг дгРдуадггдаг дгрдуадггдаг причем значение производных взято в какой-либо точке гиперповерхности Х; указанная разность называется в е л и ч и н о й р а з р ы в а дга-ааг+гф производной — „на позе рхности Х. Адамаром д РдуадггдР были установлены в общем виде условия, связывающие между собой величины разрыва различных производных на гиперповерхности Х. Эти условия называются кинематическими условиями разр ы в а н е и р е р ы в н о с т и.
Мы ограничимся формулировкой их лишь для тех случаев, которые нам будут нужны в дальнейшем. Воли Ф имеет разрыв (Ва + 1) порядка на гиперповерхности Х: ~ (х, у, г, г) = О, то величина разрыва всех производных (т + 1) порядка от Ф определяется одним скалярным элементом Х согласно формуле с даггге == Щга~,"~;, р+д+г+з= ва+1, (1) где /„= дбдх и т. д. Величину А будем называть с к а л я р о м р а з р ы в а. Если вектор Ф имеет разрыв (т + 1) порядка на гиперповерхности г;: [(х, у, з, ~) = О, то величина разрыва всех производных (т + 1) порядка от Ф определяется одним векторным элементом Л согласно формуле даг+гФ ,1 = Л~,"Я];]„р + д + г,+[э = ш + 1.
(2) Вектор Л будем называть вектором разрыва функции Ф. Непосредственное вычисление дает нам формулы [Йч Ф] = (Л, дгаср), [госФ] = [дгаа]у, Л], ГидгомехАникА сжимАвмои жидкости ЗО где Ф предполагается имеющим разрыв не ниже первого порядка, сим- вол с[/сИ означает д/д~ + и (д/дх) + Р (д/ду) + и (д/дз), причем и, х, и— составляюп[ие скорости движения жидкости (предполагаемые непрерыв- ными), а символы (а, Ь) и [тз, Ь] означают скалярное и векторное про- изведение. Точно так же, если Ф имеет разрыв не ниже второго порядка, будем иметь следующие формулы: [ЛФ] = ЛЧ/, [дгаддРРФ] .= (Л, ассад/) нгад/, [го[ госФ] = [дгаб/, [дгай/, Л]], (4) где Л есть сокращенное обозначение операции Лапласа: да д- д дай + дут + дп а Ч/ определяется равенством ч/ =- /'„+ /'-„, + /';.
3. Помимо гиперповерхностн разрыва непрерывности Х илн волны необходимо обратить внимание на особую, меняющуюся с течением времени п о в е р х н о с т ь Я, в трехмерном многообразии с координатами х, у, г, образуемую из з, когда времени ~ придается некоторое постоянное значение. Эта поверхность Я~ является одной из поверхностей семейства /(х,у,г,т)=0, где время Г играет роль параметра. Поверхность Я~ носит название ф р о н т а в оп н ы или п о в е р хности разрыва непрерывности.
Так как положение и форма поверхности 8~ с течением времени меняются, то поверхность ЯО или фронт волны, перемещается. С и о р о с т ь ю перемещения фронта волны вданнойее точке называется величина предела отношения отрезка нормали в данной точке к поверхности ЯО заключенного мен'ду Я~ и Яиаи к протекшему промежутку времени б|, коль скоро зтот последний стремится к нулю. Обозначая скорость перемещения через а и придавая ей некоторый знак, будем иметь л/ Р =-— (5) Ул Помимо скорости перемещения фронта волны при изменении Я~ в жидкости рассматривают еще скорость распространения, " Если а ) О, то поверхность перемещается в направлении нормали, идущей нз области, где ~ ( О, в область, где / .Р О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
