Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вектор разрыва скорости О обозначим через Л с составляющими ), )ь, т; скаляры разрыва первого порядка для давления, удельного объема и температуры обозначим через я, а, т, скаляр разрыва второго порядка для температуры обозначим через т'. Формула К л а п е й р о н а дает (19) + Я м Если температура имеет разрыв второго порядка, то из формулы (19) следует, что скаляры разрыва давления и удельного объема противоположны по знаку. Обращаясь к случаю невязкой жидкости из уравнений (А) (за исключением уравнения притока тепла и уравнения Клапейрона), получим соотношения Л вЂ” = — элдгай~, 4 Ю (20) (Л, агап~) = — —,. з( Разберем два случая: а) нестационарный фронт волны не равен пулю, и б) стационарный фронт волны д)/д~ = О, с = О. Для нестационарного фронта волны мы имеем продольную волну, иоо Л параллелен йтай ~, причем величина Л вектора разрыва и скаляр о определяются через я формулами Л = ю(яс), (21) я(1 — —,) = О, (22) которое показывает, что или я= О, т.
е. О = О, Л = 0 и разрыва вовсе Формулы (21) показывают, что разрыв скоростей тем интенсивнее, чем больше разрыв давления н чем быстрее распространяется фронт волны. Величина с может быть найдена нами с помощью рассмотрения уравнения притока тепла. Формулы (20) и (21) при условии, что температура терпит разрыв второго порядка, дают соотношение О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПРЕРЫВНОСТИ В СНШМАЕМОИ ЖИДКОСТИ 37 нет (для нестационарного фронта волны), или с' = 7>Т; ниже мы увидим приложение этого замечания. Для стационарного фронта волны с=О, я = О, (Л, ягай/) = О, (23) т.
е. мы будем иметь поперечную волну для скорости и отсутствие разрыва для давления. Нетрудно видеть из равенств (70) и (77), что продольная волна скорости отвечает тому случаю, когда вихрь 4> = го1 т> не имеет разрыва, а поперечная — тому случаю, когда дивергенция скорости не имеет разрыва. Иначе говоря, продольная волна есть волна сгущений и разрежений, а поперечная — волна разрывов молекулярных вращений жидкости. Рассматривая случай вязкой жидкости, предположим, что имеем дело с гидродннамическим разрывом второй ступени. Первое из уравнений (А) дает нам равенство: Л\71+ 3 (Л, ягай1) огай~ = ь>ядгай/, откуда с помощью второго уравнения (Л) найдем такие соотношения: Л~7/ = — — огай /, 3 я 4 Ч с — „,=О, Ф Л= — — ' 4 Ч у з7) Если фронт волны нестационарен, то О =-= О; для случая, когда температура обладает разрывом второго порядка,нестационарность волны влечет за собой полное отсутствие разрыва второго порядка для скоростей и разрыва первого порядка для удельного объема н давления.
Если фронт волны стационарен, то О произвольно. Во всех случаях мы имеем дело с продольной волной, причем величина разрыва тем больше, чем больше разрыв давления и чем меныпе вязкость жидкости. Из формулы (12) следует, что для продольных волн разрыв второго порядка скорости ие только вихри„но и так называемые вихри второго порядка й' = гоР т> = гоь >з не обладают разрывом непрерывности; разрыв непрерывности здесь сказывается на градиенте дивергенции.
3. Представляется весьма интересным рассмотреть, какие динамические условия могут быть налоя>ены на разрывы в т о р о г о порядка скоростей при движении невязкой сжимаемой жидкости. Уравнения дви>кения показывают в этом случае, что разрыв давления должен быть не гидгомкхАникА сжимАкмои жидкости 38 ниже второго порядка; разрыв плотности для стационарного фронта волн может быть каким угодно (не ниже первого порядка), для нестационарного фронта волны этот разрыв должен быть не ниже второго порядка. Если мы желаем получить более подробные указания на характер разрыва скоростей, то должны обратиться к так называемым условиям динамической возможности движения, т.
е. к тем соотношениям между составляющими скоростей, которые получаются путем исключения давления и удельного объема из уравнений гидродинамики и представляют собой естественное обобщение уравнений Г е л ь м г о л ь ц а*. Одно из таких условий может быть написано следующим образом: (н, а) = о, где ое а 61=хг — —, сч Н = — го11У, Для разрывов второго порядка относительно скоростей будем иметь следующие равенства: (а) =о, (Н) =' — „, (д йУ,Л); (й( предыдущее равенство напишется таким образом: — г((дгай1, Л), ягайр) = О, Ф 1.
Переходя к установлению уравнений характеристик, рассмотрим сначала случай невязкой жидкости, в которой удельный объем го есть функция давления: ю = ю(р). е У г1е й ша и А. Бог!ев соогЬ|11оов йвив эв 11ошйе А гешрегагоге таг1аЬ1е.— сооврк гевй., 1916, 163, р. 219 — 222; си. стр. 9 нестоящей книги. ибо 1т = ов йтай р. Таким образом, или мы имеем дело со стационарным фронтом волны, или, если фронт волны нестационарен, вектор разрыва лежит в плоскости, нормальной как к поверхности фронта волны, так и к иэобарической поверхности. В этом последнем случае, как показывает формула (4), вихрь второго порядка скорости имеет разрыв, лежащий по касательной к линии пересечения нзобарической поверхности и поверхности фронта волны.
О РАОПРОстРАнвнин пРкРИВНОсти В сжимакмОн жидкости 39 Рассматривая первые два из уравнений (А) и полагая, что будем иметь уравнение характеристик Н (/) = — Н' ( — У'+ в 7/) = О, откуда, вводя плотность р = 1/в, будем иметь известные результаты: 1) а = 0'„или 2) и = $'„+ 1/ Ф х и соответственно 1) с=О или 02) с=+ ~г +'. Таким образом, мы имеем нлн стационарный фронт волны и поперечную волну, или нестационарный фронт волны и продольную волну; в этом втором случае фронт волны распространяется со скоростью звука.
Так как разбираемый случай подробно изучен Адамаром и другими авторами, то мы на нем не останавливаемся. Переходя к случаю вязкой жидкости, в которой удельный объем есть функция давления и в которой мы имеем гидродинамический разрыв второй ступени, мы без труда составим Н (/): ! 3'" 3 Чв 0 Чв — — /./х Д03 в/„ — Чв~/ — —./', дв 3 — Чв /,/„. /0/х 3)в З /0/* Н(/) = — ВЗ вЂ” Чв~Ч вЂ” — /. 0ЧВ 0 з Вычисляя этот определитель, найдем Н(/) =. — "' (/Н,(/) = О, где Н,(/) = — % Чз(ЧУ.1 Исключая случай несжимаемой жидкости, будем иметь У = О, т. е. будем иметь стационарный фронт волны.
Волна, как мы видим, будет продольной, а разрывы удельного объема и давления будут произвольны- ГидромкхьникА сжимАкмой жидкости ми; скорость перемещения определяется равенством р = $;, скорость распространения обращается в нуль. 2. Рассмотрим теперь движение сжимаемой невязкой жидкости с заданным притоком энергии (формула (С1)); рассматривая гидродинамический разрыв первой ступени, будем иметь следующее выражение для Н У) — Ьт )Н (ц вас) -- О сс ' хр ср где х= —" с, откуда или У =- О, или Н = -+ у'хЛТ )Т7~. В первом случае мы имеем стационарный фронт волны и поперечную волну; в этом случае р = 'г'„; с =- О. Во втором случае мы имеем нестационарный фронт волны и, следовательно, продольную волну; скорость распространения с = +- у'хЛТ (сс = у' хЛТ называется адиабатической скоростью звука), скорость перемещения р =- $'„+.
ф'хЛТ. Положим далее, что сжимаемая невязкая жидкость получает тепло с помощью процесса теплопроводности, тогда Н Ц) будет Н У) УДуНз ~с' Ду) О Р откуда или У =- О, или У = — ~ у'ЛТ "у'7~. В первом случае фронт волны стационарен, и = с'„, с = Π†вол поперечная; во втором случае фронт волны нестационарен, с = -+- )ГЛТ (ст = )/ЛТ называется изотермической скоростью звука), и = г„.+ ЛТ— волна продольная. Для стационарного фронта волны мы будем иметь отсутствие разрыва первого порядка в давлении и удельном объеме. В случае, когда фронт волны нестационарен, мы можем, пользуясь уравнением притока тепла, связать скаляр т' разрыва непрерывности второго порядка для температуры со скаляром разрыва цепрерывности давления. Простые вычисления дают нам т'Ля Г'Т Таким образом, разрыв температуры тем интенсивнее, чем больше разрыв давления, чем больше сама температура и чем меньп1е теплопроводность; последнее обстоятельство понятно и из непосредственных физических соображений.
Таким образом, в разбираемом случае все элементы продольной волны могут быть выражены через скаляр разрыва давления (см. формулы (21)). Табяииа Т Распростракеиие Способ притока тепла ерокта юлкы Характер раарыза Динамические услоаия Нввявсая жидяссшь Стациоларвый, с=О, с=у„ Л =- во ! яс ) яа Нестациопарпый, с=~~l о Ир .в Гар др о — — — — я с' Стационарный, в=О, с =У„ Гидродипамический , 'Л = ы ~ яс ~, разрыв первой ступ - с я , пи. Продольиая волп с — + с, — = О р па Стационарный, с=.О, с=ус Давлевие — задавпая фуикция плотности Приток тепла — задаввая функция времени и коордииат (например, здпабатическое движение) Приток тепла прп по- мощи процесса тепло- проводкости Нестациояарпый, с= ~со, =У„~с, со =- )УНТ Нестациопарлый, с=+с, р' и =У„~с с„= Г'ЛТ Гидродипамический разрыв первой ступе- ни. Поперечная волна Гидродипампческий разрыв первой ступе- ни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
