Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 5
Текст из файла (страница 5)
О РАспРостРАнении пРеРыВЯОсти В сжимАвмои жидкости 31 определяемую следующим образом. Совокупность жидких частиц, расположенная к моменту 1 на поверхности Яь займет к моменту 1 + й особую поверхность Я„м, отличную от Я~ и Ямм, проведя в данной точке нормаль к поверхности Яь мы получим определенный отрезок этой нормали, заключенной между Ь|,м н Яем. Деля этот отрезок на протекший промежуток времени Ь и переходя в полученном отношении к пределу прн 6~ О, получим скорость распространения фронта волны. Обозначая зту скорость через с и придавая ей соответствующий зкак, будем иметь (е) Называя нормальной скоростью проекцию скорости жидкости на нормаль к Яо идущую из области, где /( О, в область, где () О, и обозначая нормальную скорость через г'„, будем иметь $'„=— (х+ Л~+ "~т у ~7( откуда а условие поперечности волн напишется в виде (ягаб/, й) =. О, где Л вЂ” вектор разрыва. (9) Фронт волны мы назовем с т а ц и о н а р н ы и, если скорость распространения его равна нулю; в этом случае фронт волны состоит из одних и тех же частиц, а скорость его перемещения совпадает с нормальной скоростью.
В дальнейшем мы увидим, что фронт волны большей частью при распространении разрывов в сжимаемой жидкости будет стационарным. Нри рассмотрении распространения разрывов в жидкости мы, имея дело с разрывом какого-либо вектора Ф, можем разделить волны на три типа: 1) п р о д о л ь н ы е в о л н ы, когда вектор разрыва Ф совпадает с направлением нормали к фронту волны; 2) и о и е р е ч н ы е в о л н ы, когда вектор разрыва Ф перпендикулярен направлению нормали к фронту волны; 3) волны смешанного типа, когда имеют место другие случаи. Очевидно, что условие продольности волны выразится равенством (угад 1, й) =- О, (8) гидгомкханика сжимакмой жидкости Если мы имеем разрыв первого порядка, то для продольных волн найдем (госФ] = О, (1О) а для поперечных будем иметь (г]1«Ф] = О. (11) Точно так же для разрыва второго порядка найдем для продольных волн равенство (гоб гос Ф] =- О (12) и для поперечных 1а„"ги~.е>+ ~ уа„"'и~'>+ г"~ > = О, (14) с=ге->-1 е а=1„2,..., т+и.
о=1 хе Знаки 1 и 1 означают суммирование по всем комбинациям лехе х ременных 1, х, у, з соответственно по две или по одной; величины а, а„"" и Р<"> могут зависеть, вообще говоря, от 1, х, у, г, от всех иы> и от первых производных ии>, иге>,...,и("'>.
Система уравнений (14) дает возможность образовать уравнение характеристик следующим способом. е См. А д а м а р Ж., стр. 27, а также работу С о «1о «1. Б«г 1'1«гебтат]ов г]ее бс«ас>оае а«х бептдее рагг]е11ее 4«ее«о«4 огдгв раг 1а шбсеобе бее сагасгепег]о«ее. Рапе, 1902. (дгаб д]т Ф] .= О, (12) 4. Пусть элементы, разрывы непрерывностей которых мы изучаем, удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям; положим, чг ~ эти дифференциальные уравнения будут для некоторых из изучаемых нами элементов второго порядка, а для других — первого порядка. Так как на гиперповерхности разрыва непрерывности Х задача Коши по необходимости имеет не одно решение, то очевидно, что гиперповсрхность Х должна быть характеристикой для только что указанной системы дифференциальных уравнений.
Формулируем общеизвестное правило нахождения характеристик системы дифференциальных уравнений*. Обозначим искомые функции через им>, а = 1,2,..., т, т + 1,... ..., т + и; пусть относительно первых т функций система наших уравнений будет системой второго порядка, а относительно последующих и функций — системой первого порядка. Напишем наши дифференциальные уравнения следующим образом: О РАспростРАНВнии прнрыВност'и В сжимАВмой жидкОсти йз Составим (т + п)а выражений, Й„. =- > а„"'1,1 а = 1, 2,..., т и = 1, 2,..., т + п.
(15) Из этих (т + н)а выражений образуем определитель Н(У) = 1~ и .!1; (18) уравнение характеристик получим, приравнивая этот определитель ну- лю: откуда, полагая, что функции и< > отвечает скаляр разрыва Л„будем иметь $й+и ~ Л.() „. = О, и = 1, 2,..., т + и. (18) Эта система т + и однородных линейных уравнений относительно Л, имеет определителем своим Н (7), т. е. определитель этой системы в силу уравнения (17) обращается в нуль; если по крайней мере один нз миноров Н (7) отличен от нуля, то уравнения (18) определяют все Л, через одну из этих величин.
В противном случае число произвольных Л, увеличится; детальное изучение системы (18) для уравнений гидродинамнки будет выполнено нами в дальнейшем. 3 А. А. Фридман Нц) =-О. (17) Таким образом гипврповерхность Х определяется с помощью дифференциального уравнения (17); при этом, конечно, предполагается. что разрывы функций и<'>, и<'>,...,и<"'> не ниже второго порядка, а функций и<-и'>, и<н"а>,...,и< "> ие ниже первого порядка. Уравнение (17) может служить как для определения функции 7, так и для решения вопроса о скорости перемещения и распространения фронта волны; в самом деле, из уравнения (17) можно определить ><, а тогда формулы (5) и (6) дадут нам рис. Уравнения (14) могут служить для изучения взаимной связи разрыва непрерывности различных элементов мшкду собой; они дают так называемые д и н а и и ч е с к и е у с л о в и я разрыва непрерывности.
Пользуясь символом [ ], иэ уравнений (14) без труда найдем н «и+и ~1 [ а««[и<«>) + ~~ 1 аа«[и<«>) О «=а «и «=«ал.га ГидромкхАникА сжимАИИОЙ жидкОсти 34 х. Переходя к изучению распространения разрывов непрерывности в сжимаемой жидкости, установим прежде всего уравнения гидродинамики. Обозначая через т1 вектор скорости, через р, в, Т вЂ” давление, удельный объем'и абсолютную температуру и через е количество тепла, притекающего к единице объема в единицу времени, получим для сжимаемой не- вязкой жидкости (идеального газа) следующие ур и'р — = — о1йгай р+ Х', И1 Ы1а1з а С1 с„Ыр е1з = ср Тй1ти+ д ю — „,, азнения: (А) — — Кг й, + Ч~АО+ — Ксеней и)+Х Нр 1 Н1ва 1)1У И =— ~й (В) зю = срТ йти + — в— св "Р В ~п' рю = г1Т, где Ч вЂ” коэффициент вязкости. Будем предполагать, что з может зависеть от времени, координат и скорости жидкости.
Сообразно тому, что нами сказано было в начале настоящей заметки, величина с в уравнениях (А) и (В) может иметь одну из следующих форм: з = Е (~, х, у, х), (С,) е=йЛТ, (С,) е = Е(8, х, у, з) — Ат| ~(и, Ьи) + — (и, цгай1)1ти)~, (Сз) е =- Ь Л Т вЂ” Ад ~(и, Ли) + — (и, йгасогчю)~).
(С1) 1 причем г" — вектор действующих на единицу массы жидкости сил, с„и с, — теплоемкости при постоянном давлении и объеме и Л вЂ” газовая постоянная. Точно так же уравнения двюкения вязкой сжимаемости жидкости напишутся следующим образом: О РАспРостРАнении пРеРыВности В сжимАемОЙ жидкОсти 35 Здесь Š— заданная функция своих аргументов, й — коэффициент внутренней теплопроводности, А — термический эквивалент работы. Равенство (Сз) отвечает тому случаю, когда приток тепла задан наперед; для адиабатических движений Е = О.
Равенство (Сз) отвечает случаю, когда тепло притекает прн помощи процесса теплопроводности; равенство (Сз) соответствует предположению о притоке тепла двумя способами: с одной стороны, обращением в тепло работы диссипативных сил внутреннего трения в жидкости и, с другой стороны, наперед заданным образом. В случае псевдоадиабатических движений Е = О; наконец, равенство (С,) отвечает случаю притока тепла, как с помощью теплопроводности, так и с помощью обращения в теплоту работы диссипативных сил трения. Дальнейшая наша задача будет заключаться в построении уравнения характеристики для каждого из разбираемых здесь случаев, в установлении скорости перемещевия и распространения фронта волвы и в исследовании динамических условий разрыва непрерывности.
Всего нам нужно будет разобрать шесть отдельных случаев; кроме того, для полноты и в целях лучшего выяснения метода мы вкратце разберем случай, рассмотренный еще Адамаром, когда давление есть функция удельного объема. 2. Уравнения (А) и (В) распадаются на два класса; к первому относятся все уравнения за исключением уравнения притока тепла; в уравнениях этого класса нет надобности делать какие-либо добавочные предположения о характере притока тепла, так как эти уравнения остаются теми же самыми при любом способе притока тепла.
Вдинственное уравнение второго класса — уравнение притока тепла существенным образом меняется от того способа, которым тепло притекает к жидкости. Уравнение характеристики и определение скорости перемещения и распространения фронта волн требует, конечно, знания способа притока тепла к жидкости. Наоборот, динамические условия, налагаемые на разрывы скорости, давления, удельного объема и температуры, в значительной своей части могут быть получены, не привлекая к рассмотрению уравнение притока тепла. В дальнейшем мы будем рассматривать разрывы непрерывности таких величин: вектора и, давления р, удельного объема ю и температуры Т.
Рассмотрим следующие два класса раарывов: $) вектор скорости и имеет разрыв первого порядка, давление и удельный объем имеют разрывы также первого порядка, а температура может иметь разрыв как первого, так и второго порядка. Этот класс разрывов назовем г и д р о д и н а м и ч е с к и м р а з р ы в о м и е р в о й ступени; 2) вектор скорости и имеет разрыв второго порядка, давление и удельный объем имеют разрыв первого порядка, а температура может иметь 3» ГидгомехАнинА сжимАБмОЙ жидкОсти 36 разрыв как первого, так и второго порядка.
Этот класс разрывов назовем гидродинамическим разрывом второй ступени. В случае идеальной (невязкой) жидкости мы будем большей частью рассматривать гидродинамический разрыв первой ступени; в случае вязкой жидкости мы остановимся на гидродикамическом разрыве второй ступени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
