Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 8
Текст из файла (страница 8)
зз. ггавнвния тггвэлвнтного движкния 47 приближения можно рассматривать как постоя н н ы е (п о с т у л а т 1). Из этого постулата следуют обе главные теоремы алгоритма Рейнольдса: % =Ф (8) (й = чФ. (4) Кроме того, имеет место дистрибутивный закон ч + «р<=Р+ «г (5) и как специальный предельный случай его — дифференциальная формула (6) где г означает одну из четырех основных переменных г, э, у, г. Такие функции, для которых при соответствующем выборе масштаба осреднения (т.
е. величин Т, Х, У, Я в формулах (1) и (2)) приведенный постулат с достаточной степенью приближения имеет место, мы назовем. ограниченными флуктуационными функциями. Предполагаем в дальнейшем, что основные в динамике атмосферы функции, именно компоненты скорости и, э, ю, удел-вый объем «э и давление р, обладают этими свойствами. Моменты ией»1»елации Пусть у и ф — какие-то две ограниченные флуктуационные функции.
Назовем «моментом корреляции» функций ф и ф среднее значение: (7) Эти моменты корреляции, составленные для различных пар элементов, как известно, играют важнейшую роль среди характеристических параметров статистического распределения различных систем значений рассматриваемых функций внутри области 6. Так, В (у, «р) является квадратом «рассеивания» у, в то время как частное Л (у, «р)(~ГК (ф, у) В (ф,ф) представляет «множитель корреляции» для ф и ф. Шесть введенных Рейнольдсом характеристик представляют моменты корреляции для трех компонент скорости: Л (и, и) и т.
д. Для символа Л (~, «р) действительны коммутативный и дистрибутивный законы: гг Ф Ч) = В (В Ф) (8) Л (Ч «г«+ Ф») = В (Ч, Ф ) + Л (т, % ). Гндгомехлника сжимаемой жидкОсти Введение нонентов евнин Мы теперь перейдем к существенному обобщению схемы Рейнольдса, если введем операции, которые относятся к статистическим связяммелтду одновременными положениями двух соседних точек пространства или (еще .более общо) между положениями двух различных «мировых точек». Итак, пусть >р (», х, у, г) и«у(г, х, у, г) — две функции времени и коор- динат. Положим фт .= ~р(» — т, х — $, у — т(, г — ь), (а) тр» =-тр(1+ т, х+$, у+ «(, г+ ~) и образуем момент корреляции Л (три тр«).
Здесь при построении сред- них значений изменяются только значения основных переменных т, х, у, г, а приращения т, $, тт, Ь рассматриваются как постоянные параметры. Введем обозначения 1 — т = гы х — $ = х„у — т( =- у„ г+т "1» х+» х» у+т( у» г — ь= г„ (Ь) г+ Ь = — г».
Величину Л (~рю тр») можно, таким образом, рассматривать либо как -функцию восьми аргументов: (, х, у, г; т, й, т(, ь, либо как функцию аргументов рю хт, у„г,; гю х», у», г». В первом случае мы обозначаем ее через Л„л, во втором — через Н»ю Итак, имеют место определения Л (~рю «р») = Л„»(т, $, т), ь; 1, х, у, г) =- Л, «((ю х„у„г,; »„х„у„г»).
(10) Величины Л,, назовем моментами связи*. Правила оиерап(ий е моментами евнин Символ Л,е обладает следующими свойствами. Во-первых, Нег> некоммутативно по отношению к >р и «р, но имеют место соотношения Л„, «(т, сь, «Ь ь»; г, х, у, г) = Ле, е ( — т, — ч, -- т), — ь; », х, у, г). (11) Из закона дистрибутивности для Л (ю, тр) следует такое же свойство и для вновь введенного символа Л...>. Лт т,«=Лт»+Лт с. (12) «А.
А. Фридман вместо вошедшего в научную литературу термина «момент связи» употребляет термин «Егйа1«ппбвшошеп>» — момент сохранения. Это навменовавие ов обосновывает так: «Величины Л е мы называем моментами сохранения, так как в них находит выражение «тенденция сохранения> отклонений от соответствуюпюх ,средних авачевий, а именно «тенденция сохранения» по отношению как ко времевнйм, так и к пространственным в»меневивм» (см. Г>иблвографню работ А.
А. Фрпдмана, .Рй 38, стр. 397). диФФеренциАльные РРАВпения туРБулентнОГО движения 49 Если приращения т, $, г), 9 обращаются в нуль, то момент связи превращается в момент корреляции Рейнольдса Л. Р(0, О, О, 0; 1, х, у, г) = Л Ор, 19). Дальше имеют место дифференциальные формулы аа =- 2 (д + д )Люа~ 1 д д ' аа (14) 1 д д аа,а Х(д дс) ад дЧ> Оь *а, Ев а)) ~ дра) Л а„=- Л(ср(1„х„у,, гд), "' аю На основании закона днстрнбутивности, кроме того, ( н дар) даа н а дга Мы получаем дифференциальные формулы д аа = д —,Ла,а 'ад (е) н аналогично д Ла., = — Л., „—,а дад Выралаая из соотношений (10) и (Ь) производные Ла,а по зг и зг через производные ла,а по з и о, мы получим в конце концов формулы (14).
Исходя из полученных соотношений, дадим здесь еще две формулы, которые выражают обычные средние значения через Ла,ю Напишем сначала формулу (13) в сокращенных обозначенияха Л(ар др) = (Л,а)а. Отсюда следует при помощи (7) %Ф = Яду + (Л, а)а. 4 А. А. Фр двдд где г, как и раньше, означает одну из четырех переменных 1, х, у, г, а о — соответствующее приращение т, 5, ц, ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения (10) следует сначала при помощи (а) и (Ь) ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Далее из (15) вытекает при помощи дифференциальных формул (6) и (14) д фд + 2 д (~ з)з+ х ~ д ~ '«)з (16) Дополнительные предиолеазепиа Развиваемые до сих пор рассуждения требуют только предположений, которые лежат в основе теории Рейнольдса, и никаких других. Однако теперь мы должны ввести два существенных ограничения, без которых наш алгоритм недостаточен для исчерпывазощего обсуждения гидродинамических уравнений.
Сейчас, имея только правила, установленные для вычисления выражения вида Л зз, мы не можем подойти к этим уравнениям. "' ез Во-первых, мы должны предположить, что моменты связи Л,з принимают заметно отличающиеся от нуля значения только в малой окрестности мировой точки (», х, у, з), или иначе в малой области Г значений приращенийт, з,з),ь,такчто внутри области значений Г все осредненные функции (фи т. д) можно рассматривать как константы (как мы это предполагали в постулате 1 для области 6) (п о с т у л а т П1.
Во-вторых, предположим, что и о с р а в н е н и ю с м о м е нтами второго порядка зззз и их производными можно пренебречь моментами высших порядк о в (п о с т у л а т 111). Это имеет место, например, если предположить, что осредненные с помощью образования средних значений при принятом за основу «масштабе сглаживания> колебания (ф' = ф — ф) можно рассматривать как систему волн, имеющих не только малый период (что требуют постулаты 1, 11), но также и малую амплитуду. На основании последнего постулата устанавливаются приближенные формулы для вычисления средних значений и моментов корреляции сложных выражений, которые зависят от многих флуктуациояных функций.
Мы дадим вывод не общей формулы, а только совершенно специального выражения, которое нужно непосредственно для нашей задачи, а именно: Л (фз фз фз) = фзбн(фп фз) + фзбн (фз1фз). (11) Доказательство. Если мы введем моменты корреляции третьего порядка, положив Л (фз фз фз) = (фз — фз) ' (фз — фз) ' (фз — фз)~ диФФеренциАльные уРАвнения туРБулентного движения 51 то с помощью метода Рейнольдса легко проверить следующую точную формулу: Л (р р ррв) = т Л (рв, Чрв) + твЛ (рр М + Л (т. Ъ, рра). Если на основании вышеупомянутого постулата здесь пренебречь третьим членом в правой части, то получится приближенная формула (17). Формула (17) дает искомое преобразование выражения Л ~ ае ав на основе определения момента связи по формуле (1()) прн помощи постулата 11 и дифференциальных формул (14): ар ~-~а а1 Л ае =- — Лв,~+ —.7( — + — ~ Лв,ю :р, ~ дв в' 2 (дв до~ ав два 1-/д д~ Л а, = — Ль„+ — 1',— — — ~Л,„.
у „р дв '" 2 (дв да) ав (18) Зтн формулы представляют, очевидно, обобщение формул (14), которые получаются, если в (18) подставить 7' = 1. Вывод дифференциальных уравнений турбулентного движении ар ав —, ди ' др Ф— дд * ар О) — — у дв (19) /ди дв двв ~ Для удобства дальнейших рассуждений обозначим пять неизвестных фУнкЦий и, Р, кв, Ф, Р соответственно чеРез Р„ РРз, РРв, РР„ РРв и запишем пять уравнений (19) сначала в форме (20) Применим теперь к гидродинамическим уравнениям операпии, полоненные выше.
Ограничимся сначала случаен адиабатического движения идеальной тяжелой сжимаемой жидкости и напишем уравнения движения в форме уравнений Зйлера: ГИДРОМЕХАНИКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ д<Р» или еще короче, подставив — — Г» = ФО в форме (»=1,2,3,4,5). (20а) Попытаемся так преобразовать эти уравнения, чтобы в окончательную систему уравнений больше не входили бы флуктуационные функции <р», а встречались бы только средние значения »р» и характеристики турбулентности Л,» „. Относительно этих последних мы докажем, что они удовлетворяют требованиям, налагаемым на полную систему характеристик. Для упомянутого преобразования исходим из двух операций: 1) простое построение среднего значения и 2) построение моментов связи.
Если не пух<но отмечать, какая именно функциональная зависимость существует между величинами Л„,<, (т, с, Ч, ь; ц х, р, з) и их восемью аргументами, мы заменим это выражение простыми скобками (»р, <(»). Образуем теперь следующие уравнения: Ф» = 0 Ф» = 0 (р», Ф,) =0 (Фм <рв) =0 (21) (22) (23) (5 уравнений), (25 уравнений), (25 уравнений). Посредством последовательного применения правил, поясненных вышо, уравнения (21) — (23), очевидно, преобразуются желаемым способом. Окончательные уравнения содержат только следующие величины: 1) пять средних значений <р» и их производные по времени и координатам; 2) 25 моментов связи (»р», <рв) и их производные, во-первых, по времени и координатам, во-вторых, по приращениям т, ч, ц, ь; 3) особые значения, которые принимают упомянутые в 2) функции и их производные при т = ь = ц = ь = 0 Заданные в 1) и 2) функции должны еще удовлетворять следующим дополнительным условиям: а) пять величин <р» зависят только от времени и координат и,напротив, не зависят от приращений, что и дает 5 4 = 20 уравнений вида — — =О, (24) б) (<р», <рэ) подчиняются условиям (11), что доставляет 25 конечных соо<- ношений между 50функциямиЛ»„„(т, $, ц,»",; »,х,у, з) иЛ„,,„( — т,— $,— <1, — <,; 1, х,у, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
