Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Заменим уравнение (1) приближенным уравнением — =/(У, х) + А(У,х), зу (3) где функция А (У, х) также удовлетворяет условию Коши — Липшица. Пусть, кроме того, при всех рассматриваемых х и У будет ~ А (У, х) ~ ( б, где б — некоторое постоянное число. Тогда решзния уравнений (1) н (3), определяющиеся одними и теми же начальными заданиями, при х = хе должно быть у =- ую а У = Уе = уе различаются во всяком конечном интервале для х на величину порядка б~.
В силу сделанных предположений рассматриваемое решение уравнения (1) есть у (х) = Пшу„(х), где у„(х) определяются последовательно из уравнений у„(х) =- ~ ~ (у„,, х) г(х+ уе (и = 1, 2, 3,...). г~ Точно так же решение уравнения (3) есть У (х) = )пп У„(х), где п -г сю х и У„(х) = ~ ~(У„„х)Нх+ ~ А(У„„х) г1х+ у,. (б) Последовательно оцениваем разности У„(х) — у„(х); прежде всего в силу х Уг(х) — уг(х) = ~ А(умх) Нх х, ч Си., например, В 1 е Ь е г Ь а с Ь Ь. ЫйегевГга!д!е1сЬивЗев. 7. Брггпдег., 1922. О пгивлижинных услОВиях динамической ВОзмОжнОсти дВижкния т1 и условия относительно А (У„х) получим ! Уд (х) — уд (х) ! ( 6 ! х — хе !, Далее х х Ут(х) — уд(х)= ~ [~(У„х) — у(у„х)) Ых+ ~ А(Уюх)Их, х, но !у(У„х) — Г(Ч„х)!<М !У,— дд!<М6!х — х,!, следовательно, !У (х) — уд(х)!<Мб * .*' +6(х — х.!.
Идя таким образом дальше, докажем общее неравенство ...+М6 ~--,"6+6(х х.! или а /огйогд, !У (х) — у„(х)!(6!х — хе!езди-"~. (б) Перейдем теперь к оценке разности У (х) — у (х) решений уравнений (3) и (1): ! У (х) — у (х)! = ! У (х) — У„ (х) + У„ (х) — у„ (х) + у„ (х) у ( )! х~ ! У(х) — Ух(х)! + ! У„(х) — у„(х) !+ !у(х) — у„(х) (, и так как разности) (х) — У„(х), у (х) — у„(х) стремятся к нулю при неограниченном возрастании и, то, принимая во внимание еще (6), окончательно найдем ! У (х) — У(х) ! Я 6!х — хе!емких-"~ (7) что и доказывает высказанную теорему. Для системы уравнений в частных производных, при некоторых ограничениях, теорема остается справедливой: решение некоторой приближенной системы уравнений тем блинде к решению точной системы, чем меньше ошибка в самих уравнениях. 3. Рассмотрим теперь систему трех уравнений е: угад(Р (х, у, 2) = йд (х, уд 3) (8) * Относительно обоэяачеамй смотри упомянутую нидзе работу А, А.
Фрядмаяа. ГидгомехАИИБА сжимАемОЙ жидкости с неизвестной функцией Р(х, у, з), где вектор Я (х, у, з) имеет составляющие по осям координат Я„(х, у, з), Я, (х, у, з), Я, (х,у,з). Условие разрешимости системы (8) состоит в выполнении векторного равен- ства (9) гоьй = О. Если уравнение (9) не выполнено, уравнению (8) точно удовлетворить нельзя.
Положим, что мы построим функцию Р (х, у, з) такую, что 8гаг) Р = Я + е, где е (х, у, з) есть достаточно малый вектор с составляющими з„ез, е,. Тогда мы можем считать функцию Р(х, у, з) приближенным решением системы (8). Функцию Р— приближенное решение системы (8) — можно искать (в том случае, конечно, когда такие приближенные решения вообще существуют) различными способами, в зависимости от того, как оценивать получающуюся ошибку в уравнении (8). Мы остановимся ка довольно грубом, но простом способе.
вычисления функции Р (х, у, з). А именно, определим последнюю равенством х Ю с Р (х, р, з) = ~ Я„(х, у, г) г(х + г Я„(а, у, з) ггу + ~ Я, (а, Ь, з) Нз, (11) а Ь Ю где а, Ь, с — координаты некоторой средней точки рассматриваемого объема. В случае выполнения равенства (9) функция (11) дает точное решение системы (8). Если уравнение (9) выполнено только приближенно, так что дй„дзг, х дх дх дР— — Ях(х, у, з), то дР зх= д — Я„(х,р,з)=0, так что первое уравнение системы (8) удовлетворено точно. дйх гоьй=е, ех=- — ' — д Р, ду дх х х (12) где 5 — малый вектор, то функция (11), как мы сейчас покажем, будет приближенным решением системы (8). В самом деле, составим вектор з, дающий делаемую нами ошибку.
Так как О ПРИБЛИЖЕННЫХ УСЛОВИЯХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВОЗМОЖНОСТИ ДВИЖЕНИЯ 7З Вычисляем далее: др ~й дЯ„(х„у, с) ~й ( дЯР (х, у, с) ду,1 да дй а а + ЯР (а, у, г) = ЯР (х, у, г) — ЯР (а, у, г) — ~ Е. (х, у, г) сгх + ЯР (а, у, г) = а х = ЯР (х, у, г) — ~ Е, (х, у, г) с(х, а так что х др ЗР— — — — ЯР(х, у,г) == — ~Ф,(х, у, г) с(х. Наконец, др ' дв„(х,у,с), дЯР(а,у,а) — 1( +~ д, ау+Я,(а,Ь, )= а "~ди,(а,у,.) 1 "Гдд)с(а,ш.) -+ ФР(х, У, г) 1о1х+ ~ ~ ' — Е„(а,у, г)~ ь(у+ а ь х + Яс (а, Ь, г) = Яс (х, У, г) — Я (а, У, г) + ~ й)Р (х, У, г) ь(х -)- Я (а, У, г)— а — Я, (а, Ь, г) — ~ Е„ (а, у, г) ь(у + Я, (а, Ь, г) = Я, (х, у, г) + ь х Р + ~ ЮР (х, у, г) 1ьх — ~ Ю„(а, у, г) с(у. Поэтому х Р др ес = (д — Я,(х, У, г) = ~ ЕР (х, У, г) ах — ~ Е„ (а, у, г)с(у.
а ь Из найденных выражений е„еР, е, мы заключаем, что действительно, чем меньше вектор Е, тем меньше делаемая нами ошибка е. Способ определения функции Р равенством вида (11) допускает некоторую неопределенность в выборе последовательностикоординат х, у, г, так что можно составить шесть функций вида (11), например, Р х с Р(х, у,г) = ~ЯР(х,у,г)ау+ )Ях(х, Ь,г)с(х+ ~Яс(а, Ь,г)1(г; (11а) ь а с гидгомехАникА сжимАемОЙ жидкости Ыс — = — о>игаб р+ й', ш= (13) Ы1вм .
ди ди дм —,— = 41чт> = — + — +— Ш дв ду дв (уравнение притона тепла мы принимать во внимание не будем). В этих уравнениях р обозначает давление, о> — удельный объем, Х вЂ” вектор приложенной силы, отнесенный на единицу массы, а г д, д, д д — = — чм — с в — +ю —. д>=д> дв дд д. Вводя обозначение д» Я =й' — —, А» * (14) перепишем уравнения (13) в виде дгаб р = — . С-, 1 Ы1эо> — — — = О>чт>. дг (15) Точные условия динамической возможности движения получаются путем исключения р и о> из системы (15).
Очевидно, что, рассматривая условия динамической возможности как приближенные равенства, мы и получим приближенные условия динамической возможности. Но мы зададимся целью путем надлежащей оценки порядка различных величин получить более простые условия, позволяющие находить приближенные решения системы (15). можно затем эти шесть функций комбинировать различным образом между собой, например, взять полусумму функций (И) и (Иа) и т. д. Выбор той или другой функции зависит от вида разбираемой задачи. Так, например, при применении уравнений гидродинамики к изучению атмосферных дввжений важно получить горизонтальный градиент давления по возможности точным, потому что горизонтальный градиент гораздо меньше вертикального, а значит одна и та же абсолютная ошибка даст в горизонтальном градиенте несравненно большую относительную ошибку, чем в вертикальном.
В этом случае рационально взять за Р функцию (11) или (Иа). Если в И есть некоторая произвольность, то ею надо воспользоваться для установления равенства 6,(х, у, г) = О (или Е,= = >), где ц — малая величина), чтобы е, = г,„ = О, т. е. чтобы в обоих горизонтальных составляющих градиента не было ошибки (илн эта ошибка была бы по возможности мала).
3. Напишем уравнении гидродикамики идеальной сжимаемой жидкости: о пгивлижвнных условиях динамичвскои возможности движвния рб Первое уравнение системы (15) имеет как раа вид рассмотренного нами 1 уравнения (8), в котором Я = — С. Построим вектор Э: 6 = гоь( — Я) . Но по известной формуле векторного исчисления гоь[ — Я) = — го1( + ~ ягай —, Я~ = — гоь(Х вЂ” ~ — ягайю, Ю~; г1 1 1 г Г1 е и О и ,Э2 введем обозначения ХХ = — го((, [пв =ф, тогда, так как ягайф = 1 = огай [п ю = — ягай ю, мы найдем О Ф = — — (ХХ вЂ” [(У, ягайф)), 1 плп, обозначая ХХ вЂ” [гт, ягай ф) = С, более просто Условие точной разрешимости первого уравнения системы (15) требует выполнения равенства С = О, так что мы должны рассматривать систему ХХ вЂ” [(, ягайф) =О, (16) —, = й(чо.
дф И1 Мы покажем сейчас, что при изучении атмосферных движений первое уравнение можно очень часто заменять его вертикальной (по оси з) составляющей, так что дело сводится к интегрированию (хотя бы приближенному) следующей системы двух уравнений: с Н, С,— +С,— д =О, — +и — +и — +в — = — + — + —. до дф дф дф ду дг дю дг дв ду дг дт ду дг ' В самом деле, определяя функцию р (л, у, г, 1) по формуле (11), т.
е. в виде Х з г (С„(жу,з,1) й +( Сц(а,у,ЮГ)й (' С,(а,Ь,л,1) й + (1) ,) в(жу,г,1) Д м(а,у г 1) у ) со(а,Ь,г,1) а Ь ГИДГОМЕХАНИКА СЖИМАЕМОЙ НСИДКОСТИ мы удовлетворим в силу условия Е, = 0 двум уравнениям др ог — = с(в. ш — =Сх, дх х' Рассмотрим теперь, с какой точностью будет выполнено третье уравнение. Сделанная ошибка Г Сг(ъ,у, х, С) Г С„(а, у, г, С) ,) се (х, у, г, с) а св (а, у, г, с) е Оценим порядок величины е,. Мы будем предполагать при атом, что в рассматриваемом нами движении все элементы, т.
е. скорость, давление плотность, температура и различные их производные по времени и координатам имеют тот же порядок величин, что и в атмосферной действительности. Для оценки порядка этих величин можно пользоваться данными, приведенными в работе Фридмана (Рг[ейпап) и Хессельберга (Певве1Ьегя) *.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
