Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Подстановки В1 = 4сх*Т, и Ео = схо дают соотиошевие ро4схо — ' + ро12сх'Т, — 4р,сх = р,'$ (х) — . Разделив обе части иа ро4схо и полагая Ф(х) = — —— р, 4(х) )о 4 с хо 4х 0) = —, Р1 Ро ' приходим, наконец, к уравнению — + — Т, — ю = Ф (х). Нто З ох х (25) Р = О (роТ, + р1х) Ро = НРот, ор1 й ро р — — р — = О. О СХ 1 оХ Подставляя в последнее уравнение значения р, и ро из первых двух и пРинимаЯ во внимание соотиошеиие Р,/Ро = а1, полУчаем 41Т1 Н 1в Ро йо — + Т,+х — =О. Нх Ых ' Лх (26) Уравиеиия (25) и (26) образуют систему с двумя иеизвестиыми функциями. Исключим одну из иих, сложив почленио уравнение (25), продиффереицироваиное по х, и уравнение (26), умноженное па 1/х. Получаем таким образом дифференциальное уравнение второго порядка ооТ1 4 йТ1 / 1 И1а Ро 3 1 — + — — +( — — — )Т, =Ф'(х), ыхо х лх (х ~х хо) которое в силу (23) можно записать в виде — + — — + 111Т1 4 дТ1 464 Фхо х их хо (х4 — 64) Т, = Ф'(х).
(27) Интегрируя (27), находим из (25) ос, а затем р,, и задача полностью решена. Уравнение (25) связывает ос и Т или, что то же самое, р, и Т,; для решения задачи остается установить еще одно соотношение между этими величинами, которое получается, если скомбинировать второе и пятов уравнения (24), а именно: О РАСПРВДВЛВНИИ ТВМПВРАТУРЫ ВОЗДУХА С ВЫСОТОЙ СЗ В изучаемом случае можно написать, ограничиваясь первой степенью р, Т=х+Ту; (28) 7о=т Ео .= Ста, ъ, 1 =. сове!, (29) Ро = Те-аа, ра = Н Т ~Е-аа. С другой стороны, из уравнений (24), принимая во внимание (29), получим следующую систему: ю еаа 1 т Р еаа а т Е, = 4стоТО (30) Последнее из этих уравнений дает по интегрировании пт, а — = а. (З + Ъ') Е-аа а Еа' Ыа йота (31) а' н Ь' — постоянные.
Из соотношения (31) легко найти величину Т„а затем Т = т + рТ,. Уравнение (31) позволяет изучить температурный градиент, как зто можно увидеть из $ б. Мы совсем не приводим формул, выражающих р, и р„ формул, которые легко получить из уравнений (29) и (24). 4. Заметим в заключение этого параграфа, что тот же метод, которым получены уравнения, определяющие Т и рм может служить для нахождейия уравненнй, определяющих Т„и р„.
Произведя необходимые вычисле- здесь Т, определяется уравнением (27), а х связано с з последним уравнением (23). Формула (28) дает поэтому приближенное решение задачи распределения температуры воздуха с высотой при сделанных предположениях об атмосферных токах и об оптических свойствах атмосферы (в самом широком смысло этого слова). Уравнение (27) относится к хорошо известному классу уравнений Фукса. В следующем параграфе мы исследуем его подробнее. Перейдем теперь к исследованию второго случая, случая и = 0; тогда для нахождения р, ро, Т, можно использовать формулы (18).
3. Эти формулы (18) дают динАмическАК метеорология н Физикв АтмосФеры 94 ния, придем к двум уравнениям е'1п ре лт„ " + — ' ҄— ег„= ф„(х), где гр, (х) и вр„(х) — две известные функции х, а е4„означает отношенив Реl Ре. Это общий случай; частный случай, где Т = — О, еще проще. Уравнения, определяющие Т„иые, сводятся к двум уравнениям, совершенно аналогичным уравнениям (27), а следовательно, они тоже типа Фукса.
Таким образом решается задача интегрирования системы уравнений (12) — (17) с помощью рядов (21) по степеням р (по крайней мере теоретически); коэффициенты при различных степенях р легко определить. Однако такое решение нельая считать полным, так как не дано доказательство сходимости полученных бесконечных рядов. Приходится сожалеть, что это доказательство не может быть основано на известной теореме Пуанкаре *. Нагни уравнения можно свести к системе уравнений первого порядка, одно из которых будет иметь вид Р'')~ =1(Р, х...), где 1 — голоморфная функция относительно р, Х...
в окрестности точки Р=-О, Х=О,... К этой системе уравнений невозможно непосредственно приложить рассуждения Пуанкаре. Я яе смог дать в этой статье доказательства сходимости полученных рядов. й О Уравнение (27) — неоднородное линейное уравнение. Имен интегральг однородного уравнения, легко найти интеграл уравнения (27), используя общий метод. Итак, рассмотрим уравнение (27), положив Ф' (х) = О.
Запишем его следующим образом: (32) Ввв +,х,ы + х (в4 — !14) У = О. Это дифференциальное уравнение типа Фукса с пятью особыми точками х = О, Ро р„рв, Р4; Рг — корни уравнений $4 = Р4. Согласно известному методу интегрирования е* для определения вида е Р о ! п с а г е Н. Месап!Чпе Се!ее!е, а 1. Раг!в, 1892.
** См. например, 4 о г д а и С. Сепгв йЬАпа!уве де 1ЧЕсо1е ро!усев!4п!г1пе, а Н! Рапв, 19!3. 95 О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕьи1ЕРАТУРЫ ВОЗДУХА С ВЫСОТОЙ рядов, выражающих интегралы дифференциального уравнения, нужно составить уравнение, называемое детерминантным. Произведя необходимые вычисления, находим, что для особой точки х = О детерминантное уравнение будет (г — 1)(г+4) =- О. В этом случае два линейно независимых интеграла дифференциального уравнения (32) будут определяться в окрестности точки х =- О рядами У, =- х1РЫ(х). уз =- (1Роз(х) + )п ~Фи(х)1, 1 1р1,(х) — ряды, расположенные по целым положительным степеням х н сходящиеся в окрестности точки х = О.
Анализируя детермипантное уравнение для особой точки х = р1, находим г(г — 1) =-- О; оно дает в окрестности х = р1 следующие два интеграла; у, = (х — р1) 1рю (х — '91), уз =- фм(х — р1) +1Л(х — р1) ф1з(х — '91), ф1, (9) — ряды, расположенные по целым положительным степеням и сходящиеся в окрестности точки $ =- О. Коэффициенты рядов легко определить, подставив зти последние в уравнения (32). Не останавливаясь на этом, переходим к анализу уравнения (34) з 4. В этом параграфе мы сравним теоретическую формулу (31) с результатами аэрологических наблюдений. Проведем это сравнение, исследуя изменения температурного градиента с высотой, согласно нашей формуле и сравнивая это изменение с ходом экспериментальной кривой, полученной при аэрологических наблюдениях. Заметим, что мы исследуем только ход изменения градиента, потому что, с одной стороны, данные, доставляемые аэрологическими экспериментальными исследованиями, не являются пи достаточно многочисленными, ни достаточно точными и, с другой стороны, до последнего времени величины, входящие в нашу формулу (например, коэффициент поглощения й и особенно величина р, которая характеризует вертикальные токи воздуха) были определены только с точностью, далекой от удовлетворитель- 96 динАмичвскАя ИВТВОРология и ФизикА АтмосФВРы ной.
Исследуем сначала общий ход изменения температурного градиента, полученного при аэрологических наблюдениях. Известно, что температурным градиентом по высоте называют выражение дТ)дз. Обозначим его через ягай Т. Метеорологические запуски воздушных змеев, а главным образом шаров- зондов дают возможность определить ягай Т до высоты 16 км. В табл. 1 Тзбаиэа 1 Теыяературвый градвевт Ве Вегеиеру етаа т, с Высста, стас т, с отса т, с Высста, «и Высста, о ат, с Высста, 12,5 13,5 14,5 15,5 0,03 0,00 — 0,01 — 0,02 8,5 9,5 10,5 11,5 0,64 0,52 0,32 0,14 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 0,62 0,68 0,70 0,73 0,56 0,48 0,50 0,57 приведены значения градиента по Вегенеру.
Рис. 1, где по оси абсцисс откладываются высота (в Вм), а по оси ординат — градиенты [в' О), дает представление о ходе кривой градиента. Она имеет три замечательные '1 а7 Ю бг 47 071 77ии Рзс. 1 точки. Одна из них, соответствующая высоте за (между 1 и 2 кзс),— п е р в ы й м и н и м у м, вторая (высота зс, между 6 и 8 клс) — точка второго максимума и, наконец, третья(высота хп между18 и 14 кзс) — точка, начиная с которой градиент близок к нулю; ее можно назвать т о ч к о й с т р а т о с ф е р ы. Итак, кривая 8тай Т идет следующим образом: начиная с земной поверхности, градиент убывает и дестигает своего первого минимума на высоте з„ после чего онвозрастает до максимального значения на высоте з с тем, чтобы упасть до нуля на О РАСПРВДВЛВНИИ ТВМПВРАТУРЫ ВОЗДУХА С ВЫСОТОЙ 97 Табаиса 2 Температурный градяевт по Эмдеяу Огай Т, ~ ~Высота.
'с Высота км Огай т, Высота .с км Огай Т, с Огай Т, с Высота, 2,21 2,0 2,02 2,7 1,78 3,1 0,02 0,01 0,01 1,52 1,18 0,98 0,4 0,9 1,4 0,76 0,25 0,03 3,8 5,8 9,5 10,0 10,5 11,5 Из данных, приведенных в этой таблице, видно, что распределение температуры воздуха в случае лучистого равновесия приводит к неустойчивости конвективного равновесия в нижних слоях воздуха, в силу чего возникают вертикальные токи. Табл. 3, в которой приведены градиентьг, а А з з ш а и, В с г з о и. %1зивиасЬа1111сЬе 7,и111аЬг$еи, у. 1П, 1901.
аа 'ту с д с и с г А. ТЬспиойуиашйк йсг АзшозрЬагс. 1.е1ра!е, 1912„8. 135. '*с Е ш й е и В. Ем. выше. 7 А. Л. Фрсдмаа высоте гг 1точка стратосферы). Надо отметить, что число случаев определения драй Т на больших высотах очень мало, и поэтому до сих пор представляется невозможным установить незначительные изменения градиента в стратосфере. Можно объяснить существование первого минимума, или, как говорят, возрастания градиента у земной поверхности, явлениями конденсации на некоторой определенной высоте, которые замедляют падениетемпературы о, или механическим влиянием земной поверхности **, трением и т. д.
Не входя в обсуждеиио этого вопроса, заметим, что этот минимум не может быть объяснея общими явлениями излучения, он заключается скорее в изменении коэффициента поглощения с высотой, или, говоря иначе, в Взмененин количества паров воды с высотой о*о. Естественно оя<идать, что наши формулы не могут дать точку первого минимума; ниже мы увидим, что они и не дают ее. Напротив, точку максимума и точку стратосферы можно объяснить общими процессами излучения, я действительно наши формулы дают возмоягность предвидеть возникновение гочки максимума и точки стратосферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
