Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Рассматривая определенную совокупность частиц жидкости, занимающих объем т, условимся количество тепловой энергии, получаемой этим объемом в единицу времени, обозначатьчерез е. Этувеличину з можно назвать для краткости т е и л о в о й м о щ н о с т ь ю; она, очевидно, будет зависеть от времени В наша совокупность жидких частиц за время от момента 1о до момента т получит количество тепловой энергии, равное ~ е о/1. Величину Ъо = з/т, где т есть величина объема, занимаемого нашей совокупностью жидких частиц, будем называть с р е д н е й п л о т н ос т ь ю т е п л о в о й м о щ н о с т н, а предел во, когда т стремится к нулю, будем называть плотностью тепловой мощности в данной частице жидкости и обозначать череа ео. Из только что высказанных определений ясно, что з =- з о1т "о.
о ~0 о Нетрудно видеть, что геофизическая едяница энергии есть 1000 дзг, а геофизическая калория равна 10о азам. оо Обозначая размерности длины, массы, температуры и времени через Ь, М, Т и О, найдем, что размерность зо судет 1зо) = ~ МТ;17-3). ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 2. Прежде чем перейти к установлению основного уравнения, связывающего е, с величинами, характеризующими состояние нашей атмосферы, уравнения, непосредственно вытекающего нз первого закона термодинамики, постараемся выяснить какого порядка величина ес для процессов, играющих роль в нашей атмосфере.
Выяснение этого обстоятельства является чрезвычайно существенным в вопросах применения наших выводов к атмосферным явлениям е. Возможны три сорта процессов, дающих известный приток энергии. Теплота может получаться: 1) излучением от солнца, 2) теплопроводностыо и 3) внутренними процессами, происходящими в атмосфере, из коих самый важный и обширный источник получения тепла — это конденсация паров воды. Оценим, какое влияние на ее могут иметь эти три источника притока тепла.
Примем для грубого подсчета, что 1 мэ поглощает в секунду 0,028 кал. Подобные числа получаются из наблюдений обсерватории на Мопге Воза е*. В выбранных нами геофизических единицах будем иметь е«=28 10'э. Переходя ко второму способу получения тепла, обозначим абсолютную температуру воздуха через Т, предполагая, что Т зависит только от высоты г, и обозначая через й коэффициент внутренней теплопроводности воздуха, найдем согласно основным уравнениям аналитической теории тепла а т *** зс=-ив с«г« По лабораторным исследованиям, й = 5 10 «(принимая СС8 систему и за единицу тепловой энергии беря малую калорию, для геофизической системы единиц получим й = 5 . 10 ", за единицу теплоты принимаем геофизическую калорию). Данные наблюдеыий показывают, что обычно гг«Т)г)гг есть величина порядка 10 '; таким образом для еэ полу- * Попытке установить порядок различных величин, встречающихся в метеора логии, предпринята в статье Фридмана в Хессельберга «Пгоеэепог«(попдеп дег ще«Ьеого1ои(эсЬеп К!ешеп1еп«, напечатанной во время войны в Германии.
К согг<аяепию, этой статьи у меня под рукой не имеется, а рукопись моя пропала во время гражданской войны в России в 1918 г., вследствие чего я лишен воэможности пользоваться чисэовыми данными указанной работы. *« Подобное грубое приближение достаточно дяя целей оценки порядка величины г,. (Н а и и 1. ЬеЬгйпсЬ г(ег Мегйеого1ой1е. Ье(рг1н, 1906, 8, 24; Л ю б о с я а во к и й Г. А. Основания учения о погоде. ОПб., 1916, стр. 45). *** Легко видеть, что размерность коэффициента внутренней теплопроводности А будет (ь) - (луг.т- в- ). О ВЕРТИКАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ В АТМОСФЕРЕ чаем величину зо = 5'10 то.
Следует, однако, отметить, что необходимо с величайшей осторожностью прилагать величины физических постоянных, определенные для воздуха в лабораторных условиях, к явлениям, происходящим в обстановке атмосферной действительности. Как показали исследования Хессель берга, коэффициент внутреннего трения воздуха т1, определенный путем изучения атмосферных движений (Ч„„), в 5 10' раз болыпе того же коэффициента, определенного путем лабораторных исследований (т1лос): т1„и = 5 10'т1„,с.
По-видимому, то же соотношение имеет место и для коэффициента внутренней теплопроводности. В самом деле, согласно исследованиям Максвелла, Клаузнуса, Больцмана н др. о, с помощью кинетической теории газов оказалось возможным связать между собой й и Ч соотношением Й = от)со, где з — постоянная, с„— теплоемкость газа прн постоянном объеме.
Из этой формулы следует, что йот„.—.. 5 10'йз,о = 25 10 ', откуда, принимая во внимание этот коэффициент внутренней теплопро- водности, найдем величину плотности тепловой мощности зо = 25'10 'о эта величина близка по своему порядку к притоку тепла, получаемому от излучения Солнца. Элементарный подсчет, которого мы здесь не приводим, показывает, что зо, получаемая путем конденсации паров, имеющихся в атмосфере, будет также порядка 10 'з. Таким образом, все разобранные нами случаи притока энергии дают для з величину порядка 10 " — 10 ", это будет иметь место при некоторых средних условиях в атмосфере. Возможны, однако, случаи, когда зо будет значительно выше 10 'о; мы будем в дальнейшем предполагать, что зо лежит между 10 ' и 10 "', хотя наши формулы будут конечно применимы для значительно более широкого интервала для ео.
3. Обозначим полные производные по времени знаком фЖ, частные производные по времени через д/дги по координате з через д1йз. Пусть Т, * Х в о л ь с о и О. Д. Курс физики, т. 111, ЕПб., 1912, стр. 338. 112 динАмическАя метеорология и Физикл АтмосФеры р, П и р будут температура, давление, удельный объем и плотность воз- духа; обозначая через ср, с„теплоемкость при постоянном давлении и объеме, будем иметь на основании первого закона термодинамики ~ АЮ ~ еьь1т =. ~ ьй ~ (с„„+ Ар — ) рот, ь (о (О откуда обычным приемом перехода к пределу найдем дт д11 *> йзь = с„+ Ар— ыь дь Замечая, что ра =Лт, где Л вЂ” газовая постоянная, равяая в геофизической системе единиц 293, и что согласно известной формуле термодинамики с„— с„= АВ, найдем дТ др Явь = с„-- — — АП вЂ”-- " яь дь (2) Отметим, что в этих формулах ср — — 24 10ь и с„=-17.
10ь вв Посмотрим, к какой величине для во приведет формула (2), если мы предположим, что происходят нормальные, хотя и быстрые изменения давления и температуры. Положим, что воздух находится в покое, тогда дТ дТ дь дь' Ир др дь дь нз формулы (2) получим ср дТ др ь 4 П дь дь Пусть давление падает на 1,8 мбар (0,18 геофизических единиц давления) в час, а температура одновременно повьппается на 0,18' в час, что дает для притока энергии выражение в, = 2 7 ° 10 'з. ' Помня, что 1!о = й. ьа Размвриость вввдвиимх вами = 'рбьТ ' В П. ввличии: [В) = УРТ ' З '1, ~ьр! 1с ) = О ВЕРТНКАЧЬНЫХ ТКЧЕНИЯХ В АТМОСФЕРЕ Эта величина, как видно, близка по своему порядку к вычисленной нами выше для вс.
Рассмотрение предыдущей формулы показывает, между прочим, что на больших высотах приток энергии определяется главным обрааом изменением давления, тогда как у поверхности Земли изменение температуры имеет то же значение, что н изменение давления. Из сказанного ясно, как сложен вопрос о влиянии притока тепла на атмосферные явления. В самом деле, все способы получения тепла дают почти одинаковые значения для в, значит, при рассмотрении дифференцкальных уравнений атмосферных движений приходится все эти способы притока тепла принимать во внимание, что непомерно усложняет задачу и не позволяет детально разобраться в метеорологических явлениях.
ф Ф $. Перейдем теперь к установлению основных дифференциальных урав- нений задачи, формулированной нами в $ уь Предварительно, однако, выведем общую формулу, связывающую тем- пературный градиент с вертикальными течениями и с притоком энергии. Направим, как было указано ранее, ось г вертикально вверх, оси х и у проведем в горизонтальной плоскости, начало координат выберем на земной поверхности.
Пусть и, о, в — составляющие скоростей в атмосфере по выбранным координатным осям, я — ускорение силы тяжести (д= 9,8г); прн этих обозначениях три уравнения гнцродинамики, уравнения нераз- рывности, состояния газа и притока тепла нашппутся следующим обра- зом *: ди др дх др йо др — = — й— — — = — П вЂ”, .=- — и О— д! дх' Й ~!' и! е дг' ди дх дх д!взз д!пГ! ~ д!и!з д!пГ! +и +и +Ю дх ду дг дс дх + ду дг ра == вт, ! дТ дТ дТ дТ! ! др др др др1* зей=ср!. +и — +и — х ж — ) — АЯ~ + и — — +Р— +и- — ) . Р! дС дх ду дг) ! дс дх й! дг) др Определяя из этих уравнении дв/дг и П вЂ”, подставляя полученные для этих величин выражения в последнее уравнение, найдем, обозначая — дт)дг через Т, основную формулу ! — — „!,! — — — т)+и +З*' Т= Та ! — Тмз (3! " Дальнейшие результаты яе взмепатся, если мы примем во впвмавие главную часть отклоняющей силы Земля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
