Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 14
Текст из файла (страница 14)
+ —,„+ —,-,) (б) 1. Для того чтобы определить, как подведенное тепло зависит от солнечного и земного излучения, важно сформулировать ряд принципов, относящихся к погло)дающей способности атмосферы. Допустим, что знергия Юлео>та))), лучей с длиной волны А, проходящих через тонкий слой толщиной 1 под углом падения д, уменьшается вследствие погло)ценна на величину ЛЮлео()с)р,, равную ЛЮле Ю А =- йлр — о Юле с)й Ю~.
О РАспРВдвлянии твмпБРАтуРы воздухА с высотои Величина йг называется коэффициентом поглощенияе. Вообще говоря, эта величина зависит от А и от высоты г поглощающего слоя. ПУсть аг — степень поглоЩениЯ ДлЯ опРеДеленной Длины волны А любого тела (например, слоя газа): ПА = — ° 8л Пусть, кроме того, аг — степень поглощения тонкого слоя воздуха толщиной 1 для пучка параллельных лучей с длиной волны Х, перпендикулярно падающих на слой: мл = /Ор/. Вследствие рассеянного излучения атмосферы степень поглощения тонкого слоя атмосферы на высоте г не равна величине ах, как этого можно было бы ожидать. Отношение аэ / аг — весьма сложная функция г или, вернее, массы воздуха ) раз, пересекаемой излучением.
Эмден подсчитал это отношение при ряде предположений относительно природы атмосферного излучения и вида зависимости испускательной способности для длины волны А слоя атмосферы от высоты г. Не останавливаясь в нашей статье на обсуждении формул, выражающих ал / аэ, ограничимся замечанием, что в дальнейшем мы вместе с Выделом *е будем считать это отношение постоянным для данной задачи и, изменив слегка значение йг, положим ол = ало( Величина аг, так же как и йм зависит и от А, и от высоты поглощающего слоя г.
В случае, когда ах и йх не зависят от ), удобно нааывать излучение с е р ы м. Получив в цитированной работе уравнение для равновесия н е с ер о г о излучения, Эмден использует только два различных значения йт (для коротких и длинных волн). Кроме того, у Видена Ьт зависит и от высоты г. Эта зависимость обусловлена главным образом изменением количества пара с высотой.
В настоящей статье мы не будем осложнять задачу; мы рассмотрим здесь только случай серого излучения и предположим й„= й не зависящим от г. * Е шатап Е. См. стр. 68. ** Ешйеп К. См. стр. 72. динАмичвскАИ мкткОРОлогия и ФизикА АтыосФкРы аналогично е(В = Йрдг — Ае. Так как величина а = — ОА не зависит от Л, то в нашем случае серого излучения можно применить закон Кирхгофа не только к излучению определенной длины волны Л, но и к интегральному излучению Ы =- аЕе; здесь Š— полная испускательная способность абсолк>тно черного тела, имеющего ту же температуру, что и рассматриваемый слой.
Поскольку а = ЛрЫг, то легко найти два уравнения Шварцшильда: — — йр(Š— т1), Е — -- — йр(Š— В). (8) (7) Аналогичные соображения дадут нам уравнение между ( ~) и А, В и Е. Слой воздуха с площадью основания ) и толщиной Ыг поглощает в единицу времени некоторую часть А, равную )ере(г)А, и часть В, равную краггВ, и иалучает в обоих направлениях количество энергии 0)ер)йгЕ, так что Я)ре(г~ == й(к(г~ (А +  — 2Е). Полагаем В=А+ — 2Е.
Тогда 3. Величина Е удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое легко выводится из уравнений (7) и (8). 2. Атмосфера пронизана двумя потоками энергии: один поток — солнечное излучение сверху вниз, другой — земное излучение снизу вверх. Величина этих потоков описывается двумя дифференциальными уравнениями, которые выведены еще Шварцшильдом. Их можно установить с помощью очень простых соображений.
Пусть А и  — потоки энергии, пронизывающие слой на высоте г соответственно снизу вверх и сверху вниз. Обозначим через Ае интегральную испускательную способность слоя толщиной Ыг, расположенного на высоте г. Изменение потока А при прохождении через Ыг зависит от поглощения в слое (А убывает) н от излучения этого слоя (А возрастает): сЬ1 = — lгрдгА+ Ае; Имеем откуда (1О) Величина Е связана с температурой Т излучающего черного тела законом Стефана — Больцмаиа.
Е = — сТ'. (и) 1. Для того чтобы найти уравнения подведенной знергии, приложим найденные выше соотношения к задаче распределения температуры воздуха с высотой при наличии слабых стационарных вертикальных токов. Сделаем в наших уравнениях следующие подстановки: и = и = О и и, Т, р зависит только от з; Х=О, У=О, И= — Е. Вс Но в = —, следовательно, ш О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА С ВЫСОТОЙ с (А+  — 2Е) ле Сс = — йр (А — В) — 2— зз л (А — В) Ис = — /срГ, Уравнения (1) — (6) и (9) — (11) принимают тогда вид нм 1 лр — = — П— Нз Е р Вг ' Н~~~ — =О, с'с Орт, ЗТ Р Ию с„— + — —, Ш Р Сс )сзрР— — „( — — ), сТ4.
рю = р, р= ирт, .= — си ~ + дТ йс (12) (1З) (14) ДИНАМИЧЕСКАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ И ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ (15) (16) Е = СТА, 1 ер Š— —— р сс - — „( —,— „, ~ =й рг — —,( — - —,), Е 1 ЕЕ с' 2 ЕЕ (17) Для слабых вертикальных токов величина р постоянна и очень мала. 2. Легко можно найти интегралы уравнений (12) — (16) в случае, когда ш = 0 (что означает (х = 0),— случай, уже отмеченный Шварцшильдом. Если и = 0 (р = 0), уравнения (12) — (17) запишутся так: и=О, р = Х1рТ, Р=О, й = сТ, .+ — =о, ер сс или 2 сŠ— — =2п, сс где п — постоянная Будем различать два случая: 1) п = О, 2) п ' О. В случае и = — 0 ит — =О, с'х Т = т = сопзх имеем изотермическую атмосферу.
Известно, что тогда Т=т, в =- О, (18) р = те-"*, р = НТ7е и т = сопзг. ЗŠ— - =-по с'с Во втором случае (п+ 0) последнее из уравнений, разрешающих задачу, даст О РАспРеделении темпеРАТРРы ВОздухА с Высотои или на основании предпоследнего уравнения ав В Нр Кх Х ЛА' (3 = сопз1. Однако п)ОР=О)ВР+ т нт ЗТ'+ И4 И)пр = Т(Т4 1341 г)Т1 Р=ПРТ, с другой стороны, НТ ~(х = — ЙР = — — И1п р, ХР 4Н Т~ ~(х = — — «(У. Т Ра Представим эти формулы в следующей, более удобной для приложений форме: Т 41в р кх 41вр нх Последнее уравнение, показывающее, как именно г зависит от х, легко интегрируется в квадратурах Ж =(3(4 — +1п — ~ — 2агс1я — )+т, х)~3, (20) Н Р в+О й где т = сопэ1.
3. Если предположить, что имеет место лучистое равновесие и считать все процессы стационарными, то легко убедиться, что на поверхности атмосферы А = В и, следовательно, и = 0; поэтому для изучения распределения температуры воздуха с высотой применяются именно формулы (18). Они дают Т = т = сопэ1; этот факт формально противоречит реэуль- с(г' — 1 ) = — — "Р, х 4Т* КТ ТА 4 4АА х~ — Ра ' 1Зуа+ р4 (4 а4) 4Н ха диплмичвская мзтзогология и шизика Атмосэзгы татам аэрологических наблюдений (с помощью шаров-зондов).
Голд о и Эмден *о уже отметили это противоречие. Для того чтобы избежать его, Змден предполагает, что Ь зависит от длины волны. Ниже (в з 4) мы увидим, что это противоречие можно также устранить, предположив существование слабых вертикальных токов в атмосфере. оо ш1)о+мор'+ =- ',~ ю,Ф, ь=т ро + Ио + ' ' ' =- ~~ рФ о=о Т,+ Т,р+... =,„Т,Ф, ~=о Ео+Е1(о+ - ° = ~~~ Ебо', о=о Е р+ЕоФ+ .. =-~ Е*Ф. (21) Уравнение (14), очевидно, дает Ео = О. Сравнивая коэффициенты при ро в уравнениях (12) — (17), имеем Ро = НроТо 1 о 1 лр, — у — — — =О, Ро (22) * 6о1Й Е.
См. выше. ** Е ш дев Е. См. зьппо 1. Случай, когда ш отлично от нуля, является более трудным, чем случай отсутствия вертикальных течений в воздухе. При слабых вертикальных токах можно считать величину р малой и весьма естественно разложить функции, определяемые уравнениями (12) — (17) по степеням р. В этом параграфе мы определим коэффициенты при степенях ро и и, которые дадут первое приближение для решения дифференциальных уравнений (12) — (17). Предположим, что разлолсения ш, р, Т, р, Е и Е по степеням имеют вид О РАСПРЕДЕЛГННИ ТВМПВРАТУРЫ ВОЗДУХА С ВЫСОТОЙ Эти уравнения, очевидно, тождественны уравнениям й 3, которые дают решение статической задачи. Как и в $ 3, различаем два случая: н = О, и + О; во втором случае уравнения (19) принимают вид (2:5) Очевидно, что То = х связано с г конечным соотношением (20). 2.
Переходим к соотношениям, которые получаются при сравнении коэффициентов )А в уравнениях (12) — (17). Эти соотношения запишутся в виде 1 ос1 = —, Ро ' =-Н(роТ +а То) йН с с + НТо Сто о оа о'х оо Н, = 4сТоТ1 оро оро ро — — р1 —,=О, (24) Можно значительно упростить эти уравнения, введя вместо с новую переменную х, определенную уравнением (23). Упрощение состоит главным образом в том, что при такой замене Т, = х. Из уравнений (24) легко видеть, что и, г', ро, ро, Т„а также их комбинации — известные функции г, а следовательно, и х. Третье уравнение (24) дает С1оро~ Сх йорог', = й(с,— Нх— сх Полагая Ж 5- ~ й 1 с„— Нх — ~ о)х — — — — = 2$ (х), о'1а ро о 1 о'г'1 ох 1х ) ро ох ох йг= сопз1, с 1в р. 4 йх хо зо Ф Сх 4Н х' Лх С хо — йо Н, =- сх', Л1аро Зхо-~- йо ох х (х' — йо) динАмичзскАя мвтвОРОлогия и ФизикА АтмосФБРы легко получить из последнего уравнения (24) оЕ1 11с о ~Ь ро —, — р, — = р% (х) — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
