Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости (1124010), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(19) В этом случае А и В равны нулю, зто значит, что .0 равно единице и плотность частицы не изменяется со временем (движение несжимаемой жидкости). Вектор Г не зависит от времени 1, производная дГ1д1 равна нулю, а сам вектор Г отличен от нуля; иначе говоря, мы имеем здесь второй из исследованных выше случаев. В рассматриваемом случае Н равно нулю и выполняютсяусловия (а). (л)) и (е) з л. Определяя удельный объем и давление, мы приходим к следующему возможному инерциальному движению: з =- а, у = Ь+ф(а)1, з = с, ел = Ф (с — — — ~ ф с(а), з — — 1 ада зл, с и (2О) Р = Рз (1) — д дА д1.
дВ д1. д1з Рл =- — — зз — А — дл = — 1з —  — г, = — —, дЬ дЬ' дд дЬ ' дЬ * д1з дА д1з дВ д1з Рз = А — — зз тз =  — †. — 1з да да ' да да ' да' дь, дез, 1д1, дВ;, 1д1, дВ Чз= — — — +~ —  — — (,~ — 1 — ' — — ( ) дд да Л дЬ дд 1 'л да да !' 1д1~ дА л 1дд дь л дВ дВ зд1з дА (дЬ дЬ ) (да да) ' з да л дЬ ' 'лда да д1л д1з гз дЬ да' 2. Используя первое условие динамической возможности движения, т. е.
равенство (а), мы должны будем приравнять нулюкоэффициенты при различных степенях 1 в левой части равенства. Приравнивая нулюкозффициент при 1з, придем к равенству Аз()„Л вЂ” ~) (л8) Будем различать два случая в зависимости от того, постоянная или нет (л. В первом случае, когда ~д — постоянная, можно положить без ограничения общности ~л = О для рассматриваемого движения в подходящим образом выбранной системе координат, движущейся прямолинейно и равномерно. Условие (а) показывает, что в этом случае ~з не зависит от Ь: О движении АБсОлютнО сжимАемОИ жидкости 65 где Ф и ра — произвольные функции своих аргументов, а Оа — постоянная. Обозначая через и, о, ю компоненты скорости, запишем формулы (20) в форме Эйлера следующим образом: О, е =ф(л), Ф(з — хд ~ф (л), а — — а а ах ра() й Ф(с) ш= О, (21) ~' П ° 6) В(а, Ь) не равно нулю и, следовательно, ()а = Ф(,6).
(22) Равенства (а) и (Ь) предыдущего параграфа перепишутся следующим образом: (23) ~д( дВ д1 дВ 1 — )(Ф у,Ф) =О. (да дЬ дЬ да) (24) Выражение для В превратится в В = — + — = — + Ф' —. дй д1, дй, дй да дд да дЬ ' (25) 5 А. А. Эрадаан где са — постоянная. Отсюда следует, что ливии тока и изобары (сечения в данный момент изобарических поверхностей горизонтальной плоскостью) в рассматриваемом случае будут прямыми, параллельными меридианам.
Что касается плотности, то она изменяется с высотой, и, выбирая подходящим образом функцию Ф, можно сделать это изменение равным тому, которое имеет место в атмосфере. Итак, рассматриваемый случай соответствует действительным условиям атмосферы, но встречается сравнительно редко.
Легко видеть, что движение в рассматриваемом случае будет баротропным. 3. Переходим теперь к исследованию второго случая, когда ~, — непостоянна, когда, следовательно, )а~а — д не равно нулю и когда уравнение (18) приводит к А = О. В этом случае ГИДРОМВХАНИКА СЖИМАИМОИ ЖИДКОСТИ 66 Покажем, что равенства (23), (24) и (25) следуют из соотношения Ф вЂ” /тФ' = О. (26) Предположим, что это отношение не имеет места; тогда равенство (24) приводит к В=Ой), где Π— некоторая функция своего аргумента.
Разрешая уравнения (23) и (25) относительно д7,(да и дЯдЬ, получим дЬ вЂ” — О (71) р (71) д/1 (27) где дФ' р'(6) + 2ЬА(Ф ( Ф) э (11) =" 2А2(Ф ВФ у Так как (т — переменная, то из уравнения (27) получаем, что О (71) не равна нулю и равенства (27) можно переписать следующим образом: д = "(7') де — = т(И дЬ где Дифференцируя первое из полученных выранзений по Ь, а второе по а и вычитая один результат дифференцирования из другого, получим р(6) =)у (Л) ~ —,,' — ~,~ Ф'+ Ф+ „—.'„Л =- О.
Интегрируя зто уравнение, получим следующее выражение для Ф: Ф=а+И1,~ где а и р — постоянные. Выбирая соответствующим образом систему координат, движущуюся равномерно и прямолинейно, монзно без ограничения общности положить а=О. Итак, будем иметь Ф== рЯ,; Ф вЂ” 7',Ф'=О, что противоречит предположению. Следовательно, такое предположение недопустимо и условие (26) всегда имеет место. 4. С помощью (26) будем иметь Ф=Ь/„ (28) где Х вЂ” постоянная.
Подставляя в полученное соотношение значения р и т, находим О ДВИЖЕНИИ АБСОЛЮТНО СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 67 Предположим, что л отлично от нуля. Интегрируя уравнение (29), получим где ф — произлольная функция своего аргумента. Образуя вектор Г, мы найдем, что он отличен от нуля и не зависит от г, т. е. дГ/д8 = О. Это равенство приводит к выводу, что дЛ/д8 = О. Все условия (а), (д) и (е) второго случая 5 1 выполняются, и, следовательно, рассматриваемое движение возможно.
Легко видеть, что для этого движения В = 7, и, следовательно,— это случай дэнн<ения несжимаемой жидкости. Определяя для рассматриваемого движения удельный объем и давление, получим формулы х=а+ф(а — — „)8, у=Ь+йф(а — — )Г, г=с, а = (2Хзф — а) Й (а), р = ро(г)+ П(а), П()=( —, =.— 1 ас г гл.| р ь .)Г7(с) ',) à — 2Л2Ф ' Л ' сЬ, а=а — —, где ф р, и ьз — произвольные функции своих аргументов; й — произвольная постоянная, отличная от нуля; а, — постоянная. Переходя к айлеровой форме уравнений для этого движения, получим формулы и = ф (х — — „1, г = Ьф (х — — ), и = О, в = (2)аф — а) й (с), р= В,(г)+П(с), й 2ХвЬ$ а=з — ~, „43, з.
П(с) = ~ —, где Й вЂ” произвольная постоянная; равенство (23) перепишется в этом случае следующим образом: (29) ГНДРОМНХАННКА СЖНМАЕМОЙ ЖИДКОСтн 68 Это движение характеризуется следующими особенностями: линии тока в нем представляют семейство параллельных прямых х — — =- с т л=' х .-"-. а+'ф(Ъ) 1, у 1о = (2)„оь(> в) О (э) с =- с — ~. 1(Ъ, 2Аот 22от — до — -Ъ, с=с, р" ро(~) + П(с), 4- П (э)— .) Г1(а) ' где $, р, и Я вЂ” произвольные функции своих аргументов. Эти равенства, преобразованные к форме Эйлера, определят следующее движение: и = 16 (у), и = О, ю = О, оа = (22аф — у) Я (о), р = ро (4) +П (с), где 2ьььг С .—.- г — ~, 1Ь'У, а другие обозначения имеют прежние значения.
Январь 1924 в. О ПРИБЛИЖЕННЫХ УСЛОВИЯХ ДИНАМИЧЕСКОИ ВОЗМОЖНОСТИ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОИ ЖИДКОСТИ' 1. Механика изучает связи между силами и вызываемыми этими силами движениями и делится на математическую и опытную механику. В математической механике устанавливаются понятия о массе и материальной точки (если ограничиться для простоты рассмотрением материапьной точки), скорости точки Г, ее ускорении от' = о(Г/вьь', ее количестве движения Л = виГ и, наконец, оириложенной к точке силе Ав, которая задается как вектор, приложенный к рассматриваемой точке и зависящий от времени, положения точки и ее скорости. Принимают, что на точку действуют несколько сил: йо, Х„..., Х'„, которые перечисляютсн и называются данными; равнодействующая этих сил Р = Агь + л'о +... где с — произвольная постоянная.
Здесь плотность изменяется с высотой и изобары, как само собой разумеется, параллельны линиям тока. В случае, когда й обращается в нуль, движение будет определяться равенствами О пРиБлиженных услОВиях динвмическОИ ВОзможнОСти дВижения 99 ... + Х<„будет по определению заданной силой, действующей на материальную точку. Основная связь между заданной силой и вызываемым ею ускорением есть закон Ньютона: или В опытной механике все понятия математической механики интерпретируются при помощи физических объектов, причем удовлетворительность данной интерпретации определяется проверкой закона Ньютона.
Мы остановимся па обычной интерпретации при помощи понятий движения, массы, силы. Тогда, чтобы применять уравнения механики, мы должны учитывать все силы, действующие на данную точку, чего мы фактически сделать не можем. Поэтому мы делим силы на две категории: Х' = Г + Ю относя к категории и'«малоизвестные нам силы, которые мы считаем В совокупности своей незначительными, и в уравнениях движения отбрасываем член хг«, считая, что решение приблии<енного уравнения будет мало отличаться от решения точного уравнения тй" = х<'<+ Хп. Поэтому при применении уравнений механики к решению практических задач не всегда следует стремиться к абсолютной точности в тех случаях, когда в этих уравнениях заведомо отброшены некоторые малые члены. <; таким именно случаем мы имеем дело в уравнениях гидромеханики, особенно когда речь идет о применении их к изучению атмосферных движений.
Одной из важных задач гидродинамики сжимаемой жидкости является установление условий динамической возможности движения, т. е. уравнений, которым должны удовлетворять составляющие и, и, и< вектора скорости Г, для того чтобы можно было найти движение, удовлетворяющее всем уравнениям гидродинамики*. Указанные выше соображения о неполной точности уравнений гидро- механики приводят к мысли строить приближенные условия динамической возможности движения, которые обеспечивают возможность удовлетворения уравнений гидромеханнки с достаточно большой степенью точности. 2. Пользование приближенными дифференциальными уравнениями вместо точных оправдывается тем обстоятельством, что решения приблие Ф ривка н А.
А. Опыт гидромехаииии сжимаемой жидкости, ч. 11. Пг., 1922, стр. 40 (литогр.); то н<е Л.— М. ОНТИ, 1934. гндгомвханннА сжимАвмои нгидкости 70 женныл дифференциальных уравнений, вообще говоря, отличаются от решений точных уравнений на величины того же порядка малости, как отброшенные нами члены уравнений. Докажем это для одного простого случая. Дано дифференциальное уравнение — = ~(у, х), где функция 7'(у, х) удовлетворяет условию Коши — Липшица: ( ~ (у, х) — 7'(у, х) ( (М ( у — у ! (2) (М вЂ” некоторое постоянное число), так что решение уравнения (1) может быть найдено методом последовательных приближений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
